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1. 개요
The simplest thought like the concept of the number one has an elaborate logical underpinning.
1이라는 개념의 단순한 사고도 매우 정교한 논리적 기반을 가진다.
칼 세이건
자연수(自然數, natural number)는 [math(1)], [math(2)], [math(3)], [math(\cdots)]과 같이 나아가는, 보통 대상의 개수를 셀 때 나오는 수이다.1이라는 개념의 단순한 사고도 매우 정교한 논리적 기반을 가진다.
칼 세이건
자연수의 집합은 영어 natural number의 첫 글자를 따와 [math(\N)]이라고 한다. 또는 정수의 양수 부분을 뜻하는 [math(\Z^+)]라고 쓴다.
대상의 수효를 세는 것이 수학의 출발이니만큼, 수학의 탄생을 상징하는 가장 기본적인 개념이다. 이러한 맥락에서, 수학자 크로네커는 '정수는 자애로운 신이 만들었고, 나머지는 인간의 창작물이다.'[1]라는 말을 남기기도 했다.
그러나 자연수도 추상화를 통해 '발명된' 개념이다. 두 마리의 꿩과 이틀이 자연수 [math(2)]의 예들이라는 것을 발견하는 데까지는 상당한 시일이 걸렸을 것이다. 수를 세는 것은 사실 일대일대응의 개념을 담고 있고, 여기서 칸토어가 현대적 무한의 개념을 착안했다고 보아도 무리는 아닐 것이다.
중등 교과과정에서는 보통 역사적인 관습을 따라 [math(0)]을 자연수로 치지 않지만[2], 많은 사람들이 편의성의 문제로 자연수에 [math(0)]을 포함시켜 생각하기도 한다. 대표적인 예가 바로 폰 노이만 체계를 따르는 수학자들이다. 이는 무엇이 맞고 틀리다의 문제가 아니라 그냥 서로 다른 관습에 불과하다. 사실, 현대수학적 관점에서 보면 자연수는 (1) 기본 원소가 하나 존재하고 (2) 수학적 귀납법이 성립하는, 이 두 조건을 만족하는 '구조'에 불과하기 때문에, [math(0)]으로 시작하건 [math(1)]로 시작하건 구조적으로는 차이가 없다. 여기서 말하는 구조란 집합론적 구조를 말하고, 대수적 구조로 접근하면 [math(0)]을 포함하느냐 마느냐는 덧셈과 뺄셈 연산의 항등원을 넣느냐 마느냐의 차이가 생긴다. 물론, [math(0)]을 포함하는 편이 대수적으로 더 의미 있는 구조인 모노이드가 되기 때문에, 대부분의 경우 [math(0)]을 자연수 집합에 포함시킨다.[3] 어쨌든 이런 사소한 애매함을 피하고자, 수학자들은 자연수보다는 양의 정수(positive integer, [math(0)] 미포함) 및 음이 아닌 정수(nonnegative integer, [math(0)] 포함)라는 용어를 주로 사용하는 편이다.
2. 어원과 역사
자연수라는 용어 자체는 유럽의 중세시대에 사용된 라틴어 "numerus naturalis(자연적인 수)"의 한자 번역어이다. 자연수는 자연적인 수라는 뜻인데, 중세 기독교 신학에서 '자연적(natura)'이라는 것은 '본성을 지니고 있다', '신의 목적을 지니고 있다', '신의 질서를 따른다'는 의미이다. 수가 신의 목적과 질서에 부합한다는 생각은 현대 한국인이 보기에는 생소하다 못해 괴상한 개념이지만, 이러한 믿음은 고대 그리스의 피타고라스 학파에 기원을 둘 정도로 오래된 유럽의 독특하고 특수한 전통이다. 이 자연수라는 개념이 역사적으로 중요한 이유는, 이 때문에 서양에서 수학의 발전이 이루어지기도, 또 발목을 잡기도 하는 상황이 수천 년에 걸쳐서 반복적으로 일어나면서 서양사에 영향을 주었기 때문이다.대표적인 것은 수 0에 대한 거부이다. 피타고라스 학파는 우주가 수로 이루어졌다는 신앙을 가지고 있었는데, 때문에 수는 반드시 자연에서 관찰되고, 1대1로 대응이 있어야 한다는 강박을 가지고 있었다. 이 시각에서 보면, 세상에 1개의 사과와 2개의 사과는 있어도, 0개의 사과를 본 사람은 세상에 없다. 없음은 그냥 빈 공간일 뿐이지, 그것을 별도로 수로 정한다는 것은 수가 더 이상 현실을 제대로 반영하는 것이 아닌 것, 다시 말해 거짓말이나 상상물에 불과하게 되는 것으로 여겼다.
이 믿음은 중세에 들어서면서 더 광범위하게 유럽에 퍼지면서 심해졌는데, 음수에 대한 거부로까지 번져나갔다. 자연수가 신적인 수이고, 실질적인 수이기 때문에, 반대로 음수는 비실적이고 거짓된 수, 다시 말해 상상물에 불과한 허구의 수 중의 한 종류로 취급받았다. 이러한 거부가 멈추는 것은 결국 기독교 신앙이 후퇴하기 시작하는 르네상스 이후이다.
