1. 개요
proportional expression · 比例式두 개의 비가 같음을 나타낸 식, 두 비를 등호로 연결한 식이다.
2. 상세
[math(2:3)]과 [math(4:6)]은 그 비가 같다. 따라서 등호로 다음과 같이 연결할 수 있다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} 2:3=4:6 \end{aligned} )] |
| [math(\Large\underbracket{\!2 :~\overbracket{\!3 = 4\!}^{\textsf{\sixptsize 내항}}~: 6\!}_{\footnotesize\textsf{외항}})] |
위와 같이 등호를 기준으로 상대적으로 외부에 있는 항을 외항이라 하며, 상대적으로 내부에 있는 항을 내항이라 한다.
비례식에서 외항의 곱은 내항의 곱과 같다. 이것의 증명은 쉽게 할 수 있다. 임의의 비례식 [math(a:b=c:d)] (단, [math(abcd \neq 0)])을 고려하자. 이것을 비율로 나타내면
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} ad=bc \end{aligned} )] |
어떤 비 [math(a:b)](단, [math(ab\neq 0)])에서 상수 [math(k)]에 대하여 [math(a:b=ka:kb)]가 성립한다. 이것은 비율로 나타냈을 때 같아지는 것에서 증명가능하다. 또한 복잡한 비, 예를 들어 분수나 소수가 포함되거나 큰 수의 비를 만났을 때 계산을 쉽게 할 수 있는 토대를 제공한다.
- 분수끼리의 비는 분모의 최소공배수를 곱하여 자연수의 비로 바꿀 수 있다.
- 소수끼리의 비는 가장 많은 소수 자릿수의 수를 자연수로 바꾸는 숫자를 곱하여 자연수의 비로 바꿀 수 있다.
- 분수나 소수가 혼합된 비는 위 두 방법을 혼합하여 사용한다.
- 큰 자연수의 비는 두 수의 최대공약수로 나눠 간단한 자연수의 비로 바꿀 수 있다.
이 원리는 중학교와 고등학교에 들어가서 배우는 복잡한 방정식ㆍ부등식의 풀이에도 적용된다.
3. 비례식이 포함된 방정식
비례식이 포함된 방정식, 예를 들어 [math(x:x+4=2:7)]같은 경우에는 외항의 곱이 내항의 곱과 같음을 이용하여 푼다. 즉,| [math(2(x+4)=7x)] |
4. 비례배분
전체의 양을 주어진 비로 분배하는 것을 의미한다.4.1. 방법
예를 들어 과자 10개를 [math(2:3)]의 비율로 학생 [math(\rm A)], 학생 [math(\rm B)]에게 분배하려고 한다. 이때, 다음과 같은 개수로 분배하면 된다.- 학생 [math(\bf A)]: [math(10\times\dfrac2{2+3}=4)]
- 학생 [math(\bf B)]: [math(10\times\dfrac3{2+3}=6)]
| [math(\dfrac a{a+b}A,\quad\dfrac b{a+b}A)] |
4.1.1. 일반화
전체 양 [math(A)]를 [math(a_1:a_2:a_3:\cdots:a_k)]의 비로 비례배분하면 아래와 같다. 단, [math(A)]와 [math(a_k)]는 양의 실수이다.| [math(\dfrac{a_1}{\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i}A,\,\dfrac{a_2}{\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i}A,\,\cdots,\,\dfrac{a_k}{\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i}A)] |
5. 기타
- 초등학교 6학년 수학 교육과정에 나오는 개념이다. 6학년 때는 비례식을 가지고 비례배분을 하게 된다. 중학교 때 방정식의 활용에 비례배분, 백분율, 비례식이 응용된다. 과거에는 고1 때 유리식 단원에서 다룸과 동시에 "가비의 이"라고 상대적으로 복잡한 형태의 등식으로 나왔으나, 2009 개정 교육과정 때 삭제되었다. 더 심화되면 선형사상(linear map)과 준동형 사상(Homomorphism)으로 귀결된다.