원주율

원주율을 선으로 시각화한 길이

1. 개요

2. 표기와 어원

3. 역사

4. 수학적 정의와 성질

• 원주율이 무리수임을 증명
• 람베르트 증명
• 니벤의 증명
• 니벤의 논문[3]
• 증명의 아이디어 자체는 간단하다.
  귀류법을 이용하여 [math(\pi=\dfrac pq)]라는 유리수라고 가정한 뒤, [math(f(x)=\dfrac{x^n(p-qx)^n}{n!})]이라는 함수와 이 함수로부터 유도된 [math(\displaystyle F(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k f^{(2k)}(x))]를 이용하여 모순을 유도하는 것.
  [math(F(0)+F(\pi))]를 계산해보면 정수가 나와야 하며, 이 값은 [math(\displaystyle \int_0^\pi f(x) \sin x {\rm d}x)]가 되는데, 두 함수 [math(f(x))]와 [math(\sin x)]가 0 이상인 구간 [math((0,\pi))]에서 곱해진 것을 적분한 것이므로 [math(\displaystyle 0 < \int_0^\pi f(x) \sin x {\rm d}x \leq )][math(,,sup)][math(\,f(x) \times \sup{\sin x}\times \pi)]라는 관계식이 성립하게 된다. 그런데 이 관계식의 가장 우측항은 [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 0으로 수렴, 즉 1보다 작게 된다는 걸 보일 수 있는데, [math(0)]보다 크면서 1보다 작은 정수는 없다. 따라서 [math(\pi=\dfrac pq)]라고 가정한 전제가 틀렸으므로 [math(\pi)]는 무리수다.
• 원주율이 초월수임을 증명
• 린데만-바이어슈트라스 정리를 이용한 증명[4]
• 초월수 증명 자체는 간단하다. 귀류법을 사용하는데, 먼저 [math(\pi)]가 대수적인 수라고 가정하자. 그러면 [math(i\pi)] 역시 0이 아닌 대수적인 수다. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리에 따라 [math(e^{i\pi})]는 초월수여야 한다. 하지만 오일러 등식에 따라 [math(e^{i\pi})]는 대수적 수인 [math(-1)]이다. 이는 모순이므로, 따라서 [math(\pi)]가 대수적인 수라고 가정한 전제가 틀렸다는게 된다. 따라서 [math(\pi)]는 초월수다.
• 존재성과 유일성 증명
• 복소해석학을 이용한 증명 - 월터 루딘의 저서인 RCA의 서문(prologue) 부분에 등장한다. 지수함수의 테일러 급수와 오일러 공식을 이용해 복소평면상에서 절댓값이 1인 모든 복소수의 집합이 모여 그리는 도형이 단위원임을, 그리고 그 둘레의 절반이 원주율임을 보인다.

5. 값

5.1. 유의미한 원주율 논쟁

5.2. 원주율의 배수 사용 논쟁

6. 계산법

• 존 월리스의 공식: 3Blue1Brown의 'The Wallis product for pi, proved geometrically'
  1의 거듭제곱근에 대한 성질과 인수정리 등을 이용한다. 복소수에 대한 이해가 필요하다.
• 라이프니츠의 공식: 3Blue1Brown의 '소수의 규칙성에 숨어있는 파이([math(pi)])'
  원의 면적과 복소평면에서의 소수의 규칙성을 이용하여 유도/증명한다. 소수와 복소수에 대한 이해가 필요하다.
• 오일러의 공식/바젤 문제: 3Blue1Brown의 'Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem'

7. 교육과 이용

8. 호도법

9. 여담

• 곡률이 0이 아닌 곡면 위에서는 원주율의 값이 달라진다. 정확히 말하면, '1회전'의 회전량은 유클리드에서건 비유클리드에서건 동일하기 때문에 [math(\pi)]값은 상수로서 일정하나, 원주율의 문자 그대로의 뜻인 '원주와 지름의 비율'은 달라질 수 있다. 이는 당장 곡률이 (+)인 지구본 위에 컴퍼스로 원을 그려보면 알 수 있다. 곡률이 (+)인 곡면에서는 원둘레가 [math(2\pi r)]보다 작게, (-)인 곡면에서는 크게 측정된다.
  
