1. 개요
여러 대표적인 함수의 테일러 급수를 다루는 문서이다.아래의 예들은 [math(x_0=0)] 일 때를 다루므로 매클로린 급수이기도 하다.
2. 무한등비급수
[math(\displaystyle \frac 1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\cdots \quad (|x|<1))] |
[math(n)]값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가지만, 수렴구간(정의역) [math(|x|<1)]외에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.
2.1. 활용
아래 자연로그와 역탄젠트 함수의 무한급수를 구할 때 활용할 수 있다.저 [math(|x|<1)] 조건을 두지 않고 값을 구하는 것이 이른바 라마누잔합이다.
3. 이항급수
[math(\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom\alpha n x^n = 1 + \frac\alpha{1!}x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots\cdots + \frac{\prod\limits_{r=0}^{n-1}(\alpha - r)}{n!}x^n + \cdots\cdots)] |
3.1. 증명
구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.| [math(\begin{aligned} y &= (1+x)^\alpha = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} y' &= \alpha(1+x)^{\alpha-1} = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \alpha(1+x)^\alpha &= \alpha y = (1+x)y' \\ \therefore y' &= \alpha y-xy'\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} xy' &= 0 + a_1x + 2a_2x^2 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty na_n x^n\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n &= \alpha\sum_{n=0}^\infty a_nx^n- \sum_{n=0}^\infty na_nx^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty (\alpha - n)a_nx^n \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} &\begin{cases} (n+1)a_{n+1} = (\alpha - n)a_n \\ a_0 = 1 \end{cases} \\ a_{n+1} &= \frac{\alpha-n}{n+1}a_n \\ &= \frac{(\alpha-n)(\alpha-n+1)}{(n+1)n}a_{n-1} \\ &= \frac{(\alpha-n)(\alpha-n+1)(\alpha-n+2)}{(n+1)n(n-1)}a_{n-2} = \cdots\cdots \\ &= \frac1{(n+1)!}\prod_{i=0}^n (\alpha-n+i)a_0 \\ &= \frac1{(n+1)!}\prod_{i=0}^n (\alpha-i) \\ &= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots\cdots(\alpha-n+1)(\alpha-n)}{(n+1)!} \\ &= \binom\alpha{n+1} \end{aligned})] |
3.2. 활용
이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 [math(x\ll1)] 일 때 [math(n=1)] 항까지 취해 [math((1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x)]로 근사하는 경우가 많은데, [math(x\ll1)] 이면 [math(x^2)] 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.4. 삼각함수
4.1. sin 함수, cos 함수
|
4.1.1. 증명
사인과 코사인의 [math(n)]계도함수는 일반적으로 다음과 같다.- [math((\sin x)^{(n)} = \sin{\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)})]
- [math((\cos x)^{(n)} = \cos{\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)})]
4.1.2. 극한값
[math(\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}x = 1)] |
| [math(\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)] |
| [math(\dfrac{\sin x}x = 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots)] |
노가다(수학) 문서에서 제시한 [math(dfrac{sin x}x)]를 적분해보라는 문단도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.
이러한 사실로부터 [math(|x| \ll 1)] 이면 [math(\sin x \approx x)]라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.
한편, 이 식은 단위까지 고려한 물리학에서도 성립하는 관계식(항등식)이기 때문에 차원 분석을 적용할 수 있다. 삼각함수의 결과값은 삼각비 혹은 단위원에서 단위가 같은 두 물리량의 비로 정의되는 까닭에 [math(\dim(\sin x) = {\sf1})], 즉 무차원량이므로 테일러 급수식에서 [math(\cfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!})]로 표기되는 모든 일반항 역시 무차원량이어야 한다. [math((-1)^n)], [math((2n+1)!)]은 순수한 수치로서 무차원량이므로, [math(\dim x = {\sf1})] 즉 [math(x)]가 각도 [math(\theta)](단위는 [math(\rm rad)])에서 유래한 양이라 하더라도 [math(\rm rad)]이 약분된 값, 즉 [math(x = \theta/{\rm rad})]여야 함을 용이하게 알 수 있다.
