최근 수정 시각 : 2019-03-14 09:56:44

원주율

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수학상수
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1. 개요2. 상세3. 새 원주율 타우4. 값5. 계산법6. 원주율 근삿값 계산의 역사7. 기억술8. 여담

1. 개요

圓周率 / pi / π
3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 ...
원주율 소수점 이하 500자리 출처
의 지름에 대한 원둘레(원주)의 비. 즉, 지름이 1인 원의 둘레의 길이다. 그리스 문자 π로 표시하는데, 한국 발음으로는 파이이며, 그리스어로 둘레를 뜻하는 페리메트로스(περιμετρος)의 앞자리 π에서 가져왔다고 한다. 최초로 원주율을 π로 표기한 사람은 웨일스의 수학자 윌리엄 존스로, 자신의 저서에 π를 사용하였다. 이후 레온하르트 오일러에 의해 대중화되었다.

원주율은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이자 초월수이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다. 파인만 포인트 등에서 착각할 순 있지만... 그러나 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.

2. 상세

수학 교육과정에서 가장 먼저 만나게 되는 무리수다. 보통 초등학교에서는 6학년 때부터 근삿값으로 보통 3.14를 사용하며, 3, 3.1, 3.141, 227\dfrac{22}{7} 같은 수도 사용하는데 중학교나 고등학교 올라가면 저런 거 없이 그냥 π { \pi } 를 붙이는 것으로 계산 끝. 사실 그냥 π { \pi } 를 쓰는 게 더 편하다.

정수 2개의 비로 표현할 수 없는 무리수이기 때문에 자릿수가 무한하므로 각종 기록들을 양산하기도 한다. 가장 많은 수를 외운 사람이라든가 소수점 새로운 자릿수 계산이라든가 하는 등, 현재 기네스 북에서는 원주율에 관련된 기네스북 기록들이 더러 있다. 그 예로 소수점 이하 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 간혹 있을지도 모른다 파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 762자리까지 외운다면서 나온 수이고, 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 6만 7890자리.[1] 일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 8만 3431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.

하지만 실제로 소수점 이하 10자리 이상 쓰는 경우는 거의 없다.[2] 디지털 시스템에서 무리수를 사용할 방법이 없기 때문이다. 이게 가능하려면 해당 시스템이 무한한 정밀도를 표현할 수 있어야 한다. 실제로 이공계에서는 3.14159까지 소수점 다섯째 자리까지 사용하는 것이 일반적이다. 한국인은 3.141592까지 외우기 쉽다. 1592년이 임진왜란이 일어난 연도이기 때문이다. 원래 알고 있던 3.14 + 1592 = 3.141592

3월 14일의 진정한 의미라고 할 수 있겠다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 파이를 먹는 사람들도 있다. 이 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 3.14을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다.3월 14일 15시 9분 26초 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이자 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 흔히들 상상하는 것처럼 보통 파이(pie)를(...) 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다. 매사추세츠 공대(MIT)의 경우는 매년 합격자 발표일이 3월 14일이다. 그리고 새원주율 을 기념하여 6시 28분에 발표한다.

분수 7분의 22가 π\pi의 근삿값이므로 파이 근삿값의 날은 7월 22일이다.

공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 π와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을 e와 함께 보낸다. 그러다가, 오일러 공식eix=cosx+isinxe^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}로 인해서 복소수, e, 삼각함수, 지수함수가 아예 세트로 묶여 다닌다. 예를 들어, 해석학 교재인 PMA에서는 지수함수를 무한급수로 정의한 후 ix를 대입한 실수/허수부를 각각 cosx, sinx로 정의하고 cosx의 최소 양근의 2배를 π로 정의한다.

원주율 π\pi (또는 τ\tau)와 자연상수 e와 복소수 i 간에는 eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0 (또는 eiτ=1e^{i\tau} = 1)의 관계가 성립한다. 이를 오일러 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 오일러의 공식에 x=π x = \pi 또는 τ\tau를 대입하면 나오는 결과다. 이를 이용해서 π=iln(1)\pi = - i \ln(-1)임을 알 수 있다.

3. 새 원주율 타우



자세한 내용은 타우 문서 참조. 2017년 Python 3.6에 추가되었다고 한다.

원주율 파이는 부자연스럽게 정의되므로 2π\pi=6.2831...의 새로운 값을 가지는 상수를 사용해야 한다고 주장하는 수학자들이 있다.[3] 실제로 은 반지름으로 정의되기에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 이들은 기념일도 3월 14일 대신 이의 2배인 6월 28일에 원주율을 기념한다. 이 상수를 이용하면 원주의 길이는 τr\tau r, 원의 넓이는 12τr2\frac{1}{2} \tau r^2, 구의 겉면적은 2τr22 \tau r^2, 구의 부피는 23τr3\frac{2}{3} \tau r^3이 된다.

4.

이 사이트에서 특정 문자열이 원주율의 몇 번째 자리에서 등장하는지 검색할 수 있다. 2억 번째 자리까지 지원하므로, 파인만 포인트 찾으려고 999999 입력하는 것 정도는 순식간에 처리한다.

도 있고, 새 원주율(타우) 버전도 있다.

