#!style
.tpc {
border: 2px solid #0000; margin: auto; background: #0000 !important; }
1. 개요
Faulhaber's formula자연수 [math(k)]에 대한 거듭제곱 [math(k^c)]의 합 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c)]에 대한 공식이다. 야콥 베르누이가 발견[1]했기에 종종 베르누이의 공식이라고도 불리고, 또는 단순히 거듭제곱 합의 공식이라고도 불린다.
2. 상세
[math(k^c)]의 합의 일반식은 다음과 같이 주어진다.| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \\ &= \frac1{c+1} B_0n^{c+1} -B_1n^c +\frac c2 B_2n^{c-1} -\frac{c(c-1)}6 B_3n^{c-2} +\cdots +\frac{(-1)^{c-1}c}2 B_{c-1}n^2 +(-1)^cB_cn \\ &= \frac1{c+1} n^{c+1} +\frac12 n^c +\frac c{12} n^{c-1} +\cdots +\frac{(-1)^{c-1}c}2 B_{c-1}n^2 +(-1)^cB_cn \end{aligned})] |
식 자체는 복잡해보이지만, [math(B_k = b^k)]로 치환해보면 위의 식은 이항정리를 풀어서 쓴 형태와 유사하다는 걸 알 수 있다.
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} &\sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \\ \Rightarrow &\sum_{k=0}^c \frac1{c+1} \binom{c+1}k (-b)^k n^{c+1-k} = \frac{(n-b)^{c+1} -(-b)^{c+1}}{c+1} \end{aligned})] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \\ &= \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} \binom{c+1}k B_k\cdot(-1)^{c+1-k} n^{c+1-k} \\ &= \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} \Biggl\{ \sum_{k=0}^c \!\binom{c+1}k B_k\cdot(-n)^{c+1-k} +B_{c+1} -B_{c+1} \Biggr\} \\ &= \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} \Biggl\{ \sum_{k=0}^c \!\binom{c+1}k B_k\cdot(-n)^{c+1-k} +\!\binom{c+1}{c+1} B_{c+1}\cdot(-n)^{c+1-c-1} -B_{c+1} \Biggr\} \\ &= \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} \Biggl\{ \sum_{k=0}^{c+1} \!\binom{c+1}k B_k\cdot(-n)^{c+1-k} -B_{c+1} \Biggr\} \\ &= \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} \{B_{c+1}(-n) - B_{c+1}(0)\} \end{aligned})] |
파울하버는 베르누이가 공식을 발견하기 전에 [math(c)]가 홀수일 경우에 대한 규칙성을 발견하고 [math(c=17)]까지의 식을 제시한 인물로, 공식 자체를 증명한 사람은 아니지만 이와 관련이 있는 '파울하버 다항식'을 먼저 발견한 업적이 있어서인지 파울하버의 이름이 붙은 쪽이 더 유명하다.[3]
2.1. 간략화
베르누이 수열 문서에도 나와있듯이 [math(k \ne 1)]인 홀수이면 [math(B_k = 0)]이라는 성질이 있고 [math(k=1)]일 때의 항은 수식 구조상 반드시 [math(\cfrac12\,n^c)]이 나오기 때문에, [math(c)]가 홀수일 경우와 짝수일 경우에 따라 다음과 같이 간략화할 수 있다. 자연수 [math(m)]에 대해- [math(c=2m-1)]이면 [math(B_{c+2} = 0)]이고 항은 [math(k = c-1 = 2m-2)]까지 존재하므로
<tableclass=tpc>[math(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^{2m-1} = \frac12 n^{2m-1} + \sum_{k=0}^{m-1} \frac1{2m} \binom{2m}{2k} B_{2k} n^{2(m-k)})] - [math(c = 2m-2)]이면 [math(B_c \ne 0)]이므로
[math(\delta_{1,m})]은 크로네커 델타이다. [math(m=1)], 즉 [math(c=0)]인 경우 따로 분리시켰던 [math(k=1)]일 때의 항을 제거하기 위해 덧붙인 함수이다.
