대수(대수 구조)

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1. 개요2. 정의3. 구분

3.1. 단위대수3.2. 결합대수3.3. 비결합대수

4. 예시

4.1. 대수학

4.1.1. 리 대수4.1.2. 아벨 범주4.1.3. 3차원 유클리드 공간 [math((\mathbb{R}^3,+,\cdot,\times))]에서 벡터의 외적(cross product)

4.2. 해석학

4.2.1. 집합 대수4.2.2. 작용소 대수

1. 개요

체 위의 대수(Algebra on a field)는 대수적 구조 중 하나로, 벡터 공간 위에 쌍선형 곱셈 연산이 추가로 주어진 대수적 구조이다. 곱셈 연산은 기존 벡터공간의 덧셈 및 스칼라곱 연산에 대한 분배 법칙을 만족해야만 한다.

2. 정의

다음을 만족시키는 연산 [math(+, \cdot, \times)]가 주어진 집합 [math(A )]를 체 [math(\mathbb{F})] 위의 대수라 한다.

(벡터 공간) [math( (A, +, \cdot) )]은 [math(\mathbb{F} )] 위의 벡터 공간이다. 즉,

(가환군) [math( \left( A,+\right) )]는 가환군(abelian)이다. 즉, 임의의 [math( x , y, z\in A )]에 대하여 다음을 만족시킨다.

덧셈에 대한 항등원 존재: [math( A )]에는 특정한 원소 [math( 0_A )]이 존재하여 모든 [math( x \in A )]에 대하여 [math( x + 0_A = 0_A + x = x )]
덧셈에 대한 역원 존재: [math( A )]의 임의의 원소 [math( x )]에 대하여 [math( x + u = u + x = 0_A )]을 만족하는 [math( u \in A )]가 존재한다.
교환법칙 성립: [math(\forall x, y\in A)], [math( x + y = y + x )]
결합법칙 성립: [math(\forall x, y, z\in A)], [math( \left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right) )]

(스칼라 곱) 연산 [math( \cdot:\mathbb{F}\times A\rightarrow A)](스칼라 배)가 존재하고 임의의 [math(a,b\in \mathbb{F})], [math(x, y\in A)]에 대해 다음을 만족시킨다.

벡터 합에 대한 분배법칙: [math( a\cdot\left(x+y\right)=a\cdot x+a\cdot y )]
스칼라 합에 대한 분배법칙: [math( \left(a+b\right)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x )]
스칼라 간의 곱에 대한 호환성: [math( \left(ab \right)\cdot x=a\cdot\left(b\cdot x \right))]
스칼라 곱의 항등원: [math( 1_\mathbb{F} \cdot x=x )]

(곱셈) [math( A \times A \rightarrow A )]는 쌍선형 사상이다. 즉, 임의의 [math( a, b \in \mathbb{F} )]와 [math( x, y, z \in A )]에 대하여,

분배법칙 1: [math( \left(x + y \right) \times z = x \times z + y \times z )]
분배법칙 2: [math( x \times \left(y + z \right) = x \times y + x \times z )]
스칼라 곱에 대한 호환성: [math( \left(ax \right) \times \left(by \right) = ab(x \times y) )]

3. 구분

3.1. 단위대수

대수 [math((A, +, \cdot, \times))]에 대하여

[math( 1_A \times x = x \times 1_A = x \forall x\in A )]

을 만족시키는 [math( 1_A\in A )]가 존재하면 A를 단위대수(unital algebra)라고 한다.

3.2. 결합대수

대수 [math((A, +, \cdot, \times))]가 곱셈에 대한 결합법칙

[math(x(yz)=(xy)z\quad\forall x,y,z\in A)]

을 만족시키면 [math(A)]를 결합대수(associative algebra)라고 한다.

정사각행렬 공간 [math( (\mathbb{F}^{n\times n},+,\cdot,\times) )]는 결합대수이다. 행렬 공간은 행렬의 합과 스칼라 곱을 갖춘 벡터 공간이며, 특히 정사각행렬 공간은 행렬의 곱셈에 대하여 닫혀있고 결합대수의 조건을 만족시킨다. 선형대수학의 기본정리에 의해 임의의 유한차원 [math(\mathbb{F})]-벡터 공간 [math(V )]에 대하여 [math( V )]에서 [math( V)]로 가는 선형 변환의 공간 [math(\mathcal{L}(V) )]는 [math(\mathbb{F}^{\dim V\times\dim V})]와 동형이므로 [math((\mathcal{L}(V),+,\cdot,\circ) )]는 함수의 합성 연산 [math(\circ)]를 곱셈으로 가지는 결합대수이다.

K-이론과 텐서를 다루는 상황에서 교환법칙 또는 반교환법칙을 만족하는 결합대수 구조가 나타난다.

