| 수와 연산 Numbers and Operations | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#765432> 수 체계 | 자연수(수학적 귀납법 · 홀수 · 짝수 · 소수 · 합성수) · 정수 · 유리수(정수가 아닌 유리수) · 실수(무리수 · 초월수) · 복소수(허수) · 사원수 · 팔원수 | |
| 표현 | 숫자(아라비아 숫자 · 로마 숫자 · 그리스 숫자) · 기수법(자연어 수 표기법 · 과학적 표기법 · E 표기법 · 커누스 윗화살표 표기법 · 콘웨이 연쇄 화살표 표기법 · BEAF · 버드 배열 표기법) · 진법(십진법 · 이진법 · 8진법 · 12진법 · 16진법 · 60진법) · 분수(분모 · 분자 · 기약분수 · 번분수 · 연분수 · 통분 · 약분) · 소수{유한소수 · 무한소수(순환소수 · 비순환소수)} · 환원 불능 · 미지수 · 변수 · 상수 | ||
| 연산 | 사칙연산(덧셈([math(Sigma)]) · 뺄셈 · 곱셈(구구단 · [math(Pi)]) · 나눗셈) · 역수 · 절댓값 · 제곱근(이중근호) · 거듭제곱 · 로그(상용로그 · 자연로그 · 이진로그) · 역산 · 검산 · 연산자 · 교환자 · 계승 | ||
| 방식 | 암산(방식) · 세로셈법 · 주판 · 산가지 · 네이피어 계산봉 · 계산기 · 계산자 | ||
| 용어 | 이항연산(표기법) · 항등원과 역원 · 교환법칙 · 결합법칙 · 분배법칙 | ||
| 기타 | 수에 관련된 사항(0과 1 사이의 수 · 음수 · 작은 수 · 큰 수) · 혼합 계산(48÷2(9+3) · 111+1×2=224 · 2+2×2) · 0으로 나누기(바퀴 이론) · 0의 0제곱 | }}}}}}}}} | |
1. 개요
reduction to common denominator · 通分분모가 다른 분수들의 분모를 같게 해주는 것.
2. 도입
예를 들어 분모가 다른 분수의 크기를 비교해야 하거나, 덧셈 또는 뺄셈을 해야하는 경우를 생각해보자. 분모가 다른 경우에는 이들의 계산을 할 수 없기 때문에 분모를 통일 시키는 과정이 필요로 하게 되는 것이다.우선, 분수의 성질에 대해 알아보자. 0이 아닌 [math(a)]에 대하여
| [math(\displaystyle \begin{aligned} X&=\frac{b}{a} \\ Y&=\frac{kb}{ka} \end{aligned} )] |
3. 방법
두 분수| [math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{7}{12},\,\frac{5}{18} \biggr) \end{aligned} )] |
- 두 분모의 최소공배수를 공통 분모로 둔다.
- 공배수 중 아무거나 두어도 상관은 없다.
- 두 분모의 곱을 공통 분모로 둔다.
첫 번째 방법으로, 최소공배수를 공통분모로 두는 방법을 살펴보자. 우선 두 분모의 최소공배수를 구한다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{lcm}{(12,\,18)}=36 \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3},\,\frac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2} \biggr)=\biggl( \frac{21}{36},\,\frac{10}{36} \biggr) \end{aligned} )] |
두 번째 방법은 분모의 곱을 공통 분모로 두는 방법이다. 다음과 같은 과정을 거친다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{7}{12},\,\frac{5}{18} \biggr)=\biggl( \frac{7 \cdot 18}{12 \cdot 18},\,\frac{5 \cdot 12}{18 \cdot 12} \biggr)=\biggl( \frac{126}{216},\,\frac{60}{216} \biggr) \end{aligned} )] |
세 개 이상의 분수가 나오더라도 같은 과정을 거치면 된다.
위에서 보면 알 수 있듯, 절차가 간소한 것은 분모의 곱을 공통분모로 두는 것인데, 분모의 수가 커지면 이렇듯 수가 커지게 된다. 따라서 분모가 어느 정도 크면 최소공배수로 공통분모를 두는 것이 더 효율적이며, 뒤따르는 연산 후의 약분 과정의 절차를 줄여준다.
3.1. 일반화
따라서 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(cde \neq 0)]에 대하여| [math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl( \frac{b}{a},\,\frac{d}{c} \biggr)&=\biggl( \frac{bc}{ac},\,\frac{da}{ac} \biggr) \\ \biggl( \frac{b}{a},\,\frac{d}{c} ,\,\frac{f}{e} \biggr)&=\biggl( \frac{bce}{ace},\,\frac{ade}{ace},\,\frac{acf}{ace} \biggr) \end{aligned} )] |
4. 이용
4.1. 분수의 크기 비교
분모가 다른 두 개 이상의 분수의 대소 관계를 파악할 때는 통분을 통해 분모의 크기를 통일한 후 분자의 크기를 비교하여 대소관계를 비교한다.만약 공통분모를 분모의 곱으로 했다면, 다음과 같은 과정을 거친다.
- 두 개의 분수에 대해서는 [math(bc)]와 [math(ac)]의 대소관계를 따진다.
- 세 개의 분수에 대해서는 [math(bce)]와 [math(ade)], [math(acf)]의 대소관계를 따진다.
4.2. 분수의 덧셈
분모가 다른 분수의 덧셈은 통분 후 분모를 통일시킨 후 행한다.만약, 공통분모를 분모의 곱으로 했다면, 그 공식은 아래와 같이 주어진다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{b}{a}+\frac{d}{c}&=\frac{bc+da}{ac} \\ \frac{b}{a}+\frac{d}{c}+\frac{f}{e}&=\frac{bce+dae+acf}{ace} \end{aligned} )] |
4.3. 극한
2개 이상의 분수의 합 또는 차로 구성된 수열이나 함수의 극한을 구하려고 할 때, 각 분수가 극한을 구할 수 없는 꼴이지만 통분하면 극한을 구할 수 있는 경우가 있는데, 예를 들면 다음과 같다.| [math(\begin{aligned}\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2n^2+n+1}{n} - \frac{2n^2+1}{n+1}\right)& = \lim_{n \to \infty}\left\{\frac{(2n^2+n+1) \times (n+1)}{n \times (n+1)} - \frac{(2n^2+1) \times n}{(n+1) \times n}\right\}\\&= \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+n+1}{n^2+n} = 3\end{aligned})] |
5. 기타
- 분수ㆍ소수의 혼합계산은 물론, 중학교에서 정수ㆍ유리수의 혼합계산에도 적용된다.
- 약분과는 달리 항상 하는 건 아니다. 대개 분모가 다른 두 분수의 크기를 비교하거나 분수의 덧셈, 뺄셈을 해야 할 때[1]만 하는 정도다. 분모를 통일한 후 분자의 크기를 서로 비교하면 된다. 간혹 통분해야 하는 것을 모르고,
[math(dfrac{1}{x} + dfrac{1}{y} = dfrac{1}{x+y})]
같은 꼴로 잘못 계산하는 경우도 있다. - 특히 분수의 계산엔 약분과 더불어 통분이 필수적이다.
- 사실 초딩 수포자의 8할은 이게 안 돼서 포기하는 학생들이다. 초등 5학년 1학기 과정이다.