최근 수정 시각 : 2019-06-10 16:02:59

원주율

파일:나무위키+유도.png   3.14는 여기로 연결됩니다. 날짜에 대한 내용은 3월 14일 문서를 참조하십시오.
수학상수
{{{#!folding [ 보기 · 닫기 ] [math(0)] 덧셈의 항등원 [math(1)] 곱셈의 항등원
[math(i)] [math(x^2 + 1 = 0)]의 한 근 [math(pi)] [math(\displaystyle \int_{-1}^{1} {dx \over \sqrt{1- x^2}})]
[math(tau)] [math(2\pi)] [math(e)] \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x} </math>
[math(sqrt{2})] [math(x^2 - 2 = 0)]의 가장 큰 근 [math(varphi)] [math(\displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{ 5 } }{ 2 } )]
[math(gamma)] [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty } \left(\sum_{k=1}^n\frac1k - \ln n\right) )] [math(B_{2})], [math(B_{4})]
[math(G)] [math( \beta(2) )] [math(delta)], [math(alpha)]
}}} ||
1. 개요2. 상세3. 새 원주율 타우4. 값5. 계산법6. 원주율 근삿값 계산의 역사7. 기억술8. 여담

1. 개요

圓周率 / pi / π

의 지름에 대한 원둘레(원주)의 비. 원주율은 3.141...이다. 원주율을 알고 있다면 원의 둘레의 길이를 구하기 위해 힘들게 줄자를 사용할 필요가 없다. 그냥 지름의 길이를 구해서 지름의 길이에 원주율을 곱하면 된다. 그래서 지름이 1 cm인 원의 둘레의 길이는 3.1415...cm이고 지름이 2 cm인 원의 둘레의 길이는 6.28...cm이다. 그리스 문자 π로 표시하는데, 한국 발음으로는 파이이며, 그리스어로 둘레를 뜻하는 페리메트로스(περιμετρος)의 앞자리 π에서 가져왔다고 한다. 최초로 원주율을 π로 표기한 사람은 웨일스의 수학자 윌리엄 존스로, 자신의 저서에 π를 사용하였다. 이후 레온하르트 오일러에 의해 대중화되었다.

원주율은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이자 초월수이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다. 파인만 포인트 등에서 착각할 순 있지만... 그러나 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.

2. 상세

수학 교육과정에서 가장 먼저 만나게 되는 무리수다. 보통 초등학교에서는 6학년 때부터 근삿값으로 보통 3.14를 사용하며, 3, 3.1, 3.141, 227\dfrac{22}{7} 같은 수도 사용하는데 중학교나 고등학교 올라가면 저런 거 없이 그냥 π { \pi } 를 붙이는 것으로 계산 끝. 사실 그냥 π { \pi } 를 쓰는 게 더 편하다.

정수 2개의 비로 표현할 수 없는 무리수이기 때문에 자릿수가 무한하므로 각종 기록들을 양산하기도 한다. 가장 많은 수를 외운 사람이라든가 소수점 새로운 자릿수 계산이라든가 하는 등, 현재 기네스 북에서는 원주율에 관련된 기네스북 기록들이 더러 있다. 그 예로 소수점 이하 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 간혹 있을지도 모른다 파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 762자리까지 외운다면서 나온 수이고, 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 6만 7890자리.[1] 일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 8만 3431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.

하지만 실제로 소수점 이하 10자리 이상 쓰는 경우는 거의 없다.[2] 디지털 시스템에서 무리수를 사용할 방법이 없기 때문이다. 이게 가능하려면 해당 시스템이 무한한 정밀도를 표현할 수 있어야 한다. 실제로 이공계에서는 3.14159까지 소수점 다섯째 자리까지 사용하는 것이 일반적이다.

3월 14일의 진정한 의미라고 할 수 있겠다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 파이를 먹는 사람들도 있다. 이 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 3.14을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다.3월 14일 15시 9분 26초 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이자 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 흔히들 상상하는 것처럼 보통 파이(pie)를(...) 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다. 매사추세츠 공대(MIT)의 경우는 매년 합격자 발표일이 3월 14일이다. 그리고 새원주율 을 기념하여 6시 28분에 발표한다.

분수 7분의 22가 π\pi의 근삿값이므로 파이 근삿값의 날은 7월 22일이다.

공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 π와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을 자연로그의 밑 ee와 함께 보낸다. 그러다가, 오일러 공식eix=cosx+isinxe^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}로 인해서 복소수, e, 삼각함수, 지수함수가 아예 세트로 묶여 다닌다. 예를 들어, 해석학 교재인 PMA에서는 지수함수를 무한급수로 정의한 후 ix를 대입한 실수/허수부를 각각 cosx, sinx로 정의하고 cosx의 최소 양근의 2배를 π로 정의한다.

