최근 수정 시각 : 2019-08-16 15:54:23

코사인 법칙

파일:나무위키프로젝트.png
이 문서는 나무위키:프로젝트/수학에서 다루는 문서입니다.
해당 프로젝트 문서를 방문하여 도움이 필요한 문서에 기여하여 주세요!

1. 개요2. 제 1 코사인 법칙
2.1. 증명
3. 제 2 코사인 법칙
3.1. 증명
3.1.1. 기본적인 증명3.1.2. 제 1 코사인 법칙을 이용한 증명3.1.3. Phasor와 복소수를 이용한 증명
3.2. 활용
4. 관련 항목

1. 개요

Cosine law

2009 개정 교육과정에서 빠졌다가, 2015 개정 교육과정 상 고등학교 때 배우게 되는 삼각형삼각함수에 관한 정리.

사인 법칙과 함께 삼각형의 변의 길이와 각의 크기를 찾을 때 유용한 정리이다. 한국에서는 이상하게도 제 1 코사인 법칙, 제 2 코사인 법칙의 두가지로 나누는데, 세계적으로 코사인 법칙이라 하면 제 2 코사인 법칙만을 가리킨다.[1] 사실 제 1 코사인 법칙은 법칙이라 하기에는 조금 민망하다. 그리고, 2007 개정 교육과정 이후로는 과거 제 2 코사인 법칙이 그냥 "코사인 법칙"으로 이름이 변경되었다.

2009 개정 교육과정으로 인해 2017 수능부터는 출제되지 않는다. 하지만 2021 수능부터는 다시 출제된다. 이것에 관해선 수학Ⅰ 문서를 참조하라.

2. 제 1 코사인 법칙

삼각형 [math(\mathrm{ABC})]를 고려하자. 이때 각 [math(A)], [math(B)], [math(C)]의 대변을 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a&=b\cos{C}+c\cos{B} \\ b&=c\cos{A}+a\cos{C} \\ c&=a\cos{B}+b\cos{A} \end{aligned} )]

2.1. 증명

삼각형 [math(\mathrm{ABC})]의 꼭짓점 [math(\mathrm{A})]의 대변 [math(\mathrm{BC})] 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자.

(ⅰ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때

파일:코사인법칙_증명_예각.png

다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a&=\overline{\mathrm{BH}}+\overline{\mathrm{CH}} \\ &=c\cos{B}+b\cos{C} \end{aligned} )]


(ⅱ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 둔각 삼각형일 때

파일:코사인법칙_증명_둔각.png

다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a&=\overline{\mathrm{BH}}-\overline{\mathrm{CH}} \\ &=c\cos{B}-b\cos{(180^{\circ}-C)} \\ &=c\cos{B}+b\cos{C} \end{aligned} )]


(ⅲ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 직각 삼각형일 때

파일:코사인법칙_증명_직각.png

위 그림에서
[math(\displaystyle a=\overline{\mathrm{BH}}=c\cos{B} )]
이고, [math(\angle C=90^{\circ})]이므로 [math(\cos{C}=0)]이다. 따라서
[math(\displaystyle a=c\cos{B}+b\cos{C} )]
이 성립한다.


나머지 세 변에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다. 이것은 위키러들의 몫으로 남겨둔다.

3. 제 2 코사인 법칙

삼각형 [math(\mathrm{ABC})]를 고려하자. 이때 각 [math(A)], [math(B)], [math(C)]의 대변을 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A} \\ b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cos{B} \\ c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C} \end{aligned} )]

3.1. 증명

3.1.1. 기본적인 증명

삼각형 [math(\mathrm{ABC})]의 꼭짓점 [math(\mathrm{A})]의 대변 [math(\mathrm{BC})] 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자.

삼각형 [math(\mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때, 그림은 아래와 같고,

파일:코사인법칙_증명_예각.png

이때, 위 그림을 참고하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{AH}}&=c\sin{B} \\ \overline{\mathrm{HC}}&=a-c\cos{B} \\ \overline{\mathrm{AC}}&=b \end{aligned} )]
이고, 삼각형 [math(\mathrm{AHC})]는 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리로 부터,
[math(\displaystyle \begin{aligned} b^2 &= (c\sin B )^2 + (a - c\cos B)^2 \\ &=c^2 \sin^2 B + c^2 \cos^2 B + a^2 - 2ac\cos B \end{aligned} )]
을 얻는다. 이때, [math(\sin^2 B + \cos^2 B =1)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} b^2=c^2+a^2-2ca\cos B \end{aligned} )]
을 얻는다.

삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}가 둔각 삼각형이거나 직각 삼각형의 경우에도 직각 삼각형 AHC{\mathrm{AHC}}을 이용하면 같은 식을 얻을 수 있고, 나머지 두 식에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다.