반면에 자연수라는 개념의 긍정적인 면도 있었다. 수학을 독립된 학문의 반열로 올려놓은 것이 그것이다. 자연수의 신앙 때문에 유럽인들은 수만큼 완벽한 언어가 없고, 따라서 신의 언어일지도 모른다는 믿음으로 수학연구에 매달렸다. 대표적인 것이 소수다. 그리스인들은 소수가 자연수의 원자에 해당한다 믿었고, 때문에 매우 진지하게 연구했다. 이렇게 수 자체의 성질을 탐구하는 것은 다른 문명에서는 잘 나타나지 않은 현상이다. 수학을 단순히 실용적으로 접근한 문명들은 수학을 그저 도구적인 학문으로 생각해서, 천문학이나 기하학에 종속되는 분과 학문 취급했다. 한반도에서만 하더라도, 조선시대까지만 하더라도 수학은 다른 학문의 부속품에 지나지 않았고 수 자체의 성질 따위를 연구하는 것은 지식인의 취미활동에 지나지 않았다. 만약에 자연수라는 신앙이 없었다면 지금도 공학과 같은 학문의 선행 과목으로밖에 의미가 없었을지도 모른다.
3. 자연수의 수학적 정의
20세기 전후의 수학에서는 모든 것을 기호화된 논리로 정의하는 형식주의의 흐름이 시작됐고, 자연수를 어떻게 수학적으로 정의할까에 대한 질문이 나오게 됐다. 수 체계 문서를 보면 잘 알 수 있겠지만, 다른 모든 수들이 자연수를 바탕으로 만들어지므로, 자연수의 정의는 수학의 기반이 된다고 볼 수 있다. 한편 개수를 세는 것에 대한 논의는 현대적 집합론에서 무한집합의 원소의 '개수'[4]에 대한 중요한 고찰로 이어진다.3.1. 페아노 공리계
자연수를 정의하려는 초창기의 시도 중 하나가 페아노 공리계(Peano's axioms)를 이용해 자연수를 정의하는 것이다.다음 성질들을 만족하는 집합 [math(\N)]을 가리켜 자연수 집합이라고 한다.
- [math(1\in\N)]
[math(\N)]은 [math(1)]이라고 불리는 한 원소를 가진다.[5] - [math(n\in\N \Rightarrow n^+\in\N)]
[math(\N)]의 임의의 원소 [math(n)]에 대하여, [math(n)]의 "따름수(successor) [math(n^+)]"[6]도 [math(\N)]의 원소다.[7] - [math(\forall n\in\N, n^+\ne1)]
[math(1)]을 따름수로 갖는 원소는 [math(\N)]에 존재하지 않는다. - [math(\forall m\in\N \,\forall n\in\N, m^+=n^+ \Rightarrow m=n)]
[math(\N)]의 두 원소가 같은 따름수를 가진다면, 두 원소는 같다.[8] - (자연수의 귀납적 정의)
[math(\forall S\subset\N, (1\in S \wedge (n\in S \Rightarrow n^+\in S)) \Rightarrow S=\N)]
[math(\N)]의 임의의 부분집합 [math(S)]가 (1) [math(1)]을 원소로 가지며 (2) [math(n)]이 원소일 때 그 따름수도 원소라면, [math(S = \N)]이다.
가장 중요한 다섯 번째 공리는 [math(\N)]이 [math(1)], [math(2=1^+)], [math(3=(1^+)^+)], [math(4=((1^+)^+)^+)], [math(\cdots)]을 포함하는 최소의 집합임을 말하고, 이는 [math(\N)]을 유일하게 결정짓는다. 사실 이는 수학적 귀납법과 동치인 내용으로, 바꾸어 말하면 이는 사실 수학적 귀납법이 자연수의 본질이라는 것을 의미한다.
3.2. 범자연수(0을 포함하는 자연수)
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우리가 알고 있는 자연수 집합에 [math(0)]을 포함시킨 집합 [math(\{0, 1, 2, 3, \cdots\})]을 가리킨다. 영어로는 whole numbers라고 한다. 다만, 한국어의 "범자연수"라는 용어는 어디까지나 비공식적으로 널리 쓰일 뿐, 대한수학회 확인 결과 whole numbers에 대해 정식적으로 번역된 용어가 없으므로 유의할 것.[9]
초등학교 수학의 1학년 1학기 첫 단원이 이 [math(0)]을 포함한 자연수의 개념을 갓 초등학교에 입학한 학생들에 맞추어 간략화한 내용이다.
현대의 수학자들은 페아노 공리계가 갖는 비엄밀한 부분을 해결하기 위해, 집합론을 사용하여 [math(0)]부터 시작하여 [math(1)], [math(2)], [math(3)], [math(\cdots)] 등으로 수를 정의하였다. 자세한 내용은 다음 문단 참고.