4.2. 나머지 함수들
[math(\tan x)], [math(\csc x)], [math(\cot x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 사실 이들 함수의 테일러 급수는 삼각함수 자체의 성질에서 유도되었다기보다는 아래에서 설명할 오일러의 공식을 통해 복소평면에서 지수함수로 나타낼 수 있다는 사실에 기반하여 유도된 식[3]이라 일반항이 복잡하고 베르누이 수열([math(B_n)])이라는 특이한 수열을 매개로 정의된다. 심지어 [math(\sec x)]는 베르누이 수열로도 간단하게 정의가 안 돼서 오일러 수열([math(E_n)])이라는 또 다른 수열을 이용하는데, 또한 베르누이 수열은 제타함수의 일부 함숫값들이나 거듭제곱 합의 공식에,오일러 수열은 디레클레 베타함수의 일부 함숫값을 나타낼때도 쓰인다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\{(-4)^n - (-16)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\ &= x + \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots\end{aligned})] [math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\{2(-1)^n - (-4)^n\}B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \frac1x + \frac16x + \frac7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots\end{aligned})] [math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \cot x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\ &= \frac1x - \frac13x - \frac1{45}x^3 - \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots\end{aligned})] [math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \sec x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \\ &= 1 + \frac12x^2 + \frac5{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned})] |
4.2.1. 다른 식
|
5. 역삼각함수
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \arcsin x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac12}n x^{2n+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)}x^{2n+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} \\ &= x + \frac16x^3 + \frac3{40}x^5 + \frac5{112}x^7 + \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \arccos x &= \frac \pi2 - \arcsin x \\ &= \frac\pi2 - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} \\ &= \frac \pi2 - x - \frac16x^3 - \frac3{40}x^5 - \frac5{112}x^7 - \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \\ {\tiny\bullet}~\, \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \cdots\cdots \quad (|x| \le 1) \end{aligned})] |
5.1. 증명
기본적으로 미분한 결과가 이항급수의 꼴이기 때문에 역삼각함수의 미분에 대해 테일러 급수를 적용한 뒤 적분하면 된다. 이후엔 이항급수 부분을 전개해서 적절하게 정리해주면 된다.| [math(\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x} \arcsin x &= \frac1{\sqrt{1-x^2}} \\ &= (1-x^2)^{-\frac12} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \binom {-\frac12}n(-x^2)^n \\ \therefore \arcsin x &= \int_0^x \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac 12}n (-t^2)^n{\rm\,d}t \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{-\frac 12}n x^{2n+1} \end{aligned})] |
| [math(\arcsin x + \arccos x = \cfrac\pi2 \\ \therefore \arccos x = \cfrac\pi2 - \arcsin x)] |
| [math(\displaystyle \arctan x = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty (-t^2)^n{\rm\,d}t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1})] |
5.1.1. 원주율 구하기
위의 역삼각함수의 급수식을 이용하는 방법으로, [math(\arcsin1 = \cfrac\pi2)] 및 [math(\arctan 1 = \cfrac\pi4)]를 이용하는 것이다.| [math(\begin{aligned} \frac\pi2 &= 1 + \frac16 + \frac3{40} + \frac5{112} + \frac{35}{1152} + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 2 + \frac13 + \frac3{20} + \frac5{56} + \frac{35}{576} + \cdots\cdots \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac\pi4 &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \\ &= 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots\cdots \\ \therefore \pi &= 4 - \frac43 + \frac45 - \frac47 + \frac49 - \cdots\cdots \\ &= 4 - \frac8{3{\cdot}5} - \frac 8{7{\cdot}9} - \frac 8{11{\cdot}13} - \cdots\cdots \end{aligned})] |
그러나 두 급수 모두 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다.[4] 아크탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로
| [math(\arctan\dfrac{a_1}{b_1} + \arctan\dfrac{a_2}{b_2} = \arctan\dfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2})] |
이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 아크탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
| [math(\begin{aligned} \dfrac\pi4 &= \arctan\dfrac12 + \arctan\dfrac13 \\ &= 4\arctan\dfrac15 - \arctan\dfrac1{239}\end{aligned})] |
6. 지수함수
[math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots\cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\cdots)] |
그래프 보기
6.1. 증명
[math(f(x) = e^x)] 의 미분은 자기 자신, 즉 [math(f'(x) = e^x)]이다. 따라서 [math(f^{(n)}(0) = 1)]이 되므로,| [math(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}x^n)] |
6.2. 응용
6.2.1. 자연로그의 밑 구하기
이 식에서 [math(x=1)]을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.| [math(e = \dfrac1{0!} + \dfrac1{1!} + \dfrac1{2!} + \dfrac1{3!} + \dfrac1{4!} + \cdots\cdots)] |