여기서 sin2B+cos2B=1 \sin^2 B + \cos^2 B=1 이 피타고라스의 정리와 삼각함수의 정의에서 유도되므로, 코사인 법칙은 피타고라스의 정리와 삼각함수의 정의의 결과, 또는 피타고라스의 정리를 삼각함수의 정의를 이용하여 확장한 것이라고 할 수 있다.[2]

3.1.2. 제 1 코사인 법칙을 이용한 증명

제 1 코사인 법칙의 첫 식 부터 아래 순으로 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]를 곱하자. 그렇게 되면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} a^{2}&=ab\cos{C}+ac\cos{B} \\ b^{2}&=bc\cos{A}+ab\cos{C} \\ c^{2}&=bc\cos{B}+bc\cos{A} \end{aligned} )]
이 때 첫 번째 식으로 부터 두 번째, 세 번째 식을 빼면, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a^2-b^2-c^2&=ab\cos C+ac\cos B-bc\cos A-ab\cos C-ac\cos B-bc\cos A \\ &=-2bc\cos A \end{aligned} )]
정리해주면,
[math(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A )]
나머지 두 변에 대해서도 비슷한 방법으로 증명 가능하다.

3.1.3. Phasor와 복소수를 이용한 증명


파일:코사인법칙_증명_복소평면.png

그림에서 [math(\mathbf{C=A+B})]이므로 이를 Phasor로 표현하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle Ce^{i \gamma }=Ae^{i \alpha }+Be^{i \beta } )]
이때, 오일러의 공식을 이용하면,
[math(\displaystyle C(\cos{\gamma}+i \sin{\gamma})=A(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})+(\cos{\beta}+i \sin{\beta}) )]
이제 이것을 실수부와 허수부로 나눠서 쓰면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} C\cos{\gamma}&=A\cos{\alpha}+\cos{\beta} \\ C\sin{\gamma}&=A\sin{\alpha}+\sin{\beta} \end{aligned} )]
윗식을 각각 제곱하여 더하면,
[math(\displaystyle C^2 \cos^2 {\gamma} + C^2 \sin^2 {\gamma} = A^2 \cos^2 {\alpha} + A^2 \sin^2{\alpha} + B^2 \cos^2{\beta} + B^2 \sin^2{\beta} + 2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+ \sin{\alpha}\sin{\beta}) )]
이때, 다음 두 식
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}&=1 \\ \cos( \alpha-\beta ) &=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \end{aligned} )]
을 이용하여, 식을 간결하게 하면,
[math(\displaystyle C^2 = A^2 + B^2 + 2 AB \cos(\alpha -\beta) )]
이때, 위 그림을 잘 관찰하면, 끼인각 [math(\theta)]와 [math(\alpha)], [math(\beta)]와의 관계는
[math(\displaystyle \alpha- \beta = - (\pi +\theta) )]
따라서 위에서 나온
[math(\displaystyle \cos(\alpha -\beta)=-\cos{\theta} )]
이상에서 다음이 도출된다.
[math(\displaystyle C =\sqrt{ A^2 + B^2 - 2 AB \cos{\theta}} )]
이때, [math(C)]는 길이이므로 항상 양수여야 함에 주의하라.

3.2. 활용

  • 두 변과 그 끼인각을 알 때, 다른 한 변의 길이를 이 공식을 이용해서 알 수 있다.
  • 코사인 값만 한 쪽에 둔 뒤 나머지 값을 전부 다른 쪽으로 이항하면, 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
    [math(\displaystyle \cos{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} )]

    이는 세 변의 길이를 알 때, 각의 크기를 구할 때 요긴하게 쓰이게 된다. 또한, 이 조건 자체가 사실은 삼각형의 결정 조건이다. 즉, 삼각형에서 제 2 코사인 법칙의 두 식[3]은 해가 반드시 하나이다.[4] 값에 따라서 해가 두 개가 나올 수도 있는 사인 법칙과는 구분되는 점이다.
  • 또한, 제 2 코사인 법칙은 피타고라스 정리의 일반화라 볼 수 있다.
  • 물리학에서는 벡터를 많이 다루기 때문에 이 공식은 필히 알고 있어야 한다. 역학에서 두 힘의 합성을 구할 때나[5], 전자기학다중극 전개 등에서 이를 활용하게 된다.

4. 관련 항목



[1] 예외적으로 현행 일본 고등학교 교육과정에서도 코사인 법칙를 제 1 여현정리, 제 2 여현정리로 구분을 한다. 참고로 중국과 일본에선 코사인을 여현(余弦)이라고 한다.[2] 삼각함수의 정의는 닮은 삼각형의 존재성에서 바로 나오고, 닮은 삼각형의 존재성과 피타고라스의 정리와 평행선공준은 서로 동치인 명제이다. 따라서 코사인 법칙은 길이와 각에 관한 유클리드 기하학의 고유한 성질을 보여주는 명제라고 할 수 있고, 구면 위의 기하학에서는 이와 다른 정의와 법칙(구면삼각법)이 사용된다.[3] 원 식과 그 변형[4] 원식은 양수값과 음수값 두개가 나오지만 변의 길이는 무조건 양수이므로 해가 하나, 변형식은 코사인함수가 00^{\circ}180180^{\circ}사이에선 일대일 대응이기 때문에 해가 하나이다.[5] 크기 A, B, 두 힘 사이의 각이 θ일 때, 힘의 합은 [math(\displaystyle F =\sqrt{ A^2 + B^2 - 2 AB \cos{\theta}} )]이다. 증명은 평행 사변형을 그리는 것으로 간단히 알 수 있다.

분류