(우리가 흔히 아는) [math(1)]부터 시작하는 자연수와 (수학적으로 엄밀하게 구성한) [math(0)]부터 시작하는 자연수를 구분지어 부르기 위해, 본 문서에서는 후자를 범자연수로 통일해서 부르기로 한다.
3.3. 집합론적 정의(자연수 구성하기)
위에서 설명한 페아노 공리계는 자연수를 가장 잘 설명하는 체계이나, 두 가지 문제가 있다. 첫 번째로는, 자연수 집합이 존재한다는 걸 보장하지 못한다는 것이다. 이제까지 했던 이야기는 '만약 이러한 집합이 존재한다면 어쩌구저쩌구 해서 이런 성질들이 성립한다'에 불과하지, 과연 이런 집합이 수학적으로 정의될 수 있는지는 완전히 다른 문제이기 때문.[10] 또한, 두 번째로는 '자연수의 의미'에 맞지 않을 수도 있다는 것이다. 페아노 공리만을 보자면, 적당한 무한수열을 가져오기만 해도 그 수열을 자연수열이라고 할 수 있기 때문에 우리가 알고 있던 자연수라는 개념과는 괴리감이 생긴다.[11] 따라서 올바른 수학 체계는 자연수 집합, 즉 페아노 공리계를 만족하는 집합의 존재를 자체적으로 보장해야 하며, 이 집합이 자연스럽게 정의돼야만 할 것이다.[12] 이는 현대 집합론에서 중요한 요소로 자리잡고 있다.페아노 공리계에서 문제인 부분은, 첫째 공리에서 말하는 [math(1)]이 대체 무엇이냐는 것이다. 페아노 공리계에선 [math(1)]이 무엇인지에 대해 아무런 설명을 하지 않고 그저 [math(1)]이라는 게 [math(\N)]의 원소라고 할 뿐이다. 반면, ZF 공리계를 기반으로 구성된 현대 집합론에서는 공집합 공리(axiom of empty set)에 의해 공집합의 존재성이 보장된다. 따라서 확실하게 존재하는 것을 시작으로 삼기 위해, 수 [math(0)]을 곧 공집합 [math(\varnothing)]로 정의한다. 즉, [math(0=\varnothing)]이다. 그리고 페아노 공리계에서의 successor(따름수) 역할을 하는 것을 집합론에도 그대로 가져와, 임의의 집합 [math(A)]에 대해 successor(따름집합) [math(A^+)]라는 것을 정의한다.[13]
집합론 초창기에 체르멜로는 [math(0=\varnothing)], [math(n^+=\{n\})] 이런 방식으로 정의하여 범자연수를 구성했었다. 그러나, 곧 폰 노이만이 등장하여 [math(0=\varnothing)], [math(n^+ = n\cup\{n\})]으로 정의하여 재구성했고, 이 정의가 체르멜로의 구성에 비해 갖는 몇 가지 큰 이점[14]이 있었기 때문에 오늘날 집합론에서 자연수 하면 폰 노이만식의 범자연수 구성을 대부분 떠올린다. 폰 노이만의 방식대로 하여, 우리가 아는 [math(0)], [math(1)], [math(2)], [math(3)], [math(\cdots)]과 같은 수를 [math(0=\varnothing)], [math(1=0^+)], [math(2=1^+)], [math(3=2^+)], [math(\cdots)]과 같이 정의한다. 즉, 무엇인지도 모르는 걸 시작으로 삼은 페아노 공리계 때와는 달리, [math(0)]과 자연수는 실제로 존재하는 대상으로부터 쌓아 올린 것이 되었다.
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한편, ZF 공리계 중 '범자연수들을 포함하는 집합이 존재한다'는 무한 공리(axiom of infinity)에 의해 범자연수 집합의 존재성이 보장된다.[15][16] 이제 범자연수 집합을 구성할 차례인데, 우리가 상식적으로 생각하는 바대로라면 범자연수 집합에는 원소가 오로지 [math(0)], [math(1)], [math(2)], [math(3)], [math(\cdots)]만 있어야 한다. 이외의 것을 원소로 가지는 집합을 원치 않는다. 따라서 (1) [math(0)]을 원소로 가지고 (2) [math(n)]이 원소라면 [math(n^+)]도 원소인, 이렇게 딱 두 가지 조건만 만족하는 집합을 범자연수 집합이라고 하고자 한다. 그러면 이 두 조건을 만족하는 모든 집합을 가지고 와서 교집합을 취하면, 딱 저 두 조건만 만족하는 집합이 된다. 이를 이용해서 범자연수 집합을 다음과 같이 구성할 수 있다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \N_0 = \bigcap_{\substack{0\in I \\ n\in I\Rightarrow n^+\in I}} I \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \N_0 = \{0, 1, 2, 3, \cdots\} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \N &= \N_0 \setminus \{0\} \\ &= \{1, 2, 3, \cdots\} \end{aligned} )] |
3.3.1. 페아노 공리계 증명하기
집합을 사용하여 범자연수를 정의한 이상, 페아노 공리계는 이제 더 이상 공리계가 아니라 증명 가능한 명제들의 묶음이 되었다. 비록 그 업적을 기리기 위해 명칭은 그대로 페아노 공리계라고 유지하지만 말이다. 이에 맞추어 페아노 공리계도 이제 기존의 [math(1)] 대신에 다음과 같이 [math(0)]을 사용한다.| 페아노 공리계 다음 성질들을 만족하는 집합 [math(\N_0)]을 가리켜 범자연수 집합이라고 한다.
