1. 개요
수열(number sequence)은 여러 수가 일정한 패턴을 이루며 나열되는 현상으로, 본 문서에서 설명하는 건 이러한 패턴을 표현하는 법에 대한 내용이다.1.1. 수열의 귀납적 정의
수열의 귀납적 정의 문서 참고.1.2. 생성함수
수열 [math(\{a_n\})]에 대해 생각하는 형식적인 멱급수[math( \displaystyle A(x) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i )]
로 정의된다. 자세한 것은 문서를 참고.1.3. 수열의 합
[math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k =a_1+a_2+a_3+...+a_n)]수학에서의 수열 [math( a_1, a_2, a_3, ... , a_n)]이 주어졌을 때 이들의 합을 시그마 기호로 나타낼 수 있다. 시그마를 쓰는 이유는 합을 뜻하는 라틴어 단어 summa의 앞글자를 땄기 때문이다. 그리스 문자 Σ는 로마자의 S에 대응되기 때문. 때문에 영어권에서는 [math(\Sigma)]라고 쓰고 sum이라고 읽는 경우가 거의 대부분이다. 비슷한 것으로 [math(Pi)](파이)가 있는데, 이것은 곱하기 버전이다.(곱하기의 영문 표현인 product의 p에 대응).
- 시그마 밑에는 각 항수를 대입할 문자(인덱스)를 지정하고, 더하기를 시작할 첫 항을 지정한다. [math(k)]에 대한 일반항을 제1항부터 더할 것이라면, [math(k=1)]이라고 쓰면 된다. 만약 일반항에 여기서 지정한 문자가 아닌 다른 문자가 들어간다면 그 문자는 상수로 취급한다.(문자를 [math(k)]로 지정했는데 일반항에 [math(m)]이 튀어나온다거나)
- 시그마 위에는 마지막 항을 지정한다. 제[math(n)]항까지 더할 것이라면, [math(n)]이라고 쓰면 된다.
- 시그마 오른쪽에는 일반항을 써준다. 항수가 들어갈 문자는 앞에서 지정한 문자와 같아야 한다. 예를 들어 [math(n)]에 대한 수열에서 일반항이 [math(3n-2)]이고 [math(n)]에 들어가는 수가 항수라면, [math(n)] 대신에 앞에서 지정한 문자 (본 예시에서는 [math(k)])로 바꿔 써야 한다.
시그마의 일반적인 성질은 다음과 같다.
1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(a_k \pm b_k\right) = \sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k)] (복호동순)
1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}ca_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k)] ([math(c)]는 상수)
1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c = cn)]
1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}ca_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k)] ([math(c)]는 상수)
1. [math( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c = cn)]
어린 시절 산수를 배울 때 [math(1)]에서 [math(10)]까지 다 더하면 [math(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55)]가 된다는 사실을 발견한 적 있을 것이다. 이것이 바로 일종의 유한급수이다. 이를 급수식으로 바꿔 보면
[math( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}k)]
이렇게 된다.위의 공식을
[math( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}k = \frac{n(n+1)}{2} )]
와 같은 일반적인 식으로 나타낼 수도 있으며 [math(\displaystyle \frac{10\times (10+1)}{2}=55)]가 나오는 것을 확인할 수 있다. 참고로 이걸 그대로 제곱하면 3차항의 합이 된다.
[math( \displaystyle k^2)]의 경우는 아래와 같다.
[math( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} )]
이를 [math( \displaystyle k^c)]일 경우로 일반화한 식이 바로 파울하버의 공식이다. 자세한 것은 문서 참조.
2015 개정 교육과정에서 수열의 합은 수학1 과목에서 다룬다. 한편 [math(n)]항까지 더하는 것이 아니라 무한 개의 항을 모두 합하는 경우도 생각할 수 있는데, 이는 2015 개정 교육과정의 미적분 과목에서 다루며, 자세한 설명은 무한급수 문서를 참고할 것.
수열의 합을 적분을 이용해 나타낼 수도 있다.
생성함수 [math(A(k))]에 대해서
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} A(k) = \int_{1}^{n} A(k) \ \mathrm{d}\lfloor k \rfloor)] ([math(\lfloor k \rfloor)]는 최대 정수 함수)
증명은 급수를 각 항의 합으로 나타낸 뒤 정리해주면 된다. 4번의 경우는 너비가 1이고 높이가 [math(A(k))]인 직사각형을 모아서 그 넓이를 합하는 것을 떠올리면 쉽다.[1][math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} A(k) = \int_{1}^{n} A(k) \ \mathrm{d}\lfloor k \rfloor)] ([math(\lfloor k \rfloor)]는 최대 정수 함수)
자세한 설명을 담은 영상
1.3.1. 여러 수열의 합
다음은 고등학교 과정에서 흔히 나오는 수열의 합의 계산이다.
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위 식들을 일반화하면 다음과 같으나 각각 [math(m=1)], [math(m=2)]인 경우에 해당하는 위 식들 말고는 계산이 지나치게 복잡하다고 하여 거의 나오지 않는다.
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나아가, [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1}-\sqrt k))]의 경우 다음과 같이 변형된 꼴로도 종종 나온다.
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또한 다음과 같은 값들은 별도로 암기하는 편이 유용하다.
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k=55)]
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^2=385)]
1.3.1.1. 부분분수분해
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위 공식을 이용하여, 변형된 수열의 합을 구하는 문제도 나온다. 다음과 같이 부분분수분해를 이용하여 식을 변형한 뒤 위의 방법대로 수열의 합을 구하면 된다.
- [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{3}{k(k+2)}=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac32\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+2}\right))]
1.4. 수열의 극한
2. 주요한 수열들
- 등차수열: 이웃하는 항의 차(공차)가 일정한 수열. 즉, 항의 값이 일차함수와 같이 선형적인 수열
- 등비수열: 이웃하는 항의 비(공비)가 일정한 수열. 즉, 항의 값이 지수함수와 같이 지수적인 수열
- 조화수열: 각 항의 역수가 등차수열인 수열
- 계차수열: 어떤 수열의 이웃한 항 사이의 차로 구성된 수열
- 특정 함수로 정의되는 수열
- 다항수열: 다항함수로 정의되는 수열. 수열의 합은 각각의 항에 거듭제곱의 합 공식을 따로따로 적용하여 각 항의 계수를 곱해준다. 정적분과 원리가 다소 비슷하다.
- 삼각수열: 삼각함수로 정의되는 수열. 수열의 합을 구할 때 항을 몇천 개나 합해야 하는 문제가 나오지만 그건 장식이고 주기가 [math(2{\pi})]임을 이용해서 주기만큼 나눈 나머지에 해당하는 항을 더하면 된다.
- 부분군열
- 피보나치 수열: 가장 단순한 이계 동차 선형점화식을 따르는 수열로, 일반항에 황금비가 등장한다.
- 콜라츠 수열: 유명한 3n+1의 문제. 1937년에 나온 수열인데 2023년 기준으로 아직도 수렴하는지 알려지지 않은 난제 중 하나이다.