원주율 π\pi (또는 τ\tau)와 자연로그의 밑 ee복소수 i 간에는 eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0 (또는 eiτ=1e^{i\tau} = 1)의 관계가 성립한다. 이를 오일러 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 오일러의 공식에 x=π x = \pi 또는 τ\tau를 대입하면 나오는 결과다. 이를 이용해서 π=iln(1)\pi = - i \ln(-1)임을 알 수 있다.

3. 새 원주율 타우



자세한 내용은 타우 문서 참조.

원주율 파이는 부자연스럽게 정의되므로 2π\pi=6.2831...의 새로운 값을 가지는 상수를 사용해야 한다고 주장하는 수학자들이 있다.[3] 실제로 은 반지름으로 정의되기에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 이들은 기념일도 3월 14일 대신 이의 2배인 6월 28일에 원주율을 기념한다. 이 상수를 이용하면 원주의 길이는 τr\tau r, 원의 넓이는 12τr2\frac{1}{2} \tau r^2, 구의 겉면적은 2τr22 \tau r^2, 구의 부피는 23τr3\frac{2}{3} \tau r^3이 된다.

4.

{{{#!folding 원주율 소수점 이하 10000자리 [접기 · 펼치기]3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
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9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599
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4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435
4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082
2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617
5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031
9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738
3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545
3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332
3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507
7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267
8394497538 2437205835 9456127531 8134078330 3362542327
3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987
0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927
7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113
8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130
4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415
9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972
8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773
4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256
2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377
9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455
3251910760 2082520261 2540790914 5135711136 9410911939
8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737
2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364
3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745
1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400
6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510
2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766
8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047
4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123
2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010
2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610
3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501
9820595510 0226353536 9567302292 1913933918 5680344903
1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617
2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258
8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594
0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989
8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938
1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834
3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029
9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722
0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278
1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605
5139844253 2234157623 2772190055 6148425551 8792530343
3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348
2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611
0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486
3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623
5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862
9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051
3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570
1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634
8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026
9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183
7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157
9805349896 5022629174 9598470356 2226293486 0034158722
8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026
6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378
5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558
7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291
6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529
7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066
9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034
4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228
8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177
1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968
4697486762 6551658276 3408005355 9849175417 3818839994
5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296
4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041
9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212
7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356
3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522
7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153
2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017
9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323
2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505
4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885
2076651479 3942590298 6909411303 1509526179 3780029741
9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628
6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046
9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801
2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556
0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417
2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581
2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734
5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412
2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934
1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070
7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848
6540360367 4532865105 3084076118 3013052793 2054274628
7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973
5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274
2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001
2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758
4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 525637567
출처
}}} ||

이 사이트에서 특정 문자열이 원주율의 몇 번째 자리에서 등장하는지 검색할 수 있다. 2억 번째 자리까지 지원하므로, 파인만 포인트 찾으려고 999999 입력하는 것 정도는 순식간에 처리한다.

도 있고, 새 원주율(타우) 버전도 있다.

위의 수에서 뭔가 규칙을 찾아냈다면 높은 확률로 당신의 착각이다. 첫자리 3을 포함하여 359, 360, 361번째 수는 각각 3, 6, 0이고, 몇 십억 혹은 조 자리까지 뒤로 가면 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0이 순서대로 나오는 등 흥미로운 숫자 조합이 많이 나오지만 이런 예들은 어디까지나 10진법 표기에 의해 일어난 현상일 뿐 전혀 수학적인 규칙이 아니다.[4] #뉴턴 포스트

만약 발견한 것이 '꽤 오래 반복되는' 순환소수 부분이라면 파이를 조금 더 근사치에 가까운 유리수처럼 표기할 방법이 생기므로 미미한 의미가 있다. 가장 유명한 예로 762번째부터 767번째까지 9가 연달아 나오며, 이 부분을 파인만 포인트라 부른다.[5]

콘택트의 마지막 장면에선 우주의 창조자가 한 없이 긴 원주율의 소숫점 뒷자리에 숨겨놓은 규칙성과 메시지들을 발견했다.

더 지니어스:그랜드 파이널/5화 메인매치에서 4자리씩 120자리까지 제시됐다.
파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문단의 내용 중 전체 또는 일부는 원주율/값 문서의 r139 판, 1번 문단에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기



5. 계산법

원주율의 값을 계산하는 방법도 여러 가지가 있다. 보통 무한급수를 이용하는데, 원주율과 관련된 무한급수 또는 무한곱으로 다음과 같은 것들이 있다.
발견 년도 발견자 수식
1593 프랑수아 비에트 \displaystyle \frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot\ldots</math>
1655 존 월리스 \displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right)</math>

(=212343456567\displaystyle =\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\ldots)
1671(1674) 제임스 그레고리(라이프니츠)[6][7] \displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}</math>

(=113+1517+19\displaystyle =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots)
1735 오일러 \displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>

(=1+122+132+142+\displaystyle =1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots)[8]
\displaystyle \frac{\pi^2}{8}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(1+2n)^2}}</math>

(=1+132+152+172+\displaystyle =1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\ldots)[9]
\displaystyle \frac{\pi^2}{12}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}}</math>

(=1122+132142+\displaystyle =1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\ldots)
1914 스리니바사 라마누잔 \displaystyle \frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_ {n=0}^{\infty} {\frac {(4n)!}{(n!)^4}\cdot\frac{26390n+1103}{{396^{4n}}}}</math>

테일러 시리즈를 이용한 기계적인 증명이 아니라, 기하학적인 증명은 다음 영상을 참고.