3. 역사
당초 베르누이 자신의 표기법은 다음과 같았는데, 재미있는 것은 그가 죽고 난 뒤 출판된 《추측술》(Ars Conjectandi, 1713)이란 저서에 공식만 덩그러니 놓여있었을 뿐 증명이 같이 실려있지 않았다는 점이다. 엄밀한 증명은 후대에 야코비에 의해 이루어졌다.| <tableclass=tpc>[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \frac{n^{c+1}}{c+1} + \frac12 n^c + \sum_{k=2}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k})] |
| <tableclass=tpc>[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k})] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \sum_{k=0}^c \frac{B_k^+}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k} \\ &= \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k B_k}{k!} c^{\underline{k-1}} n^{c+1-k} \\ &= \sum_{k=0}^c (-1)^k B_k \,\frac{c!}{k! (c-k+1)!} \,n^{c+1-k} \\ &= \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \end{aligned})] |
4. 유도
다음 급수를 파울하버의 공식을 적용해 전개하자.| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n (e^x)^k &= \frac{e^x(e^{nx}-1)}{e^x-1} = \frac{e^{nx}-1}{1-e^{-x}} = \frac{e^{nx}-1}x \frac x{1-e^{-x}} \\ &= \frac1x \Biggl\{ \sum_{c=0}^\infty \frac{(nx)^c}{c!} - 1 \Biggr\} \!\sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} \\ &= \sum_{c=1}^\infty \frac{n^c x^{c-1}}{c!} \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \frac{n^{c+1} x^c}{(c+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k^+ x^k}{k!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \frac{B_k^+ x^k}{k!} \frac{n^{c-k+1} x^{c-k}}{(c-k+1)!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \frac{(c+1)!}{k!\,(c-k+1)!} \frac{B_k^+ n^{c+1-k} x^c}{(c+1)!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=0}^c \!\binom{c+1}k \frac{B_k^+ n^{c+1-k}}{c+1} \frac{x^c}{c!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \Biggl\{ \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k} \Biggr\} \frac{x^c}{c!} \end{aligned})] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n (e^x)^k &= \sum_{k=1}^n e^{kx} = \sum_{k=1}^n \sum_{c=0}^\infty \frac{(kx)^c}{c!} = \sum_{c=0}^\infty \sum_{k=1}^n k^c \frac{x^c}{c!} \\ &= \sum_{c=0}^\infty \Biggl(\sum_{k=1}^n k^c \biggr) \frac{x^c}{c!} \end{aligned} )] |
| <tableclass=tpc>[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}k B_k n^{c+1-k})] |
5. 예시
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^0 &= \frac11 B_0 n^1 \\ &= n \\ \sum_{k=1}^n k^1 &= \frac12 ( B_0 n^2 - 2 B_1 n ) = \frac12 n^2 + \frac12n = \frac{n^2 + n}2 \\ &= \frac{n(n+1)}2 \\ \sum_{k=1}^n k^2 &= \frac13 ( B_0 n^3 - 3 B_1 n^2 + 3 B_2n ) = \frac13 n^3 + \frac12 n^2 + \frac16 n = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}6 \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}6 = \frac{2n+1}3\frac{n(n+1)}2 \\ \sum_{k=1}^n k^3 &= \frac14 ( B_0 n^4 - 4 B_1 n^3 + 6 B_2 n^2 ) = \frac14 n^4 + \frac12 n^3 + \frac14 n^2 = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}4 \\ &= \!