1. 개요
| 원환면 |
가운데에 구멍이 뚫린 위상도형. 흔히 '도넛 모양'이라고 한다.[1] '환상(環狀)' 또는 '토러스'라고도 부른다. 영단어 torus는 복수형이 tori이며, 새끼줄 뭉치나 모자의 실방울, '큰 쇠시리'[2] 따위를 뜻하는 라틴어 'torus'에서 유래된 단어이다.
여러 개의 원환체나 여러 개의 구멍(hole)을 가진 하나의 물체를 [math(n)]-hole tori로 일컫기도 한다.
2. 정의
일단 일반적인 도넛 모양인 [math(1)]-hole torus의 개념으로만 기술한다.굳이 원의 곱집합이라고 해서 일반적인 도넛 모양일 필요는 없다. 회전하는 로봇 팔 [math( {S^1}_{a} )] 이 회전축과 반대되는 끝을 회전축으로 하는 다른 회전하는 로봇 팔 [math( {S^1}_{b} )] 과 연결되어있다면 그것만으로도 torus의 정의를 만족할 수 있기 때문에 위상동형[4]이다.
나아가, [math(n)]-hole tori가 있을 수 있는데 이는 n개의 구멍이 뚫려 있는 '하나의' 위상기하학적 물체 혹은 공간으로 [math( abcd...a^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}... )] 으로 표현할 수 있다. 구멍 한개당 index alphabet이 하나씩 더 늘어나는 식으로 기술할 수 있으며 당연히 단위 사각형이 아니라 [math(2n)]각형(역시 모든 꼭지점이 동일하다)으로 표현한다. [math(1)]-hole torus와 마찬가지로 임의의 index가 붙은 다각형이 최종적으로 위와 같은 index 식의 다각형이라면 [math(n)]-hole tori이다.
2.1. 특징
- [math(1)]-hole torus의 경우
- [math( aba^{-1}b^{-1} )] 의 단위 사각형을 오일러의 정리식으로 계산해보면 2가 되지 않는다([math(V-E+F=1-2+1=0)]). 이는 torus가 유클리드 공간의 영역에 해당됨을 시사한다.
- torus는 닫힌 공간(closed surface)이며, 표면의 한지점에서 면과 90도를 이루는 법선벡터(normal vector)를 시계방향으로 정의하면 뫼비우스의 띠와는 달리 모든 면에서 법선 벡터의 방향이 시계 방향으로 일정하게 유지된다. 따라서 orientable하다. 또한 [math(n)]-hole tori도 orientable하다.
- 위의 두가지 성질이 성립하는 위상학적 물체는 모두 torus와 위상동형이라고 볼 수 있다.
- 4색정리의 파생형으로, [math(1)]-hole torus상의 그래프는 채색시 최소 7색이 필요하다.
- [math(n)]-hole tori의 경우
- [math( abcd...a^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}... )] 의 다각형을 오일러의 정리식으로 계산하면 항상 [math(V-E+F=2-2n)]으로, 항상 negative한 값을 가진다. 이는 [math(n)]-hole tori가 비유클리드 공간의 harmonic space에 해당됨을 의미한다.
- 어떤 위상학적 물체가 compact이고 orientable하며 오일러의 정리식이 [math(2-2n)]값을 갖는다면 그 물체는 [math(n)]-hole tori와 위상동형이다.
- 평면으로 축퇴시킬 수 없다. 즉 전개도를 만들 수 없다.
- 복소 공간에서 타원곡선이 그리는 도형이기도 하다.
- 타이거라는 이름의 4차원 도형은 토러스를 토러스 방향으로 회전시켜 만드는 도형이다.
3. 원환체
원환면으로 둘러싸인 입체를 원환체(圓環體, toroid)라고 한다.3.1. 겉넓이와 부피
토러스를 정사영시켰을 경우 바깥쪽 원의 반지름을 [math(\omicron)], 안쪽 원의 반지름을 [math(\iota)]로 하면- 겉넓이: [math((\omicron^2 - \iota^2) \cdot \pi^2)][5]
- 부피: [math(\dfrac{\pi^2}{4}(\omicron+\iota)(\omicron-\iota)^2)]
[1] 그런데 사실 도넛은 먼치킨이나 에클레르 같이 원환체가 아닌 종류도 많다. 도넛 문서 참조[2] 건물이나 가구에 쓰이는 커다란 크기의 고형 장식. 주로 원호 형태이며 반원형 혹은 말굽형 단면을 지니고 있다. (출처: 우리말샘)[3] 함수 [math(f:X{\rightarrow}Y)] (X,Y는 모두 위상학적인 공간 또는 물체)가 [math(f)]는 전단사(일대일 대응하면서 공역과 치역이 같은) 함수로서 [math(f)]와 [math(f)]의 역함수 모두 연속함수라면 [math(X)]와 [math(Y)]가 서로 위상 동형이라고 정의한다. 즉 위상학적으로 서로 같다는 것이다.[4] 사실 어떻게 보면 인간과 모든 동물도 도넛의 위상동형이라 볼 수 있다. 입과 항문 사이의 장을 파이프라 보면 구멍이 1개인 위상동형이기 때문. 다만 인간의 경우는 정확하게는 거기에 추가로 비강을 거쳐서 콧구멍 2개, 누점 2개로 눈으로 이어지기 때문에 실질적으로는 구멍 5개의 [math(5)]-hole tori와 위상동형이 된다.[5] 이렇게 표현한 이유는 [math(\pi^2(\omicron^2 - \iota^2))] 같은 식으로 표현할 경우 두 번 적용된 소수 계량 함수와 혼동할 수 있기 때문.