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세 번째 명제는 이렇게 증명할 수 있다. [math(\N_0)]에 [math(0)]을 따름수로 갖는 어떤 원소 [math(k)]가 있다고 가정하자. 즉, [math(k^+ = 0 = \varnothing)]이 성립한다고 가정하자. 그러면 따름수의 정의에 의해 [math(k^+ = k\cup\{k\})]이므로, [math(k\in k^+)]이다. 하지만 가정에 의해 [math(k^+)]는 공집합이므로 원소를 가질 수 없으므로 이는 모순이다. 따라서 해당 가정은 틀린 가정이고, [math(0)]을 따름수로 갖는 원소는 [math(\N_0)]에 존재하지 않음을 알 수 있다.
네 번째 명제를 증명하기 위해 대우명제 [math(\forall m\in\N_0 \,\forall n\in\N_0, m\ne n \Rightarrow m^+\ne n^+)]를 생각해보자. 귀류법을 사용해서 증명하자. [math(m\ne n \Rightarrow m^+=n^+)]인 [math(m\in\N_0)], [math(n\in\N_0)]이 있다고 가정하고 모순을 이끌어내어 그런 [math(m)], [math(n)]은 없음을 확인하는 것이다.
따름수의 정의에 의하면 [math(m \in m^+ = m\cup\{m\})], [math(n \in n^+ = n\cup\{n\})]이고 가정에 의하면 [math(m^+=n^+)]이므로, 우리가 가정한 [math(m)], [math(n)]은 [math(m \in n\cup\{n\})]과 [math(n \in m\cup\{m\})]을 모두 만족해야 한다. 즉, 다음의 두 경우를 모두 만족해야 한다.
- [math(m \in n)] 또는 [math(m \in \{n\})]
- [math(n \in m)] 또는 [math(n \in \{m\})]
여기서 [math(m \in \{n\} \Rightarrow m = n)]인데, [math(m \ne n)]라는 가정에 의해 이는 있을 수 없는 경우이다. 마찬가지로 [math(n \in \{m\})]도 있을 수 없는 경우이다. 따라서 위 두 경우는 아래처럼 바뀐다.
- [math(m \in n)]
- [math(n \in m)]
앞선 문단의 말미에서 언급했듯이 폰 노이만식으로 구성한 자연수는 [math(\forall n\in\N_0, k\in n \Rightarrow k\subset n)]을 만족시키므로, 위의 두 조건은 각각 [math(m\subset n)], [math(n\subset m)]이 된다. 한편, 집합론에서는 외연 공리(axiom of extensionality)에 의해 두 집합이 서로의 부분집합이 될 때 이를 같다고 정의한다. 따라서 [math(m=n)]이다. 이는 가정에 모순되는 결과다.
결과적으로 [math(m\ne n \Rightarrow m^+=n^+)]인 [math(m)], [math(n)]이 존재한다는 가정에서 발생한 모순이므로 그러한 [math(m)], [math(n)]은 존재하지 않고, 따라서 [math(\forall m\in\N_0 \,\forall n\in\N_0, m\ne n \Rightarrow m^+\ne n^+)]이 성립한다. 이는 원래 명제의 대우명제였으므로, 원래 명제였던 [math(\forall m\in\N_0 \,\forall n\in\N_0, m^+=n^+ \Rightarrow m=n)] 또한 성립한다.
3.3.2. 재귀 정리
[math(\N_0)]에 대한 덧셈과 곱셈 등을 정의하기 전에, 지금까지 정의한 범자연수에 대해 연산을 정의할 수 있는지부터 확인해야 한다. 범자연수에서 연산이라는 게 정의될 수 있어야 덧셈과 곱셈이란 연산 등을 이어서 정의할 수 있기 때문이다. 예를 들어서 어떤 집합 [math(A)]와 적당한 원소 [math(a\in A)]와 적당한 함수 [math(F\!: A\to A)]가 있다고 하고, [math(g(0) = a)], [math(g(1) = F(g(0)))], [math(g(2) = F(g(1)))], [math(g(3) = F(g(2)))], [math(\cdots)]과 같은 식으로 함수 [math(g\!: \N_0\to A)]의 함숫값을 정해준다고 할 때, 이러한 함수 [math(g)]가 정말로 존재할 수 있냐는 얘기다. [math(0)], [math(1)], [math(2)], [math(3)] 등의 몇몇 사례에 대해 위와 같이 함숫값을 정의해줄 수 있다고 하더라도, 모든 자연수에 대해 똑같이 함숫값을 정의해줄 수 있는지는 모르는 일이다.바로 이때 필요한 것이 재귀 정리이다.
| 재귀 정리 집합 [math(A)]와 어떤 원소 [math(a\in A)]와 함수 [math(F\!: A\to A)]에 대해
|
재귀 정리를 증명하는 것은 그리 간단한 게 아니므로, 이 문서에서는 증명을 생략한다.[18] 이 재귀 정리와 재귀 함수를 사용하여 자연수에서의 덧셈과 곱셈 등을 정의할 수 있다.
