최근 수정 시각 : 2023-07-24 20:48:09

E 표기법


수와 연산
Numbers and Operations
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[math(\small \begin{array}{c}
E\underbrace{100\#100\#100\#100\# \cdots \cdots \cdots \cdots \#100\#100\#100\#100} ~~(100)\\
E\underbrace{100\#100\#100\#100\# \cdots \cdots \cdots \#100\#100\#100\#100} ~~(99)\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\vdots\\
E\underbrace{100\#100\# \cdots \cdots \cdots \#100\#100} ~~(2)\\
E\underbrace{100\#100\# \cdots \#100\#100} ~~(1)\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!100
\end{array})]
Graatagold ([math(\textrm E100\#\#100\#100)])의 E 표기법 시각화

1. 개요2. 하이퍼-E 표기법
2.1. 규칙2.2. 예시
3. 확장 하이퍼-E 표기법
3.1. 규칙3.2. 예시
4. 연쇄-E 표기법
4.1. 규칙4.2. 예시
5. 확장 연쇄-E 표기법
5.1. 규칙5.2. 예시
6. 하이퍼 연쇄-E 표기법
6.1. 규칙6.2. 예시
7. 그 이상?

1. 개요

E 표기법(E notation)은 2008년 One to Infinity, A guide to the finite라는 웹사이트에서 Sbiis saibian이 정의한 큰 수의 표기법 중 하나이다. 기본적으로 E 표기법은 [math(10^n)]의 형태로 표기하기 때문에 과학적 기수법과의 연계가 가능하다는 점과 쉽고 간단한 규칙 덕에 FGH, BEAF와 함께 큰 수를 근사하는 데에 자주 쓰인다.

2. 하이퍼-E 표기법

2.1. 규칙

\1. [math(\textrm E[b]x = b^x)]
2. [math(\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}...\#{a_n}\#1 = E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}...\#{a_n})]
3. [math(\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}...\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{a_n} =\\\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}...\#{a_{n-2}}\#(\textrm E[b]{a_1}\#{a_2}\#{a_3}...\#{a_{n-2}}\#{a_{n-1}}\#{(a_n-1)}))]

이때 [math(\textrm E[10]x)]인 경우 [math(\textrm Ex)]로 축약하여 나타낼 수 있다.

2.2. 예시

  • [math(\textrm E100\#2=\text{E}(\text{E}100\#1)=\text{E}(\text{E}100)=\text{E}{10^{100}}=)][math(10^{10^{100}})]
  • [math(\text{E}100\#100=\underbrace{\text{EEE...E}}_{100}100=\underbrace{10^{10^{10^{ ^{.^{.^{10^{100}}}}}}}}_{100})][1]
  • [math(\text{E}100\#100\#2=\text{E}100\#(\text{E}100\#100)=\underbrace{10^{10^{10^{ ^{.^{.^{10^{100}}}}}}}}_{\underbrace{10^{10^{10^{ ^{.^{.^{10^{100}}}}}}}}_{100}})][2]
  • [math(\textrm E100\#100\#100\approx 100 \uparrow\uparrow\uparrow 101)][3]
#이 뒤에 추가될 때마다 화살표 개수를 늘리는 것과 비슷한 효과가 있다.

3. 확장 하이퍼-E 표기법

3.1. 규칙

\1. [math(\textrm E[b]x = b^x)]
2. [math(E[b] @ \#^{h(n-1)}{a_n}\#^{h(n)}1 = E[b] @ \#^{h(n-1)}{a_n})]
3. [math(h(n-1)>1)]이라면, [math(E(b) @ \#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#^{h(n-1)}{a_n} = E[b] @ \#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#^{h(n-1)-1}{a_{n-1}}\#^{h(n-1)}{a_n-1})]
4. [math(E[b] @ \#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#{a_n} = E[b] @ \#^{h(n-2)}(E[b] @ \#^{h(n-2)}{a_{n-1}}\#{a_n-1}))]
복잡해 보이지만 [math(\underbrace{a\#a\#a...\#a}_{b}=a\#\#b)]같은 규칙들을 단순화하여 나타낸 것이다.

3.2. 예시

  • gugold: [math(\text{E}100\#\#100=\text{E}\underbrace{100\#100\#...\#100}_{100}\approx100 \uparrow^{100} 101\approx f_{101}(100))]
  • 그레이엄 수: [math(\approx \text{E}[3]3\#\#4\#64)]
  • graatagold: [math(\text{E}100\#\#100\#100=\underbrace{\text{E}100\#\#(\text{E}100\#\#(...(\text{E}100\#\#100)...))}_{100} \approx \{100,101,1,2\}\approx f_{\omega+1}(100) \approx G(100))]
  • throogol: [math(\text{E}100\#\#\#100=\underbrace{\text{E}100\#\#100\#\#...\#\#100\#\#100}_{100}\approx \{100, 101, 99, 99\}\approx f_{\omega^2}(100))][4]
  • 2 이상의 n에 대해 [math(\text{E}a\#^nb\approx f_{\omega^{n-1}}(b))]와 비슷하다.