[math(\begin{aligned} e &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^n \binom nr \frac 1{n^r} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{0!n!} \frac 1{n^0} + \sum_{r=1}^n \binom nr \frac 1{n^r} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots\cdots \left( n-r+2 \right) \left( n-r+1 \right)}{r!} \frac 1{n^r} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \sum_{r=1}^n \frac{ 1 \cdot \left( 1 - \frac 1n \right) \left( 1 - \frac 2n \right) \cdots \cdots \left( 1 - \frac{r-2}n \right) \left( 1 - \frac{r-1}n \right)}{r!} \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} \left( 1- \frac 1n \right) + \frac 1{3!}\left( 1- \frac 1n \right) \left( 1- \frac 2n \right) +\cdots\cdots + \frac 1{n!} \prod_{r=1}^n \left( 1- \frac{r-1}n \right) \right\} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!} \end{aligned})] |
하지만 위 증명의 마지막 부분은 엄밀하지 않다. 무한개가 더해져 있을 때는 시그마의 성질이 먹히지 않을 때가 있기 때문이다. 다행히도 주어진 테일러 급수는 실수 전체에서 절대수렴하기 때문에 위와 같이 유도할 수 있다.
6.2.2. 오일러의 공식 증명하기
상술한 [math(e^x)]에 [math(x)]대신 [math(ix)]를 대입해 보자. 단 [math(i = \sqrt{-1})]이다.| [math(\begin{aligned} e^{ix} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!} \\ &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots\cdots + \frac{(ix)^n}{n!} + \cdots\cdots\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} e^{ix} &= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} -i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \cdots\cdots \\ &= {\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\cdots \right)} + i{\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots \right)} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} e^{ix} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &= \cos x+ i\sin x\end{aligned})] |
6.2.3. 오차함수(error function)의 무한급수
확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수([math(\operatorname{erf}(x))])가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.[math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) = \frac2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2}{\rm\,d}t)] |
| [math(\displaystyle e^{-t^2}= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!})] |
| [math(\displaystyle \operatorname{erf}(x) = \frac2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)})] |
| [math(\displaystyle \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{\frac{-t^2}2}{\rm\,d}t = \frac1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)2^n})] |
7. 쌍곡선함수
7.1. sinh 함수, cosh 함수
[math(y=\sinh x)], [math(y=\cosh x)]는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.먼저 쌍곡사인 함수는 [math(y=e^x)]의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \sinh x &= \frac{e^x-e^{-x}}2 \\ &= \frac12{\left\{{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}-{\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}\right\}} \\ &= x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\cdots \\ \therefore \sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\end{aligned})] |
쌍곡코사인 함수는 짝수 번째 항들로 구성된다.
[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \cosh x &= \frac{e^x+e^{-x}}2 \\ &= \frac12 {\left\{{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\cdots \right)}+{\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ \cdots\cdots \right)}\right\}} \\ &= 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\cdots \\ \therefore \cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}\end{aligned})] |
7.2. 나머지 함수들
삼각함수 항목에서 전술한대로 [math(\tanh x)], [math(\operatorname{csch}x)], [math(\coth x)]는 조금 다른 방식으로 정의된다. 아래에 [math(\tanh x)]에 대한 급수식이 맨 처음에 나오지만, 식의 길이를 보면 알 수 있듯이 사실 [math(\coth x)]의 급수를 기반으로 나머지 두 식이 유도되는 관계에 있다.[6] 역시 [math(\operatorname{sech}x)]는 오일러 수열([math(E_n)])을 이용해서 정의된다. 각 일반항의 유도 과정은 베르누이 수열, 오일러 수열 문서 참조[math(\begin{aligned} {\tiny\bullet}~\, \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{ (16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x - \frac13 x^3 + \frac2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \operatorname{csch}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{ (2 - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \frac1x - \frac16x + \frac7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= \frac1x + \frac13x - \frac1{45}x^3 + \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots \\ {\tiny\bullet}~\, \operatorname{sech}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 - \frac12x^2 + \frac5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots \end{aligned})] |
8. 로그함수
로그함수의 테일러 급수는 Mercator series라고도 불린다.[math(\begin{aligned} \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}n \\ &= x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots\cdots \quad (|x| < 1) \\ \ln x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}n \\ &= x-1 - \frac{(x-1)^2}2 + \frac{(x-1)^3}3 - \frac{(x-1)^4}4 + \cdots\cdots \quad (0 < x < 2) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac2{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \\ &= 2{\left\{{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)} + \frac13{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^3 + \frac15{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^5 + \cdots\cdots \frac1{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \cdots\cdots \right\}} \quad (x>0)\end{aligned})] |
아래의 식은 위보다 더 빨리 수렴하는 테일러 급수이다.