3.3. 비결합대수

대수 [math((A, +, \cdot, \times))]가 곱셈에 대한 결합법칙을 만족시키지 않으면 [math(A)]를 비결합대수(non-associative algebra)라고 한다.

3차원 유클리드 공간 [math((\mathbb{R}^3,+,\cdot,\times))]는 벡터의 외적을 곱셈으로 갖는 대표적인 비결합대수이다. 요르단 대수, 팔원수 또한 비결합대수이다.

4. 예시

4.1. 대수학

4.1.1. 리 대수

리 대수(Lie algebra)는 벡터공간 [math(\mathfrak{g})]에 쌍선형사상 [math([\cdot,\cdot]:\mathfrak{g\times g}\to\mathfrak{g})]가 주어진 대수로, 쌍선형사상 [math([\cdot,\cdot])]는 반대칭관계(anti-symmetry)

[math([A, B] = -[B, A])]

와 야코비 항등식(Jacobi identity)

[math([A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0)]

을 만족시킨다. 리 대수에서 두 원소의 곱을 [math(\lbrack A, B \rbrack)] 대신 [math(\lbrack AB \rbrack)]로 표기하기도 한다. 전자는 물리학에서 후자는 수학에서 주로 사용하나, 수학에서도 전자의 표현을 자주 사용한다. 결합법칙을 만족하지 않는 다른 대수의 곱셈을 표기할 때도 후자의 표기를 사용하기도 한다.

리 대수는 리 군(Lie group)과 밀접한 관련을 가지고 있어 리군의 국소적 성질을 나타내는 데에 유용하다. 컴팩트 리 군(compact Lie group)은 자연 현상에서 나타나는 많은 대칭성을 표현하는 데에 활용된다. 이 때 컴팩트 리 군은 단순 리 군으로, (단순연결인)단순 리 군의 리 대수는 단순 리 대수(simple Lie algebra) 간에 1-1 대응이 존재하기 때문에 단순 리 대수를 통하여 컴팩트 리 군의 상당 부분을 분석할 수 있다. 또한 단순 리 대수들의 분류와 존재성, 유일성, 표현(representation) 모두 증명이 완료되어 많은 분야에 응용되고 있다.

리 대수는 비결합대수이나, 주어진 리 대수가 매장된 단위결합대수인 보편포락대수(universal enveloping algebra)가 유일하게 존재한다. 임의의 결합대수 [math(\mathcal{A})]에 대하여 새로운 곱셈

[math(AB - BA \;\; (A, B \in \mathcal{A}))]

가 부여된 리 대수 [math(\mathcal{A}_L)]을 구성할 수 있다. 리 대수 [math(\mathfrak{g})]와 [math(\mathcal{A}_L)] 사이에 리 대수 준동형사상(Lie algebra homomorphism) [math(f : \mathfrak{g} \to \mathcal{A}_L)]가 존재하면 단위결합대수 [math(U(\mathfrak{g}))]와 매장사상 [math(\iota : \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g}))]에 대하여 [math(\phi \circ \iota = f)]를 만족하는 결합대수 준동형사상(associative algebra homomorphism) [math(\phi : U(\mathfrak{g}) \to A)]가 유일하게 존재한다.

4.1.2. 아벨 범주

자세한 내용은 준동형 사상 문서

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를

#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[준동형 사상#s-|]]번 문단을

#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[준동형 사상#아벨 범주|아벨 범주]][[준동형 사상#|]] 부분을

참고하십시오.
대수구조로서의 대수를 일반화한 것이다. 자세한 내용은 문서 참고.

4.1.3. 3차원 유클리드 공간 [math((\mathbb{R}^3,+,\cdot,\times))]에서 벡터의 외적(cross product)

자세한 내용은 외적 문서

#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
를

#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[외적#s-|]]번 문단을

#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[외적#벡터곱(cross product)|벡터곱(cross product)]][[외적#|]] 부분을

참고하십시오.
위에서 언급된 두 가지 성질 (unital, associative)을 전부 갖지 않으면서도 대수의 정의는 만족하는 경우이다. 다시 말해서, 3차원 유클리드 공간에서의 벡터의 외적은 비 단위 비 결합 [math(\mathbb{R})]-대수 (nonunital nonassociative [math(\mathbb{R})]-algebra)이다. 자세한 내용은 문서 참고.

4.2. 해석학

4.2.1. 집합 대수

측도론에서 체 위의 대수를 일반화한 집합 위의 대수를 다룬다. 측도 공간을 구성하는 집합 대수, [math(\sigma)]-대수 등이 있다.

4.2.2. 작용소 대수

함수해석학에서 힐베르트 공간 및 바나흐 공간의 작용소 공간이 이루는 대수 구조를 일반화한 바나흐 대수, [math(C^*)]-대수 등을 다룬다. 해석학에서 다루는 대수 구조는 대수의 공리에 작용소 노름, 완비성, 대합 등 위상/해석적 공리가 추가된다.

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