1. 개요
distance function, metric · 距離函數집합 [math(X)]에 대하여 거리 함수란, 다음의 네 성질을 만족하는 함수
| [math(\displaystyle d:X \times X\to \mathbb{R})] |
만족하는 네 조건은 다음과 같다.
- [math(d(x,\,y) \geq 0)]
- [math(d(x,\,y) = 0)] (단, [math(x=y)])
- [math(d(x,\,y) = d(y,\,x))]
- [math(d(xy) + d(yz) geq d(x,,z))]
두 점이 얼마나 멀리 떨어져 있는가를 뜻하는 측도인 '거리'를 일반화한 것이다. 이때 직선 거리는 두 점을 연결하는 선분의 길이이며 두 점 사이의 최단거리임을 보일 수 있다. 한편 이동거리는 경로의 길이로 그리고 노름(norm)은 크기의 일반화로 다루어진다. 거리함수가 주어진 집합을 거리공간이라고 한다.
거리함수는 자연스러운 집합의 요소 사이의 거리를 정의하는 함수 [math(d(x,\,y))]로 나타낼 수 있다. 예를 들어 두 점 사이의 거리가 0이면 두 요소는 해당 특정 메트릭에서 동일할 것이다. 따라서 거리 함수는 두 요소가 얼마나 가까운지를 측정하는 방향으로 계량화 과정을 제공할 수 있다. 여기서 요소는 추상적일 수 있으며 또는 숫자일 필요는 없지만 벡터, 행렬 또는 임의의 개체일 수도 있다. 거리 함수는 종종 최적화 문제에서 최소화를 위해 오류 또는 비용 함수로 사용될 수 있다.
2. 차원 거리함수
2차원 공간을 생각해보자. 두 점 [math({\rm A}(x_1,\,y_1))]과 [math({\rm B}(x_2,\,y_2))] 사이의 거리
| [math(\begin{aligned} \overline{\rm AB}^2&=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2 \\&=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \overline{\rm AB}^2&=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2\end{aligned})] |
이제 [math(n)]차원 공간으로 확장해보자. [math(x_{j})]증분을 [math(\Delta x_{j})]로 나타낸다면, 그 거리 [math(l)]은 다음과 같이 주어진다.
| [math(\begin{aligned} l^2=\sum_{j=1}^{n}(\Delta x_{j})^{2} \end{aligned})] |
2.1. 함수로 해석
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[다항함수/공식/길이#s-2|2]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[다항함수/공식/길이#|]] 부분을}}}2.2. 벡터 공간에서
[math(mathbb C)] 위의 벡터 공간에서는 정의가 아래처럼 바뀐다.| [math(\begin{aligned} l^2 &= \left< {\bold x},\,{\bold x} \right> \\ &= \operatorname{tr}{({\bold x} \otimes {\bold x})} \\ &= \det{({\bold x}^{\ast} {\bold x})} \end{aligned})] |
3. 민코프스키 시공간
민코프스키 시공간은 사람이 인지하는 현실세계인 3차원 공간에 1차원 시간을 4번째 차원으로 더해서 이루어진 공간이다.시공간이긴 하지만, 다른 3차원 성분이 거리함수인지라, 시간 [math(t)]에 광속 [math(c)]를 주어서 시간을 거리함수처럼 다루게 된다.
민코프스키 시공간은 복소수체계인 허수 [math(i)]를 도입한 [math(x_4 = ict)]를 가정함으로써 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론 및 특수 상대성 이론을 비교적 잘 기술할 수 있는 공간으로 설정하고 사용할 수 있다.
이러한 민코프스키 시공간의 허수[math(i)]는 드무아브르 정리에서처럼 극좌표계상에서 회전성을 보여주는 복소수체계로 잘 알려져 있다.
3.1. 민코프스키 시공간의 거리함수
일반적인 거리함수| [math(\begin{aligned} l^2=\sum_{j=1}^{n} x_{j}^{2} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} l^2=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2} \end{aligned})] |
그런데, 시공간의 거리함수 중 시간함수 성분을 [math(x_{4}=ict)]로 본다면,
| [math(\begin{aligned} l^2=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-c^2 t^2 \end{aligned})] |
이제 미분을 주요하게 드러내어 표현해보면,
| [math(\begin{aligned} {\rm d}l^2={\rm d}x_{1}^{2}+{\rm d}x_{2}^{2}+{\rm d}x_{3}^{2}-c^2\, {\rm d} t^2 \end{aligned})] |
민코프스키 계량텐서 기호는 [math( \eta )]가 사용된다.
민코프스키 시공간으로 일반적인 거리함수를 확대해 볼 수 있다.
한편 일반 계량텐서 기호는 [math( g )]가 사용된다.
3.2. 거리함수 텐서
거리함수로 부터| [math(\begin{aligned} l^2=\sum_{j=1}^{n} x_{j}^{2} \end{aligned})] |
여기서 [math(x_{j})]에 따른 계수 함수 [math(f_{i})]를 제공해보면,
| [math(\begin{aligned} l^2=\sum_{j=1}^{n} f_{j}x_{j}^{2} \end{aligned})] |
이것을 다시 [math(x_{j}x_{k})]로 확대하고, 계수함수를 넘버링해보면,
| [math(\begin{aligned} l^2=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} f_{jk}x_{j}x_{k} \end{aligned})] |
텐서함수로 나타내면,
| [math(\begin{aligned} {\rm d}l^2=\sum_{j=1}^{n} f_{jj}\,{\rm d}x_{j}{\rm d}x_{j} \end{aligned})] |
아인슈타인 표기법으로 고치면
| [math(\begin{aligned} {\rm d}l^2=g_{jj}{\rm }x^{j}{\rm d}x^{j} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} g_{jj}{\rm }x^{jj}\end{aligned})] |