[math(\displaystyle \ln x - \ln(x-1) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{nx^n} \quad (x >1))] |
8.1. 증명
자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.| [math(\displaystyle \ln (1+x) = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{1+t})] |
| [math(\begin{aligned} (1+t)^{-1} &= 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-t)^n\end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1})] |
한편, 무한등비급수에서 유래한 특징 때문에 위와 같은 급수식은 하나같이 [math(x)]값의 범위에 제한이 걸리는데, 다음과 같은 방식을 쓰면 [math(x>0)]인 범위의 새로운 급수식을 도출할 수 있다. 우선 [math(\cfrac1x)]를 다음과 같이 변형한다.
| [math(\begin{aligned} \frac1x &= \frac4{4x} \\ &= \frac4{(x+1)^2-(x-1)^2} \\ &= \frac{\dfrac4{(x+1)^2}}{1 - {\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}^2}\end{aligned})] |
| [math({\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}^2 = {\left(1 - \dfrac2{x+1}\right)}^2<1)] |
| [math(\displaystyle \frac1x = \sum_{n=0}^\infty \frac4{(x+1)^2}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n} \quad (x>0))] |
| [math(\begin{aligned} \ln x &= \int_1^x 2\sum_{n=0}^\infty \frac2{(t+1)^2}{\left(\frac{t-1}{t+1}\right)}^{2n}{\rm\,d}t \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac2{2n+1}{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n+1} \quad (x>0) \end{aligned})] |
9. 람베르트 W 함수
[math(\begin{aligned} W(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \frac{54}5x^6 + \cdots\end{aligned})] |
10. 프레넬 적분 함수
|
11. 브링 근호
[math(\displaystyle \operatorname{BR}(-x) = \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}k\frac{(-1)^k x^{4k+1}}{4x+1})] |
12. 타원 적분
|
13. 무한 지수 탑 함수
[math(\begin{aligned} x^{x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}} &= x + \sum_{n=2}^\infty \frac{2^{n-1}-1}{n-1}(x-1)^n \\ &= x+(x-1)^2+\frac32(x-1)^3+\frac73(x-1)^4+\cdots \end{aligned})] |
[1] 이때 팩토리얼 기호가 자연수에 한해서 정의된다는 성질 때문에 조합 기호는 [math(\displaystyle \binom\alpha n = \frac1{n!}\prod_{i=0}^{n-1}(\alpha -i))]로 재정의된다.[2] 복소수를 받을 수 있는 감마 함수를 쓰면 되지 않나? 싶지만 감마 함수는 정의 자체가 어렵게 되어 있어서 여기다 쓰기엔 배보다 배꼽이 더 크다.[3] 즉, 쌍곡선 함수와 삼각함수가 복소수를 통해 매개된다는 사실을 바탕으로, 쌍곡선 함수 [math(\coth x)], [math(\tanh x)], [math(\operatorname{csch}x)]의 테일러 급수를 먼저 구하고 [math(x)]에 복소수 [math(ix)]를 대입하여 얻어진 식이다.[4] 특히 아크탄젠트는 어느정도냐 하면 십만개의 항까지 계산해야 [math(3.1415\bm8\cdots\cdots)]이 된다.[5] 사실 이건 테일러 급수 중 [math(a=0)]인 특수한 케이스(매클로린 급수)를 이용한 것이다.[6] 애초에 식에 포함되는 베르누이 수열이 [math(\coth x)]를 이용해서 정의된다.