  별 의미 없는 것처럼 들리겠지만, 이를 한 차원 높여서 만약 우리 우주 공간의 곡률이 0이 아니라면[25] 우주 공간에 거대한 구를 만들어 봤을 때 표면적/지름의 비가 다르게 나올 수 있다. 만약 곡률이 (+)라면 표면적은 [math(4\pi r^2 )]보다 작게, (-)라면 크게 측정된다. 일단 현재까지의 관측 결과로는 우리 우주의 곡률은 거의 0에 가까운 것으로 보인다.

• 유튜브 등지에는 가끔 어떤 무리수의 값에서 곡조를 따오는 노래들이 있는데, 그 중에서는 원주율이 제일 많이 나오는 편이다. 다음은 그 예시.
• 12진법으로 표시해 다단조에 대응시킨 버전 #[26]
• 10진법으로 표시해 5음음계에 대응시킨 버전 #[27]
• 이상한 나라의 수학자에 나온 버전 #[28]
• 새원주율로 시도한 버전 #

대부분의 '파이 노래'들은 곡조를 숫자와 음계에 대응시켜 만들어내는데, 이것에 대한 비판도 있다. 요점은 어차피 어떤 곡조가 나오건 숙련된 음악가라면 정상적인 곡조로 바꿔버릴 수 있고 그게 체감도 안되는데 의미가 있냐는 것.[29] 거기에 추가로 원주율의 자릿수는 완전히 무작위적인데 무슨 의미가 있냐는 논쟁도 있다.

• 원주율을 노래로 만드는 시도 중에는 가사가 원주율을 외는 것인 노래들도 있다. 다음은 그 예시.
• 하츠네 미쿠를 사용한 버전 #
• 위 버전의 원본 #[30]
• 카가미네 린렌를 사용한 버전 #
• 연애 서큘레이션 패러디 버전 #[31]
• 일본 가수 KOKIA의 노래인 Clap your hands!에서는 가사 중간에 소수점 아래 100자리까지 일본어로 나온다.
• 테니스의 왕자에 나오는 이누이 사다하루의 캐릭터송 중 [math(\pi)]가 있는데, 실상은 노래와는 거리가 멀고 8분 반 동안 원주율을 읊는 내용이다. 팬 사이에서는 수면용BGM 취급을 받는듯.

• 영어로 부른 노래도 있다[우회필요]

• 디트로이트 메탈 시티의 음수전이라는 노래에선 슴가는 원주율과 같다고 한다. 이런 사상을 갖고 있는 주인공이 나오는 만화도 있다.

• PIE를 거울에 비춰보면 3.14와 비슷한 형태가 된다고 한다.참고

• 셜록 셰린포드는 원주율을 3으로 친다고 한다.

• 원주율에서 소숫점 이하 32번째 자리에서 처음으로 숫자 0이 나옴으로써 0에서 9까지 모든 숫자가 사용된다.

• 과거 유토리 교육 시대에 일본의 초등학교에서는 원주율의 근사값을 3으로 쳤다. 문부성의 학습지도 요령에 '목적에 따라 3으로 처리할 수 있다'고 규정돼 있기 때문이다. 일각에서는 이것이 가짜뉴스라고 주장하지만 오히려 이는 틀린 내용이며, 일본의 대다수 학교에서는 문부성 방침에 따라 "원주율은 그냥 3으로 쳐라."는 식으로 교육해왔던 것이 사실이다.출처(중앙일보) 출처(세계일보) 유토리 교육을 비판할 때 단골로 인용되기도 하는 일화로, 후쿠다 야스오 총리는 유토리 교육에 반대한다는 취지로 기자회견 문답에서 "3이면 계산할 수 있는데 3.14는 계산하기 어렵다는 건 이상합니다. 나는 더 많이 외울 수 있어요. 3.141592..."라며 원주율을 쭉 읊었었다. 하지만 저걸 가지고 계산한다고 상상해보자 드래곤 사쿠라에서도 원주율과 유토리 교육의 진짜 문제점(=원의 본질을 가르치기는 하는가)을 짚는 도쿄대 입시문제로서 인용되었다.

• 다만 한국인들에게는 원주율과 한국사에 조금만이라도 관심이 있다면 소숫점 이하 6자리까지는 외울 수 있는데, 3.141592...에서 3.14는 초등학교에서부터 배운 값이고 그 뒤 1592는 공교롭게도 임진왜란이 발발한 해이기 때문이다. (물론 위의 사례처럼 소숫점 이하 6자리나 되는 수를 갖고 곱하려면 끔찍하겠지만.)

