1. 개요
다가 함수(多價函數, multivalued function)는 여러 값을 갖는 함수로, 명칭은 '함수'이지만, 함수의 기본적인 정의에 어긋나므로 진짜 함수는 아니다.일반적으로, 함수는 정의역의 한 원소에는 치역의 한 원소만이 대응한다. 예를 들어 항등함수 [math(\mathrm{id}_\mathbb R)]의 경우, [math(\mathrm{id}_\mathbb R(1)=1)] 한 가지 값만을 갖는다. 그런데 복소해석학을 배우다 보면, 여러 가지 값을 갖는 함수가 필요하다. 예를 들어, 편각 [math(\arg)]는 [math(\arg(1+i)=\pi/4, 9\pi/4,\cdots)]로 무수히 많은 값을 갖는다.
2. 심화
정의역이 [math(X)]이고 치역이 [math(Y)]인 다가 함수는, 실질적으로 [math(X\to\mathcal P(Y)\backslash \emptyset)][1]라고 생각할 수 있다. 즉, 정의역의 원소를 치역의 원소들의 모임, 즉 치역의 부분집합에 대응시키는 함수로 보는 것이다. 이 경우, 로그 함수는 다음과 같이 생각할 수 있다.[math(\log(x)=\{y\in\mathbb C|e^y=x \})]
이때 다가 함수 [math(f:X\to \mathcal P(Y)\backslash \emptyset)]의 주요값은 [math(\forall x\in X, g(x)\in f(x))]인 함수 [math(g:X\to Y)]로 정의된다.
선택 공리 하에서, 다가 함수의 주욧값은 항상 존재하는데, [math(f:X\to \mathcal P(Y)\backslash \emptyset)]의 치역 [math(\mathrm{range}(f))]의 선택함수 [math(C)]와 [math(f)]의 합성 [math(C\circ f)]가 [math(f)]의 주요값이기 때문이다.
2.1. 분지 절단
복소 해석학에서 로그 함수를 정의할 때, [math(\operatorname{Arg}(\operatorname{Log}z)\in(-\pi, \pi])]이도록 한다. 이렇게 편각에 따라 주요값을 정하는 것을 분지 절단(branch cut)이라고 한다.2.2. 리만 곡면
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| [math(f(z) = z^{1/2})] | [math(f(z) = arcsin z)] |
Riemann 曲面 / Riemann surface / Riemannsche Fläche
다가 함수는 말 그대로 함숫값을 그리는 그래프가 여러 개이나, 이를 하나의 곡면으로 이어붙일 수 있는데 이 이어붙인 곡면을 리만 곡면이라고 한다. 이 개념을 제시한 베른하르트 리만의 이름을 땄다.
3. 예시
대부분의 다가 함수는 음함수의 역함수에서 나온다.- [math(e^y = x)]에서 [math(log)]와 주요값 [math(\rm Log)]
- [math(y^n = x)]에서 [math(x^{1/n})]과 주요값 [math(sqrt[n]x)]
오일러의 공식에 의해서 [math(1 = e^{2n\pi i})] 이다. 그래서, 대부분의 함수에서 곱셈의 항등원 1을 곱한 뒤, 이 식을 대입하면 다가함수로 바뀌어 버린다. 물론 이 식은 모든 자연수 n 에 대해서 같은 값이 나오지만, 이 식이 지수함수나 복소로그함수에 결합되는 순간, 서로 다른 값을 가지는 다가함수로 바뀌게 된다.