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| 구면 상 하나의 선분으로 구성된 일각형. |
1. 개요
一角形 / monogon오직 한 개의 변과 한 개의 각으로 이루어진 도형. 오직 하나의 점 자기 자신을 선분으로 이어 다시 만나게 만들 방법이 없는 유클리드 기하학에서는 당연히 불가능한 도형이지만 최단거리의 정의가 유클리드 기하학과 다른 비유클리드 기하학에서는 가능하다. 대표적으로 직선을 그었을 때 그 직선이 자기자신과 다시 만나게 되는 구면기하학에서 가능하다.[1]
2. 상세
자기 자신의 경선이 이루는 각은 무조건 180º가 된다. 그리고 구면기하학에서 일각형이 들어간 정다면체는 {2,1}, {1,2}만 나타낼 수 있기도 하다. {1,1}, {3,1}, {1,3}과 같은 형태는 구면기하학 상에서도 그릴 수 없다는 말도 된다.[2] 4차원에서도 {2,2,1}, {1,2,2}, {2,1,2}, {1,2,1}, {n,2,1}, {1,2,n} 형태만 초구에서 나타내는 것이 가능하며 모든 차원에서 1은 반드시 2가 이웃한 것들만 n차원 구면 기하학에서 나타내는 것이 가능하다.[3] 즉 4차원에서도 {3,2,1}, {1,2,3} 이런 형태는 가능하지만 {3,1,3}, {1,3,1}, {3,3,1}, {1,3,3} 이런 형태는 구면기하학에서조차 나타낼 수 없다는 뜻이다.구면에서는 어떤 점에 대해 줄자를 대고 그으면 자연스럽게 일각형이 만들어진다. 물론 정확한 구여야 하며 타구에서는 안만들어지는 경우도 있다. 구면에서의 직선은 3차원 관찰자가 바라봤을 때 무조건 반지름이 구면과 같은 원(대원)이므로, 어떤 경로를 선택하든 만들어진 일각형은 모두 정일각형이며, 모두 변의 길이가 같은 합동이다.
일각형은 이각형에 비해서도 많은 조건들을 만족시키지 못한다. 퇴화된 다면체(degenerate polytope)라고도 불린다. 구면 기하학에서는 그릴 수 있지만 평면 상에서는 절대로 그릴 수 없는 도형이기도 하다.
[1] 이는 직선이 기본적으로 '선분의 양 끝을 무한히 연장시킨 도형'이라는 것에서 기인한다. 구면기하학에서의 선분은 3차원 관찰자인 우리가 바라보았을 때 원호의 형태와 같은데, 원호를 같은 방향으로 구면 위에서 무한히 연장하면 당연히 구면 위의 직선, 즉 원이 되기 때문이다. 직선에 대한 개념을 유클리드 평면에서의 경우와 혼동하지 않도록 주의가 필요하다.[2] 구면기하학에서 다각형의 최소 임계점은 [math(4\pi)]/([math(2\pi)]- 다각형의 구면 내부에서의 외각의 총합)에서 구면 전체를 덮는 1이 나오는 값에 해당하며 대수적으로만 따져도 {2,1}, {1,2} {3,6/5}, {6/5,3}, {4,4/3}, {4/3,4}, {5,10/7}, {10/7,5}, {6,3/2}, {3/2,6} 등이 해당된다. 이 이하는 구면기하학에서 조차 나타낼 수 없는 새로운 형태이며 하이퍼볼릭 공간으로 넘어가는 것들도 존재한다. {2,1}과 {1,2}는 바로 임계점에 해당하는 형태이기도 하다.[3] 이는 듀오프리즘 원리와도 비슷하다.