3.4. 자연수의 덧셈
앞선 문단에서 소개한 재귀 정리에 의해, [math(m\in\N_0)]에 대해 다음을 만족하는 재귀 함수 [math(A_m\!: \N_0\to\N_0)]이 유일하게 존재한다.[19]- [math(A_m(0) = m)]
- [math(\forall n\in\N_0, A_m(n^+) = (A_m(n))^+)]
이렇게 정의된 덧셈은 [math(m)]에 따름수를 [math(n)]번 취하는 것과 같다는 것을 알 수 있다. 간단한 예시로, [math(1+1=2)]와 [math(5+3=8)]을 증명해보자. 별로 어렵지 않다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} 1+1 &= A_1(1) = A_1(0^+) = (A_1(0))^+ = (1)^+ = 2 \\ 5+3 &= A_5(3) \\ &= A_5(2^+) = [ A_5(2) ]^+ \\ &= [ A_5(1^+) ]^+ = [ \{ A_5(1) \}^+ ]^+ \\ &= [\{ A_5(0^+) \}^+]^+ = [\{ (A_5(0))^+ \}^+]^+ \\ &= [\{ (5)^+ \}^+]^+ = [\{6\}^+]^+ = [7]^+ = 8 \end{aligned} )] |
위의 정의를 사용하면 덧셈의 항등원, 덧셈의 교환법칙, 덧셈의 결합법칙을 이끌어낼 수 있다.
여담으로, 인터넷에 [math(1+1=2)]의 증명이 매우 어렵다며 수식이 가득한 증명이 돌아 다니는데, 이는 버트런드 러셀과 앨프리드 노스 화이트헤드의 Pricipia Mathematica에 나온 증명이다. 이때는 자연수를 정의하는 방법이 현재와는 달랐고, 그 당시를 기준으로 증명이 이루어졌기 때문에 상당히 복잡한 것이다. 자세한 내용은 논리주의 참고.
3.5. 자연수의 곱셈
곱셈도 비슷하게 정의된다. 재귀 정리에 의해, [math(m\in\N_0)]에 대해 다음을 만족하는 재귀 함수 [math(M_m\!: \N_0\to\N_0)]이 유일하게 존재한다.[20]- [math(M_m(0) = 0)]
- [math(\forall n\in\N_0, M_m(n^+) = m + M_m(n))]
곱셈을 이렇게 정의하면 [math(0)]에 [math(m)]을 [math(n)]번 더하는 것과 같다는 것을 알 수 있다. 간단한 예시로 [math(5\cdot3=15)]임을 증명해보자.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} 5\cdot3 &= M_5(3) = M_5(2^+) = 5 + M_5(2) \\ &= 5 + M_5(1^+) = 5 + \{5 + M_5(1)\} \\ &= 5 + \{5 + M_5(0^+)\} = 5 + \{5 + (5 + M_5(0))\} \\ &= 5 + \{5 + (5 + 0)\} = 5 + \{5 + 5\} = 5 + 10 = 15 \end{aligned} )] |
위의 정의를 사용하여 곱셈의 항등원, 곱셈의 교환법칙, 곱셈의 결합법칙, 덧셈과 곱셈 간의 분배법칙을 유도할 수 있다.
3.6. 자연수의 거듭제곱
마찬가지로 거듭제곱도 비슷하게 정의된다. 재귀 정리에 의해, [math(m\in\N_0)]에 대해 다음을 만족하는 재귀 함수 [math(P_m\!: \N_0\to\N_0)]이 유일하게 존재한다.[21]- [math(P_m(0) = 1)]
- [math(\forall n\in\N_0, P_m(n^+) = m \cdot P_m(n))]
거듭제곱을 이렇게 정의하면 [math(1)]에 [math(m)]을 [math(n)]번 곱하는 것과 같다는 것을 알 수 있다. 간단한 예시로 [math(5^3=125)]임을 증명해보자.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} 5^3 &= P_5(3) = P_5(2^+) = 5 \cdot P_5(2) \\ &= 5 \cdot P_5(1^+) = 5 \cdot \{5 \cdot P_5(1)\} \\ &= 5 \cdot \{5 \cdot P_5(0^+)\} = 5 \cdot \{5 \cdot (5 \cdot P_5(0))\} \\ &= 5 \cdot \{5 \cdot (5 \cdot 1)\} = 5 \cdot \{5 \cdot 5\} = 5 \cdot 25 = 125 \end{aligned} )] |
위의 정의를 사용하여 자연수 지수에 대한 지수법칙들을 이끌어낼 수 있다.