• 무려 원주율 100만 자리를 적은 책이 있다!

• 레온하르트 오일러는 규칙이 없어보이는 소수를 관찰하면서 소수로만 이뤄진 식을 하나 만들었다. [math(\displaystyle \prod_{p\,\in\,\mathbb P}^\infty \frac{p^s}{p^s-1} )](혹은 [math(\displaystyle \prod_{p\,\in\,\mathbb{P}}^{\infty} \frac{1}{1 - p^{-s}} )])라고 표기되는 '오일러 곱'이라는 것인데, 여기서 [math(s=2)]인 경우가 바젤 문제의 해답 [math(\dfrac{\pi^2}{6})]이 된다. 놀랍게도, 베른하르트 리만은 이 오일러 곱이 제타 함수 [math(\zeta (s) := \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1{n^s})]와 같다는 점을 증명하고 악명 높은 리만 가설을 내놓게 된다.

• 영화 라이프 오브 파이에서 주인공이 학교에서 이상한 이름을 가졌다는 이유로 피싱(pissing, 오줌을 싸다)이라는 별명으로 놀림받자 자신을 다른 이름으로 부르게 하기 위해 원주율을 외워 별명이 파이로 바뀌었다.

• 원주율 소숫점 아래 25번째 자리까지 비밀번호로 쓰는 사람이 있다. 다음 링크 참조.#

• 아동 수학 학습만화에서 빠지지 않고 나오는 것이 바로 이 [math(\pi)]의 기원에 대한 농담이다. 앗! 시리즈의 '수학이 또 수군수군'에서도 다음과 같이 나온다.
  
  [math(\pi)]는 옛날의 수학자들이 간단한 원을 연구하는 과정에서 나왔다.
  
  
  수학자 1: 한가운데를 지나가는 거리를 지름이라고 부릅시다.
  
  
  수학자 2: 그리고 원의 가장자리를 한 바퀴 도는 거리를 원주라고 부릅시다.
  
  
  수학자 1: 지름을 재는 것은 쉽지요!
  
  
  수학자 2: 그 길이가 얼마인지 매듭을 지어 표시합시다.
  
  
  수학자 1: 그런데 원주를 재는 것은 아주 어렵군요.
  
  
  수학자 2: 만약 원주가 지름의 몇 배라고 나타낼 수만 있다면, 쉽게 계산할 수 있을 텐데요.
  
  
  수학자 2: 흠, 내가 보기엔 원주가 지름의 약 3배인 것 같은데?
  
  
  수학자 3: (파이를 들고 오며)약 3배라고?
  
  
  수학자 2: 3배보다는 조금 긴데요?
  
  
  수학자 1: 그러면 그것을 '3과 조금 더'라고 부릅시다.
  
  
  수학자 2: 별로 좋은 이름 같지 않은데요.
  
  
  수학자 3: '파이'라고 부르는 게 어떨까요?
  
  
  수학자 1: 파이?
  
  
  수학자 2: 왜죠?[33]
  
  
  수학자 3: (냠냠 쩝쩝하며 파이를 먹는다.) 왜라니요? 원도 둥글고 파이도 둥그니까, 파이라고 하면 되지요!
  
  
  대략 이런 과정을 통해 [math(\pi)]가 생겨났을 것이다.
  
  원래는 그리스 문자의 '피(π)'를 '파이'라고 발음하는 영어권 나라에서나 먹히는 농담이지만, 한국에서도 π의 발음을 '파이'라고 규정한 관계로 한국에서도 먹히는 개드립이 되었다.

• 한자 兀(우뚝할 올)과 기호가 비슷하다.