\left\{ \frac{n(n+1)}2 \right\}^{\!2} \\ \sum_{k=1}^n k^4 &= \frac15 ( B_0 n^5 - 5 B_1 n^4 + 10 B_2 n^3 + 5 B_4 n ) = \frac15 n^5 + \frac12 n^4 + \frac13 n^3 - \frac1{30} n = \frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{2n+1}5 \biggl[ \,2\biggl\{ \frac{n(n+1)}2 \biggr\}^{\!2} - \frac13 \frac{n(n+1)}2 \,\biggr] \\ \sum_{k=1}^n k^5 &= \frac16 ( B_0 n^6 - 6 B_1 n^5 + 15 B_2 n^4 + 15 B_4 n^2 ) = \frac16 n^6 + \frac12 n^5 + \frac5{12} n^4 - \frac1{12} n^2 = \frac{2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2}{12} \\ &=\!\left\{ \frac{n(n+1)}2 \right\}^{\!2} \frac{2n^2+2n-1}3 = \frac43 \biggl[ \left\{ \frac{n(n+1)}2 \right\}^{\!3} -\frac14 \biggl\{ \frac{n(n+1)}2 \biggr\}^{\!2} \,\biggr] \\ \sum_{k=1}^n k^6 &= \frac17 ( B_0 n^7 - 7 B_1 n^6 + 21 B_2 n^5 + 35 B_4 n^3 + 7 B_6 n ) = \frac17 n^7 + \frac12 n^6 + \frac12 n^5 - \frac16 n^3 + \frac1{42} n = \frac{6n^7 + 21n^6 + 21n^5 - 7n^3 + n}{42} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42} = \frac{2n+1}7 \biggl[ \,4\biggl\{ \frac{n(n+1)}2 \biggr\}^{\!3} -2\biggl\{ \frac{n(n+1)}2 \biggr\}^{\!2} +\frac13\frac{n(n+1)}2 \,\biggr] \\ \sum_{k=1}^n k^7 &= \frac18 ( B_0 n^8 - 8 B_1 n^7 + 28 B_2 n^6 + 70 B_4 n^4 + 28 B_6 n^2 ) = \frac18 n^8 + \frac12 n^7 + \frac7{12} n^6 - \frac7{24} n^4 + \frac1{12} n^2 = \frac{3n^8 + 12n^7 + 14n^6 - 7n^4 + 2n^2}{24} \\ &= \frac{(n^4+2n^3+n^2)(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24} = 2\biggl\{ \frac{n(n+1)}2 \biggr\}^{\!4} - \frac43 \biggl\{ \frac{n(n+1)}2 \biggr\}^{\!3} + \frac13 \biggl\{ \frac{n(n+1)}2 \biggr\}^{\!2} \end{aligned})] |
6. 대한민국 교육과정
대한민국 고등학교 교육과정에서는 수열의 합을 다룰 때 [math(c\ge4)] 범위는 안 다룬다. [math(c = 1)], [math(2)], [math(3)]일 때의 공식을 유도하는 원리조차 다르며[* 보통은 항등식#!wiki
||<tableclass=tpc>[math(\displaystyle (k+1)^c - k^c = \sum_{i=0}^{c-1} \!\binom ci k^i = ck^{c-1} +\sum_{i=0}^{c-2}\!\binom ci k^i)]||#!wiki
||<tableclass=tpc>[math(\displaystyle (n+1)^c - 1 = c\sum_{k=1}^n k^{c-1} +\sum_{k=1}^n \Biggl( \sum_{i=0}^{c-2} \!\binom ci k^i \Biggr))]||#!wiki
||<tableclass=tpc>[math(\displaystyle
\sum_{k=1}^n k^{c-1} = \frac1c \Biggl\{ (n+1)^c -1 -\sum_{k=1}^n \Biggl( \sum_{i=0}^{c-2} \!\binom ci k^i \Biggr) \Biggr\})]||7. 제타 함수와의 관계
거듭제곱 합의 공식에서 [math(c = -s)]를 대입하면| <tableclass=tpc>[math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{-s} = \sum_{k=1}^n \frac1{k^s})] |
앞서 베르누이 다항식으로 표현했던 식을 곱씹어보자.