4. 연쇄-E 표기법

4.1. 규칙

E^를 이용한 표기법이라고도 하며Ea#^#b=Ea##..##a(b개의 #)으로 표현할 수 있다. 이때 [math(\#^X*\#^X...\#^X*\#^X)]처럼 표현할 수 있는데 이런 표기법을 연쇄 E 표기, 각각의 [math(\#^X)]를 연쇄자라고 한다. X는 정수가 될 수도 있지만 그 자체를 연쇄 E 표기로 나타낼 수도 있다. 구체적인 규칙은 다음과 같다.

\1. [math(E[a]b=a^b)]

2. 마지막 연쇄자가 [math(\#^n)](n은 정수) 형태가 아니라면 [math(E[a]b@X\#^{X\#^n}@c =E[a]b@X\#{({X\#^{n-1}})^b}@b)]

3. 마지막 변수가 1이면 제거한다. [math(E@a\#^n1=E@a)]

4. 임의의 연쇄 표기에 대하여 마지막 연쇄자가 [math(\#^n)] 꼴이고, k번째 연쇄자가 #이 아니라면 [math(E@aX\#^nb=E@aX\#^{n-1}aX\#^n(b-1))]

5. 1~4에 해당되지 않는 경우 [math(E@a\#b=E@(E@a\#b-1))]

4.2. 예시

  • godgahlah: [math(\text{E}100\#)]^[math(\#100=\text{E}\underbrace{100\#\#...\#100}_{100}\approx \{100, 101(1)2\}\approx f_{\omega^{99}}(100))]
  • grandgahlah: [math(\text{E}100\#)]^[math(\#100\#100=\text{E}100\#)]^[math(\#\text{E}100\#)]^[math(\#)]...[math(\text{E}100\#)]^[math(\#100)](100회 반복) [math(\approx \{100, 100, 2(1)2\} \approx f_{\omega^\omega+1}(100))]
  • gotrigahlah: [math(\text{E}100\#)]^[math(\#100\#)]^[math(\#100=\text{E}\#)]^[math(\#100\underbrace{\#\#...\#}_{100}100 \approx \{100, 101(1)3\} \approx f_{\omega^\omega2}(100))]
  • godgoldgahlah: [math(\text{E}100\#)]^[math(\#*\#100=\text{E}100\#)]^[math(\#100\#)]^[math(\#100)]...[math(100\#)]^[math(\#100)](100회 반복) [math(\approx \{100, 100(1)100\} \approx f_{\omega^{\omega+1}}(100))]
  • gridgahlah: [math(\text{E}100\#)]^[math(\#\#100=\text{E}100\#)]^[math(\#*\#)]^[math(\#*)]...[math(*\#)]^[math(\#*\#100)](100회 반복) [math(\approx \{100, 100(2)2\} \approx f_ {\omega^{\omega99+99}}(100))]
  • godgathor: [math(\text{E}100\#)]^[math(\#)]^[math(\#100=\text{E}\#)]^[math(\underbrace{\#\#...\#}_{100}100 \approx \{100, 100(100)2\} \approx f_{\omega^{\omega^\omega}}(100) )]

5. 확장 연쇄-E 표기법

5.1. 규칙

기본적인 규칙은 연쇄 E-표기법과 동일하다. 한편 Ea#^#^#..#^#a가 b번 반복된 것을 Ea##b처럼 나타낼 수도 있고, 나아가 Ea#{{{^}}}#b는 Ea#^^#^^#...#^^#a(b번 반복) 등으로 쓸 수 있다. 이를 일반화하여 ^가 n개인 것을 Ea#{n}#b를로 표현할 수 있다. 이 단계부터는 fgh로 엡실론 단계에서 베블런 함수 단계까지 성장할 수 있다.