6. 원주율 근삿값 계산의 역사

자세한 사항은 항목 참조.

7. 기억술

몇 가지 외우는 방법이 나와 있지만, 원주율을 소수점 아래 열네 자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명하다. 각 단어의 철자 수에 주목.
How I want a drink, alcoholic of course after the heavy lectures involving quantum mechanics!
(양자역학을 포함한 어려운 강의 후에는 얼마나 한 잔이 하고 싶은지!)
위 문장의 철자 수를 배열해보면 3.14159 26535 8979가 된다.

오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.
Now I, even I, would celebrate
In rhymes unapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance
How to circles mensurate...
심지어 나 같은 이라도, 서툰 운율로라도,
더 이상 견줄 사람 없을
영원불멸의 시라쿠사인을 찬양하리다.
우리에게 전승되었던
훌륭한 이야기 속에
사람들에게 방법을 남겨 주었지
어떻게 측정을 원[10] 하는지를...
이 역시 철자 수를 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279(30자리)이 된다.

과학쟁이라는 과학 잡지는 이러한 문장을 만들었다.
"돌고래가 모직 남방 만들며 아침 산책 도는 동안 럭비나 봐라."
이건 다음과 같이 글자의 초성을 숫자로 바꾼다.
ㅈ/ㅊ
1 2 3 4 5 6 7 8 9
숫자로 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 264(23자리)가 된다.

다행히 원주율의 소수점 32자리 숫자는 0이므로, 각 자릿수를 하나의 단어로 대용하는 규칙을 사용하면서 문장을 32단어 이상으로 확장할 수 없다.

8. 여담


[1] 최근 EBS다큐프라임 넘버스 1부 '하늘의 수 - π\pi'에 출현하여 당시 기록을 세웠을 때의 일화를 소개하였다.[2] NASA가 우주선의 달 착륙에 관련된 계산을 할 때도 5자리 정도로 충분했다.[3] 한 미국 물리학자의 파이 반박문, 우리나라 뉴스[4] 다른 예로, 초월수가 실존함을 보이기 위해 자연수를 일렬로 늘어놓고 앞에 소수점 하나 찍어서 (0.12345678910111213...) 초월수를 만들어내기도 했다.[5] 여담으로 172,330,850 ~ 172,330,858번째까지 자리엔 0이 연속 8번이나 나오며, 24,658,601 ~ 24,658,609번째 자리엔 7이 무려 연속 9번 나온다. 이는 전체를 통틀어 가장 처음으로 9번 연속된 숫자다.[6] 제임스 그리고리는 Madhava of Sangamagrama가 발견한 \displaystyle \arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cdot x^{2n+1}}{2n+1}</math>(=xx33+x55x77+x99\displaystyle =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\ldots) 꼴의 아크탄젠트 급수를 재발견했는데, 라이프니츠가 여기에 x=1x=1을 대입하여 위 식을 얻었다.[7] 근데 이걸로 직접 계산해 가면서 근사값 구하기가 좀 거시기한게 이녀석 수렴속도가 느려터져서 십만개의 항을 계산해야 3.14158...이 된다.[8] 바젤 문제라는 빛의 세기에 관한 문제를 해결하면서 우연히 발견. 즉, 자연수 제곱의 역수들의 합(우변)을 계산하려고 하니 우연치 않게 원주율(좌변)이 나왔던 것.[9] 기하학적인 의미로 따졌을 때 바로 위의 공식보다 더 근본적인 공식으로, 이 식을 이용하여 위의 식을 곧바로 유도 할 수 있다.[10] 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)'이 되어야 맞다.[11] 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로(...) 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다.[12] 40초 쯤에 '...5105820974944...'가 맞으나 '...51058204944...'라고 나와있다.[13] 원문에서는 Pi? Why?라고 운율이 만들어지는 것도 소소한 포인트.[14] 원주율 값을 계산하는데에는 쓰지 말자. 원주율 20자리 구하는데 하나의 질량을 우리 은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀 10개짜리 수준의 질량으로 놔둬야 한다.(단위를 kg로 놓았을 때 기준.) 게다가, 충돌 횟수를 일일이 세줘야 하기 때문에 20자리 구할 때만 해도 3141경이 넘는 충돌을 다 세야 하고, 그것마저도 천천히 충돌하는 것도 아니라 1초에 엄청 많은 충돌을 일으키기 때문에... 어쩌면 위에 나와있는 제임스 그레고리/라이프니츠의 공식보다 더 비효율적일지도?