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^c &= \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} \{ B_{c+1}(-n) - B_{c+1}(0) \} \\ &= \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} B_{c+1}(-n) - \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} B_{c+1} \\ &= \frac{(-1)^{c+1}}{c+1} \sum_{i=0}^{c+1} \!\binom{c+1}i B_i\cdot(-n)^{c+1-i} + \frac{(-1)^c}{c+1} B_{c+1} \\ &= \frac1{c+1} \sum_{i=0}^{c+1} \!\binom{c+1}i (-1)^i B_i n^{c+1-i} + \frac{(-1)^c}{c+1} B_{c+1} \\ &= \frac1{c+1} \sum_{i=0}^{c+1} \!\binom{c+1}i B_i^+ n^{c+1-i} + \frac{(-1)^c}{c+1} B_{c+1} \end{aligned})] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^{-s} &= \sum_{k=1}^n \frac1{k^s} \\ &= \frac1{1-s} \sum_{i=0}^{1-s} \!\binom{1-s}i B_i^+ n^{1-s-i} + \frac{(-1)^s}{1-s} B_{1-s} \\ &= \frac1{1-s} \biggl\{ B_0 n^{1-s} + \frac{(1-s)}{1!} B_1^+ n^{-s} + \frac{(1-s)(-s)}{2!} B_2 n^{-s-1} +\cdots \biggr\} + \frac{(-1)^s}{1-s} B_{1-s} \end{aligned})] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac1{k^s} &= \frac1{1-s} \sum_{i=0}^{1-s} \!\binom{1-s}i \frac{B_i^+}{n^{s+i-1}} + \frac{(-1)^s}{1-s} B_{1-s} \end{aligned})] |
| <tableclass=tpc>[math(\displaystyle \zeta(s) = \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^s} = \frac{(-1)^s}{1-s} B_{1-s})] |
| <tableclass=tpc>[math( \zeta(-n) = \dfrac{(-1)^n}{n+1} B_{n+1} )] |
| <tableclass=tpc>[math( B_n^+ = -n\zeta(1-n) )] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \zeta(-1) = -\dfrac12 B_2 = -\dfrac12 \cdot \dfrac16 = -\dfrac1{12} \end{aligned} )] |
8. 예제
다음 예제들은 파울하버의 공식 그 자체의 존재성과 낮은 차수의 경우의 유도, 일반화 식의 일부 성질에 대해 묻고 있다. 베르누이 수를 유도하는 과정은 대학 과정을 넘어가기 때문이다.| |
| 2010년 규슈대학 본고사 전기 문과 4번 |
| 한국어 번역 다음 물음에 답하라. 답뿐만 아니라, 반드시 증명도 기술하라.
|
| |
| 2006년 도쿄대학 본고사 후기 이과 3번[5] |
| 한국어 번역 수열의 합의 공식 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac12\,n(n+1))], [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac16\,n(n+1)(2n+1))], [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \!\left\{ \frac12\,n(n+1) \right\}^{\!2})] 등에 대하여, 다음과 같은 일반적인 고찰을 해 보자. [math(p)], [math(n)]은 자연수로 한다.
