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1. 개요
secant line, chord · 割線원과 두 점에서 만나는 직선.
2. 특징
중심이 점 [math(\rm O)]인 원을 고려하자. 이 원 위의 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]를 잡고, 두 점을 연결한 [math(\overleftrightarrow{\rm AB})]가 할선이 된다.
[math(\overline{\rm AB})]를 현이라 하며, 특히 [math(\overline{\rm AB})]가 원의 중심 [math(\rm O)]를 지날 때의 현을 지름이라 한다.
또한, 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]를 잇는 원 테두리의 곡선을 호라 하며, 기호로 [math(
원의 중심 [math(\rm O)]에서 할선 [math(\overleftrightarrow{\rm AB})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하면, 삼각형 [math(\rm OAH)]와 삼각형 [math(\rm OBH)]는 [math(\rm RHS)] 합동이다. 따라서 수선의 발 [math(\rm H)]는 [math(\overline{\rm AB})]의 중점이다.
수선의 발 [math(\rm H)]에서 연장선을 그어 [math(
접선과의 관계에 대해 알아보자면, 원과의 교점이 두 개인 직선이 할선이고, 접선은 교점이 한 개이다. 접선에 비해서 아무렇게나 그리면 만들어져서 별로 중요해보이지 않을 수 있지만 원에서의 다양한 용어들을 정의하는데 유용하다. 접선 문서에서도 언급되어 있지만 접선을 원과 할선의 두 점의 거리를 0으로 수렴시킨 극한으로 인식하는 경우도 있다.
이제 [math(\overline{\rm AB})]와 [math(
[math(\angle \rm AOB)]를 [math(
| [math(\begin{aligned} \overline{\rm AB} &=r\times 2\sin{\frac x2} \\ &\equiv r \operatorname{crd}{x}\end{aligned})] |
3. 할선의 결정
좌표평면에서 할선은 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기, 원 밖의 두 점 등으로 결정될 수 있는데, 이때 기울기나 두 점의 위치에 따라서 할선이 생길 수도 있지만 그렇지 않을 수도 있다.- 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기
원과 접하는 접선이 [math(x)]축 양의 방향과 이루는 각을 각각 [math(\theta)], [math(\theta')](단, [math(\theta<\theta')])라 하면 할선이 생기기 위해서는 기울기의 각 [math(\Theta)]가 [math(\theta<\Theta<\theta')]여야 한다. - 원 밖의 두 점의 위치
두 점을 잇는 직선의 방정식과 원의 방정식을 연립하여 이차방정식을 세운 후, 그 이차방정식의 판별식 [math(D)]의 값이 [math(D>0)]이면 교점이 2개이므로 할선이 만들어진다. 눈대중으로 파악하거나 연필과 자를 이용하여 두 점을 직접 연결하는 직관적인 방법도 있다.
4. 활꼴의 넓이
활꼴의 넓이를 구하는 것은, 회전 대칭으로 말미암아 위와 같은 상황으로 대치할 수 있다.
이제 좌표평면 위에 원 [math(x^2+y^2=1)]과 할선 [math(x=k)](단, [math(|k|<1)])을 고려한다. 원과 할선의 교점을 각각 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 하고, 할선이 [math(x)]축과 만나는 점을 [math(\rm H)]라 한다. 또한, [math(\angle \rm AOH=\theta)]라 놓는다.
우선적으로 알 수 있는 정보는 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} \overline{\rm OH}&=k \\ &=\cos{\theta} \\ \\ \overline{\rm AB}&=2\sin{\theta}\end{aligned})] |
부채꼴의 넓이는 쉽게 다음과 같이 구해진다.
| [math(\dfrac12\times 1^2\times(2\theta)=\theta)] |
| [math(\begin{aligned} \triangle{\rm OAB}&=\frac12\times \overline{\rm OH} \times \overline{\rm AB} \\ &=\sin{\theta}\cos{\theta} \\ &=k\sqrt{1-k^2}\end{aligned})] |
한편,
| [math(k=\cos{\theta} \quad \to \quad \theta=\arccos{k})] |
| [math(\begin{aligned} S&=\theta-\sin{\theta}\cos{\theta} \\&=\arccos k-k\sqrt{1-k^2} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} S&=\theta-\sin{\theta}\cos{\theta} \\&=a^2(\arccos k-k\sqrt{1-k^2}) \end{aligned})] |
참고적으로 회색 부분이 아닌 큰 활꼴의 넓이 [math(S')]은 원의 넓이에서 [math(S)]를 빼면 되므로
| [math(\begin{aligned} S'&=a^2\pi-S \\&=a^2(\pi-\arccos k+k\sqrt{1-k^2}) \end{aligned})] |
이 식이 맞는지 검토하기 위해 [math(k=0)]을 각각 대입해보면, [math(a^2 \pi/2)]로 원의 넓이의 절반이 나온다. 따라서 옳게 구해진 것이다.
