최근 수정 시각 : 2025-03-05 20:48:46

항등함수

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1. 개요2. 정의3. 성질4. 관련 함수들
4.1. 포함함수(Inclusion map)4.2. 일차함수4.3. 대합4.4. 특정 정의역에서의 항등함수

1. 개요

恒等函數 / identity function

항등함수란 함수의 한 종류로, 항등적으로 자기 자신과 같은 값을 대응시키는 함수를 의미한다.

2. 정의

[ 정의 ] 항등함수
함수 [math(\text{id}_X: X \to X)]가 다음 성질을 만족할 때 항등함수라고 한다.
  • [math(\forall x \in X, \ \ \text{id}_X(x) = x)]

3. 성질

항등함수는 정의역 [math(X)]가 주어져 있기만 하면 자연스럽게 정의될 수 있는 함수로, 표기법은 [math(\text{id}_X)], [math(i_X)], [math(I_X)], [math(\mathbb 1_X)][1], [math(i)]등 다양하다. 정의상, 항등함수와 다른 함수 [math(f: Y \to X)], [math(g: X \to Z)]를 합성하면, [math(\text{id}_X \circ f = f)] 및 [math(g \circ \text{id}_X = g)]임을 알 수 있다.

군론에서, 항등함수는 이름에 걸맞게 항등원으로서의 역할을 한다. 실제로, [math(\text{id}_X: X \to X)]는 함수의 합성을 연산으로 하는 군의 항등원이다. 즉,

[math(f \circ \text{id}_X = f = \text{id}_X \circ f)]

이 성립한다. 비슷한 이야기로, 군 [math(G)]의 자기동형사상을 모은 군 [math((\mathrm{Aut}(G), \circ))]에서 항등함수 [math(\text{id}_G)]는 항등원이 된다.

정의역 [math(X)]에 위상이 주어져 있다면 항등함수 [math(\text{id}_X)]는 항상 연속함수이고, 미분이 가능할 경우 그 결과는 상수함수가 된다.[2]

4. 관련 함수들

4.1. 포함함수(Inclusion map)

[ 정의 ] 포함함수(inclusion map)
함수 [math(\iota : X \to Y)]가 다음 성질을 만족할 때 포함함수라고 한다.
  • [math(X \subset Y)]
  • [math(\forall x \in X, \ \ \iota (x) = x \in Y)]
항등함수에서 정의역과 공역이 완전히 같은 것이 아닌, 공역이 정의역을 포함하는 형태로 확장시킨 함수이다. 주로 대수적 위상수학에서 변형수축(deformation retract)를 다룰 때 쌍으로 같이 등장하는 함수이다.

4.2. 일차함수

정의역 [math(X)]가 곱셈, 덧셈이 잘 정의되어 있는 환 구조를 가지고 있다면, 항등함수 [math(\text{id}_X)]는 일차함수 중 하나로 생각할 수 있다.
파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 일차함수 문서
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를
#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[일차함수#s-|]]번 문단을
#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[일차함수#|]][[일차함수#|]] 부분을
참고하십시오.

4.3. 대합

그 자체는 항등항수가 아니지만, 자기합성 시 항등함수가 되는 함수.
파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 대합 문서
#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를
#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[대합#s-2|2]]번 문단을
#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[대합#|]][[대합#|]] 부분을
참고하십시오.

4.4. 특정 정의역에서의 항등함수


[1] 단, 이 쪽은 지시함수와의 혼동 때문에 쓰는 분야에서만 쓴다.[2] [math(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dx} = 1)][3] 이 성질 때문에 반쌍형 연산인 내적이 실벡터에서는 쌍선형 연산으로 바뀐다.

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