• 질량이 [math(1\,\rm kg)]인 물체 [math(A)]가 마찰이 없는 평면 위에 벽면을 바라보고 정지하여 있을 때, 질량이 [math(100^{n-1}\,\rm kg)]인 물체 [math(B)]가 벽면과 수직인 방향으로 [math(A)]를 향해 일직선으로 다가와 탄성 충돌하면, 물체 [math(A)]는 원주율의 정수부와 소수점 이하 [math(n)]자리까지의 숫자로 표기되는 정수만큼 충돌한다. 물리엔진 구현 수학적인 증명 간단히 설명하자면, 좌표축을 두 물체의 속도와 질량으로 조절한 위상공간을 만든 뒤 에너지 보존법칙과 운동량 보존법칙, 그리고 원주각의 성질을 이용하면 유도할 수 있다.
  물론 위 방법을 실제로 원주율 값을 계산하는 데에는 쓸 수 없다. 애초에 원주율은 자릿수가 많아질수록 정확도는 기하급수적으로 증가하기 때문. 현실에서 실제로 실험을 하고자 한다면, 고작 원주율 [math(20)]자리 구하는데 물체 하나의 질량이 [math(100\,\rm g)]이라면 다른 하나의 물체로 놔 두어야 하는 물체의 질량은 무려 [math(\mathbf{10^{37}\, kg})]으로 이는 우리은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀의 질량과 맞먹는다. [math(100\,\rm g)]의 물체와 충돌해도 미동도 하지 않을 벽과, [math(\mathbf{10^{37}\, kg})]의 물체에 의한 중력을 무시할 수 있는 [math(100\,\rm g)]의 물체가 필요하다. 게다가, 충돌 횟수를 일일이 세어줘야 하기 때문에 20자리 구할 때만 해도 3141경이 넘는 충돌 횟수를 다 세어야 하고, 그것마저도 천천히 충돌하는 것도 아니라 1초에 엄청 많은 충돌을 일으킨다.[34] 또한, 작은 물체의 속력은 초기 큰 물체 속력의 1000경 배가 되기 때문에, 아무리 큰 물체의 초기 속력이 나노미터를 넘어 아예 펨토, 욕토 단위여도 나중에는 아예 특수 상대성 이론을 고려해야 할 시기가 온다. 게다가 이 정도로 질량차가 커지면 둘 사이에서 발생하는 중력장의 변화도 무시할 수 없게 되어 특수 상대성 이론은 커녕 일반 상대성 이론까지 고려해야 한다.
  컴퓨터 시뮬레이션이라면 조금 더 편해지겠지만 여전히 비효율적인 건 변함없다.

• xkcd에서는 사실 원주율이 구조 메세지라는 농담이 나온 적이 있다. #

• 원주율을 천자문을 이용해서 외운 사람도 있다. #

• 원주율의 제곱은 10보다 약간 작은 [math(9.8696)] 정도로[35], 지구 지표면에서 중력가속도 [math(g_n = 9.806\,65{\rm\,m/s^2})]의 크기와 상당히 비슷하다. 우연이 아니라 미터법 초기에 미터를 진자로 정의하려던 시도의 흔적이다. 진자의 길이가 [math(l)]인 단진자에서 진동각이 매우 작을 때 주기 [math(T)]는 [math(T \approx 2\pi\sqrt{\dfrac lg})]로 근사되는데 [math(l = \dfrac14\,{\rm m} = 25{\rm\,cm})]일 때 [math(T = \dfrac\pi{\sqrt g} \approx 1.006419\cdots{\rm\,s})], 즉 주기가 [math(1)]초에 매우 근접한 값이 나온다.[36]

• 칼 세이건의 소설 콘택트에는 원주율 안에 창조주의 메시지(서명)가 숨겨져 있다는 암시가 등장한다. 10의 20승 자리부터 이진수로 나오고, 아스키 아트로 해석하면 0으로 된 배경에 1로 된 작은 원이 있는 구조. 다만 영화판에서는 나오지 않았다.

• 비상장 가상화폐 중 하나인 파이 네트워크의 파이는 원주율의 '파이'가 맞다.

• 인디애나에서는 원주율을 법으로 지정하려고 했었다. #

• 원주율에 해당하는 글자 수대로 내용을 적은 책이 있다.

• 파이데이 기념으로 티셔츠에 소숫점 아래 976자리 쓴 사람이 있다.

• 블루 아카이브의 ASMR 상품 중 18분 동안 원주율을 읽어주는 ASMR이 있다. 화자는 아케보시 히마리(CV: 유카나).

• 몇몇 일본 만화에는 천재 캐릭터가 집중할 때 원주율을 최대한 읊는 클리셰가 있다. 그 예로 R-15의 엔슈 리츠와 너를 너무너무너무너무 좋아하는 100명의 그녀의 에이아이 나노가 있다.

• S.H.E의 Selina의 노래 3.1415가 있다.

• 선발투수가 통산 2034 이닝을 던져 710 자책점을 기록할 경우 그 평균자책점은 3.1415929204 로서 원주율에 가장 근접해진다고 한다#[37].

9.1. 원주율 암기법과 언어유희

9.2. 파이데이

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