[math(\displaystyle \sum_{j=1}^q a_j S_{2j-1}(x) = x^q (x+1)^q)]}}} 가 항등식이 되도록 하는 정수 [math(a_1)], [math(\cdots)], [math(a_q)]를 [math(q)]를 사용해 나타내라. 1. [math(q)]는 [math(2)] 이상의 자연수라 가정하자. 1.에서 소개한 다항식 [math(S_2(x))], [math(S_4(x))], [math(\cdots)], [math(S_{2q-2}(x))]에 대해, {{{#!wiki style="text-align:center" [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{q-1} b_j S_{2j}(x) = x^q (x+1)^q (cx+q))]}}} 가 항등식이 되도록 하는 정수 [math(c)]와 정수 [math(b_1)], [math(\cdots)], [math(b_{q-1})]을 [math(q)]를 사용해 나타내라. 1. [math(p)]가 [math(3)] 이상의 홀수라고 가정하자. 이때, {{{#!wiki style="text-align:center" [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \,S_p(x) = p S_{p-1}(x))]}}} 임을 보이라. |
#!if version2 == null
{{{#!wiki style="border:1px solid gray;border-top:5px solid gray;padding:7px;margin-bottom:0px"
[[크리에이티브 커먼즈 라이선스|[[파일:CC-white.svg|width=22.5px]]]] 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 {{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/베르누이 수열|베르누이 수열]]}}}{{{#!if external != "o"
[[베르누이 수열]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid == null
'''uuid not found'''}}}{{{#!if uuid != null
[[https://namu.wiki/w/베르누이 수열?uuid=078d4083-5637-4265-b111-1d3ffc9359ba|r21]]}}} 판{{{#!if paragraph != null
, [[https://namu.wiki/w/베르누이 수열?uuid=078d4083-5637-4265-b111-1d3ffc9359ba#s-|번 문단]]}}}에서 가져왔습니다. [[https://namu.wiki/history/베르누이 수열?from=21|이전 역사 보러 가기]]}}}#!if version2 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="border:1px solid gray;border-top:5px solid gray;padding:7px;margin-bottom:0px"
[[크리에이티브 커먼즈 라이선스|[[파일:CC-white.svg|width=22.5px]]]] 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 다른 문서에서 가져왔습니다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="text-align: left; padding: 0px 10px"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/베르누이 수열|베르누이 수열]]}}}{{{#!if external != "o"
[[베르누이 수열]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid == null
'''uuid not found'''}}}{{{#!if uuid != null
[[https://namu.wiki/w/베르누이 수열?uuid=078d4083-5637-4265-b111-1d3ffc9359ba|r21]]}}} 판{{{#!if paragraph != null
, [[https://namu.wiki/w/베르누이 수열?uuid=078d4083-5637-4265-b111-1d3ffc9359ba#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/베르누이 수열?from=21|이전 역사]])
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid2 == null
'''uuid2 not found'''}}}{{{#!if uuid2 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph2 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]]){{{#!if version3 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid3 == null
'''uuid3 not found'''}}}{{{#!if uuid3 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph3 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version4 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid4 == null
'''uuid4 not found'''}}}{{{#!if uuid4 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph4 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version5 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid5 == null
'''uuid5 not found'''}}}{{{#!if uuid5 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph5 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version6 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid6 == null
'''uuid6 not found'''}}}{{{#!if uuid6 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph6 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version7 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid7 == null
'''uuid7 not found'''}}}{{{#!if uuid7 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph7 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version8 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid8 == null
'''uuid8 not found'''}}}{{{#!if uuid8 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph8 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version9 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid9 == null
'''uuid9 not found'''}}}{{{#!if uuid9 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph9 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version10 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid10 == null
'''uuid10 not found'''}}}{{{#!if uuid10 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph10 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version11 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid11 == null
'''uuid11 not found'''}}}{{{#!if uuid11 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph11 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version12 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid12 == null
'''uuid12 not found'''}}}{{{#!if uuid12 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph12 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version13 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid13 == null
'''uuid13 not found'''}}}{{{#!if uuid13 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph13 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version14 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid14 == null
'''uuid14 not found'''}}}{{{#!if uuid14 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph14 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version15 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid15 == null
'''uuid15 not found'''}}}{{{#!if uuid15 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph15 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version16 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid16 == null
'''uuid16 not found'''}}}{{{#!if uuid16 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph16 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version17 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid17 == null
'''uuid17 not found'''}}}{{{#!if uuid17 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph17 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version18 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid18 == null
'''uuid18 not found'''}}}{{{#!if uuid18 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph18 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version19 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid19 == null
'''uuid19 not found'''}}}{{{#!if uuid19 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph19 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version20 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid20 == null
'''uuid20 not found'''}}}{{{#!if uuid20 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph20 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version21 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid21 == null
'''uuid21 not found'''}}}{{{#!if uuid21 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph21 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version22 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid22 == null
'''uuid22 not found'''}}}{{{#!if uuid22 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph22 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version23 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid23 == null
