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| 정육면체의 전개도 |
1. 개요
展開圖 / development3차원 입체도형을 펼쳐서 평면에 나타낸 그림. 따라서 일반적으로 모든 전개도는 2차원이다.
전개도는 일반적으로 실선과 점선을 통해 나타내는데, 점선을 따라 전개도를 접으면 전개도에서 인접한 실선끼리는 맞닿도록 전개도를 나타낸다. 이 선들은 전개 전 도형의 모서리에 대응하는 선분이다.
전개도의 정의상 어떤 입체도형의 겉넓이는 곧 전개도의 넓이가 된다.
2. 확장
4차원 초입방체의 전개도도 생각할 수 있는데, 이는 한 차원 낮은 3차원의 입체가 될 것이다. 일반적으로 [math(n)]차원의 도형의 전개도는 [math((n-1))]차원이 된다. 이곳에서 3차원 전개도를 접는 법을 볼 수 있다.5차원 초입방체의 전개도는 4차원 초입체가 될 것이다.
한편 3차원 도형 중 전개도가 존재하지 않는 도형이 있는데 그 중 하나가 구로, 구면의 어느 부분도 평면으로 축퇴시킬 수 없기 때문이다.[1] 이 때문에 구형에 가까운 지구의 표면을 평면상의 지도로 그릴 때 왜곡이 발생하게 된다.[2] 원기둥, 원뿔은 전개도가 존재하지만 구 이외에도 전개도를 만들 수 없는 입체도형으로 토러스, 타원면, 타원포물면, 쌍곡포물면등 무수히 많다.
4차원 초구의 경우에도 전개도가 존재하지 않는다. 쌍곡포물입체, 타구포물입체, 타구입체, 타이거, 구기둥, 구초뿔, 다이토러스, 구 토러스, 토러스 구 등이 그렇다.
3. 전개도의 개수
정사면체는 2개, 정육면체와 정팔면체는 각각 11개, 정십이면체와 정이십면체는 각각 43380개의 전개도가 존재한다. 각뿔, 각기둥이나 엇각기둥도 각형 수가 늘어날수록 전개도 수가 기하급수적으로 늘어나며 아르키메데스 다면체나 카탈랑 다면체나 존슨 다면체 등은 전개도 수가 셀 수 없을 정도로 많을 것이다. 돔 같은 경우는 훨씬 더 많아질 것이며, 같은 사면체라도 정사면체가 아닌 임의의 사면체는 16개로 전개도 개수가 더 많다.한편 4차원 이상의 도형에도 전개도의 개수가 있는데 정오포체는 전개도가 3개가 있다. 정팔포체는 261개, 정십육포체는 110912개가 존재하며 정이십사포체는 약 1.790×1016개, 정백이십포체는 약 2.760×10119개, 정육백포체는 약 7.667×10308개로 전개도 수가 더 많다. 아르키메데스 다포체나 카탈랑 다포체는 상상하지 못할 정도로 전개도 수가 훨씬 더 많아진다. 5차원 이상의 n-단체, n-초입방체, n-정축체는 각각 몇 개의 전개도가 존재한다고 할 수 있겠다.
4. 기타
유클리드 정규 벌집 및 쌍곡 벌집은 물론이고, 심지어 만들어지지 않는 추상적인 오목 벌집 계열(이포각이 정다포체, 정규 벌집, 쌍곡 벌집인 경우 모두 해당)도 구성하고 있는 n-1차원 도형이 무수히 많아서 전개도 및 대각선의 개수를 정의할 수 없다. 쌍곡 벌집은 3차원 상에서 음수면체[3] 로 나오긴 하지만 수치적인 값일 뿐 직접 접어서 만들 수 있는게 아니기에 전개도, 대각선, 한 꼭짓점에서의 거리타입 가짓 수를 정의할 수 없다.대한민국 초등학교 수학 교육과정에 처음으로 나오는 개념이다.
5. 관련 문서
[1] 평면은 곡률이 항상 0임에 비해, 구는 항상 양의 곡률을 갖는다. 이 사실을 카를 프리드리히 가우스가 증명했다.[2] "왜 호주보다 그린란드가 더 큰데 호주는 대륙이고 그린란드는 섬이에요?" 같은 질문이 나오는 것도 여기서 기인한다(실제로는 호주가 더 크다). 메르카토르 도법 항목 참조.[3] 정다면체의 다각형 면의 수를 구하는 공식을 이용해서 대략적으로 추측한 몫이다.