위의 수에서 뭔가 규칙을 찾아냈다면 높은 확률로 당신의 착각이다. 첫자리 3을 포함하여 359, 360, 361번째 수는 각각 3, 6, 0이고, 몇 십억 혹은 조 자리까지 뒤로 가면 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0이 순서대로 나오는 등 흥미로운 숫자 조합이 많이 나오지만 이런 예들은 어디까지나 10진법 표기에 의해 일어난 현상일 뿐 전혀 수학적인 규칙이 아니다.[4] #뉴턴 포스트

만약 발견한 것이 '꽤 오래 반복되는' 순환소수 부분이라면 파이를 조금 더 근사치에 가까운 유리수처럼 표기할 방법이 생기므로 미미한 의미가 있다. 가장 유명한 예로 762번째부터 767번째까지 9가 연달아 나오며, 이 부분을 파인만 포인트라 부른다.[5]

콘택트의 마지막 장면에선 우주의 창조자가 한 없이 긴 원주율의 소숫점 뒷자리에 숨겨놓은 규칙성과 메시지들을 발견했다.

더 지니어스:그랜드 파이널/5화 메인매치에서 4자리씩 120자리까지 제시됐다.
파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문단의 내용 중 전체 또는 일부는 원주율/값 문서의 r139 판, 1번 문단에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기


5. 계산법

원주율의 값을 계산하는 방법도 여러 가지가 있다. 보통 무한급수를 이용하는데, 원주율과 관련된 무한급수 또는 무한곱으로 다음과 같은 것들이 있다.

발견 년도 발견자 수식
1593 프랑수아 비에트 \displaystyle \frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot\ldots</math>
1655 존 월리스 \displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right)</math>

(=212343456567\displaystyle =\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\ldots)
1671(1674) 제임스 그레고리(라이프니츠)[6] \displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}</math>

(=113+1517+19\displaystyle =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots)
1735 오일러 \displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>

(=1+122+132+142+\displaystyle =1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots)[7]
\displaystyle \frac{\pi^2}{8}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(1+2n)^2}}</math>

(=1+132+152+172+\displaystyle =1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\ldots)[8]
\displaystyle \frac{\pi^2}{12}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}}</math>

(=1122+132142+\displaystyle =1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\ldots)
1914 스리니바사 라마누잔 \displaystyle \frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_ {n=0}^{\infty} {\frac {(4n)!}{(n!)^4}\cdot\frac{26390n+1103}{{396^{4n}}}}</math>

테일러 시리즈를 이용한 기계적인 증명이 아니라, 기하학적인 증명은 다음 영상을 참고.

6. 원주율 근삿값 계산의 역사

자세한 사항은 항목 참조.

7. 기억술

몇 가지 외우는 방법이 나와 있지만, 원주율을 소수점 아래 열네 자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명하다. 각 단어의 철자 수에 주목.
How I want a drink, alcoholic of course after the heavy lectures involving quantum mechanics!
(양자역학을 포함한 어려운 강의 후에는 얼마나 한 잔이 하고 싶은지!)
위 문장의 철자 수를 배열해보면 3.14159 26535 8979가 된다.

오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.
Now I, even I, would celebrate
In rhymes unapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance
How to circles mensurate...
심지어 나 같은 이라도, 서툰 운율로라도,
더 이상 견줄 사람 없을
영원불멸의 시라쿠사인을 찬양하리다.
우리에게 전승되었던
훌륭한 이야기 속에
사람들에게 방법을 남겨 주었지
어떻게 측정을 원[9] 하는지를...
이 역시 철자 수를 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279(30자리)이 된다.

과학쟁이라는 과학 잡지는 이러한 문장을 만들었다.
"돌고래가 모직 남방 만들며 아침 산책 도는 동안 럭비나 봐라."
이건 다음과 같이 글자의 초성을 숫자로 바꾼다.
ㅈ/ㅊ
1 2 3 4 5 6 7 8 9
숫자로 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 264(23자리)가 된다.

다행히 원주율의 소수점 32자리 숫자는 0이므로, 각 자릿수를 하나의 단어로 대용하는 규칙을 사용하면서 문장을 32단어 이상으로 확장할 수 없다.

8. 여담


[1] 최근 EBS다큐프라임 넘버스 1부 '하늘의 수 - π\pi'에 출현하여 당시 기록을 세웠을 때의 일화를 소개하였다.[2] NASA가 우주선의 달 착륙에 관련된 계산을 할 때도 5자리 정도로 충분했다.[3] 한 미국 물리학자의 파이 반박문, 우리나라 뉴스[4] 다른 예로, 초월수가 실존함을 보이기 위해 자연수를 일렬로 늘어놓고 앞에 소수점 하나 찍어서 (0.12345678910111213...) 초월수를 만들어내기도 했다.[5] 여담으로 172,330,850 ~ 172,330,858번째까지 자리엔 0이 연속 8번이나 나오며, 24,658,601 ~ 24,658,609번째 자리엔 7이 무려 연속 9번 나온다. 이는 전체를 통틀어 가장 처음으로 9번 연속된 숫자다.[6] 제임스 그리고리는 Madhava of Sangamagrama가 발견한 \displaystyle \arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cdot x^{2n+1}}{2n+1}</math>(=xx33+x55x77+x99\displaystyle =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\ldots) 꼴의 아크탄젠트 급수를 재발견했는데, 라이프니츠가 여기에 x=1x=1을 대입하여 위 식을 얻었다.[7] 바젤 문제라는 빛의 세기에 관한 문제를 해결하면서 우연히 발견. 즉, 자연수 제곱의 역수들의 합(우변)을 계산하려고 하니 우연치 않게 원주율(좌변)이 나왔던 것.[8] 기하학적인 의미로 따졌을 때 바로 위의 공식보다 더 근본적인 공식으로, 이 식을 이용하여 위의 식을 곧바로 유도 할 수 있다.[9] 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)'이 되어야 맞다.[10] 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로(...) 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다.[11] 40초 쯤에 '...5105820974944...'가 맞으나 '...51058204944...'라고 나와있다.[12] 원문에서는 Pi? Why?라고 운율이 만들어지는 것도 소소한 포인트.