3.7. 하이퍼 연산
같은 논의를 계속 이어나가면 테트레이션 등을 비롯한 하이퍼 연산도 정의할 수 있다. 간단하게 테트레이션까지만 정의해보도록 하자.재귀 정리에 의해, [math(m\in\N_0)]에 대해 다음을 만족하는 재귀 함수 [math(T_m\!: \N_0\to\N_0)]이 유일하게 존재한다.[22]
- [math(T_m(0) = 1)]
- [math(\forall n\in\N_0, T_m(n^+) = m^{T_m(n)})]
테트레이션을 이렇게 정의하면 [math(m)]을 [math(n)]번 거듭제곱하는 것과 같다는 것을 알 수 있다. 간단한 예시로 [math(^32=2^{2^2}=2^4=16)]임을 증명해보자.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} ^32 &= T_2(3) = T_2(2^+) = 2^{T_2(2)} \\ &= 2^{T_2(1^+)} = 2^{2^{T_2(1)}} \\ &= 2^{2^{T_2(0^+)}} = 2^{2^{2^{T_2(0)}}} \\ &= 2^{2^{2^1}} = 2^{2^2} = 2^4 = 16 \end{aligned} )] |
3.8. 자연수의 대소 관계
마지막으로 대소 관계가 정의된다. 이건 좀 간단(?)하다. [math(1)]부터 시작되는 자연수 체계에서는 아래와 같다.두 자연수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 어떤 [math(c)]가 존재해 [math(a = b + c)]가 성립한다면, [math(a > b)]이다.
이 대소 관계를 이용해서, 집합의 모든 원소를 하나씩 순서대로 나열할 수 있게 된다. 좀 더 수학적인 표현을 쓰자면 전순서 집합(totally ordered set)이며 정렬 순서 집합(well-ordered set)이다.[math(0)]으로 시작하는 자연수 체계에서는 약간 조건이 추가돼서
두 자연수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 0이 아닌 어떤 [math(c)]가 존재해 [math(a = b + c)]가 성립한다면, [math(a > b)]이다.
또는 이것과 조금 다르게
두 자연수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 어떤 [math(c)]가 존재해 [math(a = b + c^+)]가 성립한다면, [math(a > b)]이다.
로 표기할 수 있으며, 이렇게도 표기할 수 있다.
두 자연수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 어떤 [math(c)]가 존재해 [math(a = b + c)]가 성립한다면, [math(a \ge b)]이다.
등호(=) 는 앞에서 정의됐기 때문에, [math(>)] 나 [math(\ge)] 하나만 정의돼도, 이를 조합해서 [math(>)], [math(\ge)], [math(<)], [math(\le)]를 만드는 것은 어렵지 않다.
3.9. 기타
이제 위에서 얻은 덧셈과 곱셈들을 대소 관계의 정의와 버무려 온갖 성질들을 다 얻을 수 있다. 물론 자연수 내에선 할 수 있는 게 좀 적긴 하다. 이때 자연수를 확장시켜 더 다양한 세계를, 예컨대 정수라든가 유리수, 그리고 실수까지 만들어낼 수 있다. 자세한 건 수 체계 참고.참고로, 페아노 공리는 자연수 집합이 무한집합이라는 걸 내포한다. 무한집합의 정의를 '자기 자신과 일대일 대응을 가질 수 있는 순부분집합을 갖는 집합'으로 한다면[23] 다음 수 함수가 [math(\N)]에서 [math(\N - \{1\})]로 가는 일대일대응임을 보이면 된다.[24]
3.9.1. 자연수 이상의 수 구성하기
이보다 더 커다란 장점은 자연수 이상의 수 역시 쉽게 표현이 가능하다는 점이다. 이 방법을 간단하게 응용하여 서수를 만들어 낼 수 있다.일반적으로 자연수 하면 [math(0, 1, 2, 3, \cdots < \infty)]까지만을 상상하고, Zermelo의 방식도 여기까지 가능하지만, 폰 노이만 방식에서는 [math(0, 1, 2, 3, \cdots, \N, \N+1=\N\cup\{\N\}, \N+2=\N+1\cup\{\N+1\}, \cdots, \N\cdot2, \cdots, \N\cdot\N=\N^2, \cdots, \N^3, \cdots)] 이런 식으로 끝없이 변태적으로 하늘을 뚫고 마구 나아간다. 이런 식으로 나아가는 수를 서수(ordinal number)라 한다.