5. 할선법
할선법(secant method, 割線法)은 방정식을 수치적으로 풀기 위한 반복적인 근사 방법 중 하나이다. 뉴턴-랩슨 방법과 비슷하지만, 함수의 도함수를 계산하지 않고, 두 점 사이를 잇는 할선(직선) 사용해 근사적인 해를 찾는 방법이다. 이때 할선은 곡선 위의 두 점을 지나는 직선을 의미한다.먼저 방정식을 [math(f(x)=0)]의 형태의 함수로 변환한다. 그 다음 함수 [math(f(x))] 위의 초기 두 점 [math((x_{n-2},\,f(x_{n-2})))]와 [math((x_{n-1},\,f(x_{n-1})))]을 잇는 할선을 이용하여, 새로운 근사점 [math((x_n,f(x_n)))]을 찾는다.[1] 그리고 새로운 근사점의 [math(f(x_n))]가 [math(0)]에 수렴할 때까지 반복한다.
| [math(\begin{aligned} x_n &= x_{n-1}-f(x_{n-1})\dfrac{x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})} \\ &=\dfrac{x_{n-2}f(x_{n-1})-x_{n-1}f(x_{n-2})}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}\end{aligned})] |
| <rowcolor=#000000,#e0e0e0> [math(\bm n)] | [math(\bm{x_n})] | [math(\bm{f(x_n)={x_n}^2-x_n})] |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 6 |
| 3 | -1.5 | 3.75 |
| 4 | 9 | 72 |
| 5 | 2.076... | 2.236... |
| 6 | -1.854... | 5.295... |
| 7 | -4.951... | 29.471... |
| 8 | 1.176... | 0.207... |
| 9 | -1.220... | 2.708... |
| 10 | -1.375... | 3.268... |
| 11 | 0.466... | -0.248... |
| 12 | -0.336... | 0.449... |
| 13 | -0.180... | 0.213... |
| 14 | 0.040... | -0.038... |
[math(n=7)] 정도까지 [math(\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n))]이 수렴한다는 것을 파악하기 어렵지만 그 이후에는 수렴하는 모습을 보인다. 이 함수의 실근은 [math(x=0)] 또는 [math(x=1)]이지만 [math(x_n)]이 [math(0)]에만 수렴하는 것을 확인할 수 있다. 따라서 모든 실근을 찾으려면 초기 점을 적절하게 설정해야 하며, 만약 초기 점이 부적절하게 설정된 경우 발산할 수도 있다.
6. 기타
- 문화어로 '가름선'이라고 한다.
- 할선 [math(n)]개를 이용하여 원을 최대 몇 개의 영역으로 구분할 수 있는지에 대한 문제가 수학 시험에 간혹 출제된다. 할선이 [math(n)]개 그려져 있을 때 [math(1)]개의 할선을 더 그리면 [math(n+1)]개의 영역을 추가할 수 있다는 점과 맨 처음에 [math(1)]개의 영역이 있다는 점을 이용하면, [math(n)]개의 할선으로
[math(\displaystyle 1+\sum_{k=1}^nk=\dfrac{n^2+n+2}2)]
개의 영역으로 구분할 수 있다는 것을 알 수 있다. - 원과 현 사이의 거리와 원의 반지름을 이용하여 피타고라스 정리를 통해 현의 길이를 구할 수 있으며, 각종 수학 시험에서 응용 문제로 간혹 등장한다.
- 어떤 정다각형의 대각선은 그 정다각형에 외접하는 원의 현이며, 이를 연장하면 할선이 된다.
- 금지를 의미하는, 원 안에 대각선이 있는 표시에서 그 대각선은 원의 현이며, ⊘ 기호에서 직선 부분은 가운데 부분의 원의 할선의 일부처럼 보인다.
- 과거에는 중 2-2 수학 교과서에 등장하였으나 언젠가부터 사라졌다.
7. 관련 문서
[1] 이 할선에 대한 기울기와 한 점의 좌표를 사용하여 직선 방정식을 구한다. 이 직선 방정식의 [math(x)]절편이 새로운 근사점이 된다.