'''uuid23 not found'''}}}{{{#!if uuid23 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph23 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version24 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid24 == null
'''uuid24 not found'''}}}{{{#!if uuid24 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph24 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version25 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid25 == null
'''uuid25 not found'''}}}{{{#!if uuid25 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph25 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version26 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid26 == null
'''uuid26 not found'''}}}{{{#!if uuid26 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph26 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version27 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid27 == null
'''uuid27 not found'''}}}{{{#!if uuid27 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph27 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version28 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid28 == null
'''uuid28 not found'''}}}{{{#!if uuid28 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph28 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version29 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid29 == null
'''uuid29 not found'''}}}{{{#!if uuid29 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph29 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version30 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid30 == null
'''uuid30 not found'''}}}{{{#!if uuid30 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph30 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version31 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid31 == null
'''uuid31 not found'''}}}{{{#!if uuid31 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph31 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version32 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid32 == null
'''uuid32 not found'''}}}{{{#!if uuid32 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph32 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version33 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid33 == null
'''uuid33 not found'''}}}{{{#!if uuid33 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph33 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version34 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid34 == null
'''uuid34 not found'''}}}{{{#!if uuid34 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph34 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version35 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid35 == null
'''uuid35 not found'''}}}{{{#!if uuid35 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph35 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version36 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid36 == null
'''uuid36 not found'''}}}{{{#!if uuid36 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph36 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version37 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid37 == null
'''uuid37 not found'''}}}{{{#!if uuid37 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph37 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version38 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid38 == null
'''uuid38 not found'''}}}{{{#!if uuid38 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph38 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version39 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid39 == null
'''uuid39 not found'''}}}{{{#!if uuid39 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph39 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version40 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid40 == null
'''uuid40 not found'''}}}{{{#!if uuid40 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph40 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version41 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid41 == null
'''uuid41 not found'''}}}{{{#!if uuid41 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph41 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version42 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid42 == null
'''uuid42 not found'''}}}{{{#!if uuid42 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph42 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version43 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid43 == null
'''uuid43 not found'''}}}{{{#!if uuid43 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph43 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version44 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid44 == null
'''uuid44 not found'''}}}{{{#!if uuid44 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph44 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version45 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid45 == null
'''uuid45 not found'''}}}{{{#!if uuid45 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph45 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version46 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid46 == null
'''uuid46 not found'''}}}{{{#!if uuid46 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph46 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version47 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid47 == null
'''uuid47 not found'''}}}{{{#!if uuid47 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph47 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version48 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid48 == null
'''uuid48 not found'''}}}{{{#!if uuid48 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph48 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version49 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid49 == null
'''uuid49 not found'''}}}{{{#!if uuid49 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph49 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}{{{#!if version50 != null
{{{#!wiki style="display: block;"
{{{#!wiki style="display: inline-block"
{{{#!if external == "o"
[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid50 == null
'''uuid50 not found'''}}}{{{#!if uuid50 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph50 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}[1] 후술하겠지만 증명하지는 않았다.[2] 사실 베르누이 수열을 발견한 야콥 베르누이 본인도 [math(B_k^+)]을 베르누이 수열이라 정의했다. 오늘날에는 생성함수를 통해 더 엄밀하게 정의할 수 있기 때문에 [math(B_1 = -\cfrac12)]이 되는 [math(B_k)]를 베르누이 수열이라고 정의한다.[3] 그래서 파울하버 다항식에 등장하는 각 항의 계수는 베르누이 수열을 이용해서 표현할 수 있으나 당시 파울하버 본인은 이러한 연관성을 발견하지 못했다.[4] 고등학교 수학에서 '순열'이라는 이름으로 등장하는 연산이다.[5] 별도의 유도 과정 없이 일반항을 구하라는 등 지금의 도쿄대 출제 경향보다도 많이 러프하고 난이도의 벽이 높아 보이는 스타일이 눈에 띈다. 도쿄대 입시가 전기/후기로 나뉘던 시절 전기에 비해 난이도가 높았던 후기였던 탓도 있다.