서수의 엄밀한 정의는 다음과 같은 초한 귀납법(transfinite induction)을 이용하여 이루어진다. 우선 다음 수(successor)를 이용해 [math(0, 1=0^+, 2=1^+, 3=2^+, \cdots)] 등을 정의한다. 이게 끝이 안 날 것 같으면 이제까지 서수를 모두 모은 극한(limit)을 생각해, [math(\N = \{0, 1, 2, 3, \cdots\})] 을 만든다. 다시 다음 수를 이용해 [math(\N+1)], [math(\N+2)], [math(\cdots)]을 만들고, 극한 [math(\N+\N = \{0, 1, 2, 3, \cdots, \N, \N+1, \N+2, \N+3, \cdots\})]을 만들고, ..., 이렇게 [math(\N, \N\cdot2, \N\cdot3, \cdots)]의 극한 [math(\N\cdot\N = \{0, 1, \cdots, \N, \N+1, \cdots, \N\cdot2, \N\cdot2+1, \cdots, \N\cdot3, \N\cdot3+1, \cdots\}, \cdots)] 이런 식으로 [math(\N^\N)], 나아가서 [math(\N^{\N^{\N^\cdots}})]까지도 만들 수 있다. 이 과정은 [math(\N^{\N^{\N^\cdots}})]의 극한 [math(\epsilon_0)]까지 이어진다. (이때 [math(\epsilon_0 = \N^{\epsilon_0})]이다) 그러나 이렇게 극한까지 도달한 [math(\epsilon_0)]조차도 '셀 수 있는' 크기를 가지므로, 이보다 비교할 수 없이 큰 집합도 무한히 많이 존재한다. 보통 수리논리학에서 서수를 말할 때는 [math(\N)]보다 [math(\omega)]라는 기호를 사용하는데, 이들 모든 가산 순서수들의 집합 또한 생각할 수 있으며 그 집합을 [math(\omega_1)]이라고 표기한다. 이는 가장 작은 비가산 무한 순서수이며, 당연히 [math(\epsilon_0)]보다 무한히 크다. 보다 세련된 서수의 정의는 정렬성(well-ordering)[25]이 성립하는 순서집합(ordered set)으로 정의하고, 이 중 유한한 서수만을 자연수로 생각하는 것이지만, 물론 그 서수의 존재성은 폰 노이만의 구성에 의해 보장된다.
4. 실전에서 자주 쓰게 되는 자연수의 성질
비록 자연수의 정의 정립이 개념적으로는 중요하지만, 막상 실전에서는 상단에 서술한 정확한 정의까지 가야 할 경우는 드물다. 엄밀한 증명을 하는 수학전공자들도 기본적인 사칙연산의 성질에 더해, 다음의 두 가지 성질 정도만 사실상의 공리로 받아들이고 시작하는 편이 대부분이다.- 정렬 원리(well-ordering principle)
공집합이 아닌 자연수의 부분집합은 항상 최소원을 갖는다.[26]라는 부분집합을 잡으면 최소원이 없게 된다.]
자연수(양의 정수)의 부분집합 [math(A)]가 두 성질 (1) [math(1 \in A)] (2) [math(n \in A \Rightarrow (n+1) \in A)]을 만족한다면, [math(A)]는 자연수 집합 전체가 돼야 한다.
대개의 정수론 및 대수학 교재에서는 이 둘을 기반으로 해서, 나눗셈 정리부터 시작해서 산술의 기본정리, 최대공약수 등등 정수론의 주요 정리들을 따라가게 된다. 여러 자연수의 성질들은 이들을 주로 탐구하는 정수론과 관련해서 다양하게 찾아볼 수 있다.
5. 기타
자연수는 인류 역사상 어디서나 매우 자연스럽게 여겨졌지만[27], 이에 단순히 음부호만 붙인 음수 (혹은 음의 정수), 심지어 0을 받아들이는 데에도 훨씬 많은 시간이 걸렸다.피타고라스 학파가 모든 만물은 자연수(와 그 비인 양의 유리수)로 이루어져 있다고 믿다가 무리수인 '2의 제곱근'을 만나 당황한 것은 잘 알려진 이야기.
6. 제목이 자연수로만 된 문서
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- 8492 - 에이스 컴뱃 5의 미션
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7. 자연수의 집합에 대하여 닫혀 있는 연산
대해 닫혀 있다.[1] Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. 'ganzen Zahlen'(영어로 직역하면 'whole number'에 가까움)을 크로네커가 어떤 의미로 사용했는지는 논란이 남아 있으며#, 영어로 '정수' 대신 '자연수'라고 인용될 때도 있다.[2] 유럽에서는 [math(0)]을 하나의 수로 인정하는 데에 16세기나 걸렸음에 유의하자. 자세한 내용은 아래의 어원과 역사 문단 참고.[3] 물론, [math(0)]을 포함한다고 해서 모노이드 구조가 곱셈의 역원은 물론 덧셈의 역원조차 없다는 설움이 어디 가진 않지만.[4] 정확히는 기수(cardinality)라고 한다. 특히, 무한집합에 대해서는 초한기수라고 한다.[5] 참고로 페아노 공리계에선, [math(1)]이 무엇인지에 대한 아무런 설명과 정의가 없다.[6] 상당수의 프로그래밍 언어에서 ++로 표기하는 그 연산자다.[7] 따름수는 '사실상' [math(+1)] 이라고 생각해도 되고, 그렇게 생각하는 편이 직관적으로 이해하기 쉽다. 굳이 [math(+1)]이 아니더라도 적당한 '[math(\N)]에서 [math(\N)]으로 가는 함수'면 어느 것이든 상관없다.[8] '특정 따름수를 가지는 수는 유일하다'와 동치이다.[9] 컴퓨터과학에서는 unsigned integer라는 표현을 쓴다. 말 그대로 '부호가 없는 정수'.[10] 애초에 이름이 '공리'라는 것부터 그 한계를 짐작할 수 있다.[11] 예를 들어, 1의 따름수는 3이고, 3의 따름수는 2이고, 2의 따름수는 4라고 정의된 수열이라도 페아노 공리계의 조건을 만족한다. 하지만 알다시피 이 수열은 우리의 상식과는 거리가 멀다.[12] 만약 자연스럽지 않고, 생각도 못한 집합이거나 한다고 하면 이 집합은 아무런 쓸모가 없는 것이다.[13] 다음 문단에서 설명하겠다시피 [math(0)]과 자연수도 이제는 집합으로 정의되므로, 앞으로는 문맥에 따라 따름수와 따름집합이라는 용어를 혼용해서 사용할 것이다. 어차피 영문으로는 둘 다 똑같이 successor라고 쓴다.[14] 예를 들어, 폰 노이만의 정의에서는 [math(0)]은 물론 자연수 자체가 일종의 서수(ordinal)가 된다.[15] 이 공리가 필요한 이유는, 공리적 집합론(axiomatic set theory)의 관점에서 보면 대상을 모았다고 무조건 집합으로 생각될 수 없기 때문이다. 아주 간단히 말하자면, 공리적 집합론에서는 대상을 모은 것을 '모임(class)'이라 하고, 이 모임이 다른 모임의 원소가 될 때만 '집합(set)'으로 불린다. 그리고 집합에 대해서만 우리가 생각하는 수학을 전개하게 된다. 이렇게 하는 이유는 모든 모임을, 말 그대로 묻지도 따지지도 않고 우리가 생각할 수 있는 모든 모임을 집합으로 인정한다면, 러셀의 역설 같은 안 좋은 일들이 일어나기 때문.[16] 공리로 보장된 것만 집합으로 인정하는 공리적 집합론의 이러한 관점에서는, 자연수 전체의 모임이 집합이 될 수 있는지를 이렇게 공리로 보장해 주지 않으면 무한집합 자체를 생각할 수가 없는 상황이 되어 버린다.[17] [math(0)]의 경우에도 참이다. 왜냐하면 [math(0)]보다 작은 범자연수는 없으므로 [math(0)]은 원소를 가지지 않아야 하고, 원소를 가지지 않는 집합은 공집합뿐인데 [math(0)]이 곧 공집합이기 때문이다.[18] 증명은 여기(영문)를 참고하라.[19] [math(A_m)]의 A는 덧셈을 의미하는 addition에서 따왔다.[20] [math(M_m)]의 M은 곱셈을 의미하는 multiplication에서 따왔다.[21] [math(P_m)]의 P은 거듭제곱을 의미하는 power 따왔다.[22] [math(T_m)]의 T는 테트레이션 tetration에서 따왔다.[23] 무한집합의 정의는 이것 말고도 또 있다. 이는 자연수 집합을 직접 이용하는 방법이 있는데, 이에 대해선 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.[24] 어려운 부분은 다음 수 함수가 전사함수임을 보이는 것이다. 먼저 자연수 집합의 부분집합 [math(A)]를 다음과 같이 정의한다: [math(A)]는 일단 [math(1)]을 포함하며, 그리고 자신이 어떤 다른 원소의 다음 수인 모든 자연수들을 포함한다고 하자. 그러면 만약 [math(n)]이 [math(A)]에 포함된다면, [math(n^+)]가 [math(n)]의 다음 수이므로 [math(A)]에 포함되고, 이는 맨 처음 [math(A)]가 [math(1)]을 포함한다는 조건과 함께 다섯 번째 공리의 조건과 일치하게 된다. 따라서[math(A = \N)]이고, 여기서 잠깐 쓰였던 [math(1)]을 갖다 버리면(...) [math(1)]을 뺀 나머지 모든 자연수들에 대하여 자신을 다음 수로 갖는 자연수가 존재함을 밝힐 수 있다.[25] 공집합이 아닌 임의의 부분집합에 대해 최소원이 존재한다는 성질로 자연수 집합은 이 성질을 가진다.[26] 자연수의 부분집합이라는 부분이 중요한 이유는 실수나 유리수의 부분집합을 예시로 들 경우, 먼저 상한만을 갖는 집합을 따져서 [math((-\infty, 0] \cap \mathbb{R, Q})[27] 당장 수사라는 품사가 전부 자연수로 이뤄져 있다.
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