5.2. 예시

  • tethrathoth: [math(\text{E}100\#)]^^[math(\#100=\text{E}100\#)]^[math(\#)]^[math(\#)]...[math(\#)]^[math(\#100)](100회 반복) [math(\approx f_{\epsilon_{0}}(100))][5]
  • tethrafact: [math(\text{E}100(\#)]^^[math(\#))]^[math(\#100=\text{E}100\#)]^^[math(\#*\#)]^^[math(\#)]...[math(\#*\#)]^^[math(\#100)](100회 반복) [math(\approx f_{\epsilon_{0}^\omega}(100))]
  • monster-giant: [math(\text{E}100(\#)]^^[math(\#))]^[math((\#)]^^[math(\#))]^[math(\#100=\text{E}100(\#)]^^[math(\#))]^^[math((\#)]^^[math(\#*\#)]^^[math(\#)]...[math(\#)]^^[math(\#100))](100회 반복) [math(\approx f_{\epsilon_{0}^{{\epsilon_{0}}^\omega}}(100))]
  • terrible tethrathoth: [math(\text{E}100(\#)]^^[math(\#))]^^[math(\#100=\text{E}100(\#)]^^[math(\#))]^[math((\#)]^^[math(\#))]...[math((\#)]^^[math(\#)100)](100회 반복) [math(\approx f_{\epsilon_{1}}(100))]
  • tethriterator 혹은 tethrathoth ba'al: [math(\text{E}100\#)]^^[math(\#>\#100=\text{E}100(...(\#)]^^[math(\#))]^^[math(\#))]...[math())]^^[math(\#100)](100회 반복) [math(\approx f_{\epsilon_{99}}(100))]
  • tethracross: [math(\text{E}100\#)]^^[math(\#\#100=\text{E}100\#)]^^[math(\#>\#)]^^[math(\#>)]...[math(\#)]^^[math(\#100)](100회 반복) [math(\approx f_{\zeta_{0}}(100))][6]
  • pentacthulhum: [math(\text{E}100\#)]^^^[math(\#100=\text{E}100\#)]^^[math(\#)]^^[math(\#)]...[math(\#)]^^[math(\#100)](100회 반복)[7][8]
  • godsgodgulus: [math(\text{E}100\#\{100\}\#=\text{E}100\#)]^^...^[math(\#100)](^가 100개)-하이퍼 확장 연쇄 E표기법으로 넘어가면 [math(\text{E}100\#\{\#\}\#100)]으로도 쓸 수 있다. [9]


6. 하이퍼 연쇄-E 표기법

6.1. 규칙

\1. @{#}#[n]=@#...#(n회 반복)
2. @{a+#}#[n]=@{a+n}#
3. @{a*#}#[n]=@{a+a*#}[n-1](단, n은 2 이상)
4. {}안에 대하여 #에 대한 배열로 표기할 수 있다. {#, #, 1, 2}는 #, #{#}#, #{#{#}#}#...의 극한값이다.

6.2. 예시

  • godsgodeus: [math(\text{E}100\#\{\#+\#\}\#100=\text{E}100\#\{100+\#\}\#100 \approx f_{\phi(\omega2, 0, 0)}(100))]
  • the centurion: [math(\text{E}100\#\{\#)]^[math(\#\}\#100=\text{E}100\#\{\underbrace{\#\#...\#\#}_{100}\}\#100 \approx f_{\phi(\omega^\omega, 0, 0)}(100))]
  • blasphemorgulus: [math(\text{E}100\{\#, \#, 1, 2\}100=\text{E}100\underbrace{\{\#\{\#\{...\}\#\}\#\}}_{100}100 \approx f_{\phi(1, 0, 0, 0)}(100))][10]

7. 그 이상?

현재 E 표기법의 제작자가 BEAF와 비슷한 형태로 하이퍼 연쇄-E 표기법을 확장으로 만든 규칙이 존재하기는 하며, 작은 베블런 함수까지 성장할 수 있다. 그러나, 명확히 정의되지 않았기 때문에 현재 E-표기법으로 정의된 가장 큰 수는 blasphemorgulus 및 그 파생 수로 본다.
[1] grangol이라고 하며, 커누스 윗화살표 표기법으로는 10↑↑101보다 약간 크며, fgh로는 [math(f_{3}(100))]에 근사한다.[2] grangoldex라고 하며, 커누스 윗화살표 표기법으로는 57↑↑(57↑↑101)과 58↑↑(58↑↑101) 사이이며, fgh로는 [math(f_{3}^2(100))]과 [math(f_{3}^2(101))] 사이이다.[3] greagol이라 하며, [math(f_{4}(100))]에 근사한다.[4] third googol의 줄임말이다. troogol(BEAF로 정확히 {10, 10, 10, 100})과 이름이 비슷하지만 엄연히 다른 수이다. 실제로 이 둘은 비슷한 크기이며(fgh로도 똑같이 근사되나 실제로는 troogol이 약간 더 크다) 둘다 구골과 3을 의미하는 접두사를 합성하여 만들어진 수이다.[5] tetration과 이집트 수학의 신 thoth의 합성어이다. 여기서부터는 BEAF로는 배열 표기법을 이용하지 않는 이상 표현하기 까다로운데, X↑↑99&100에 근사한다. 배열 표기법을 사용하지 않으면 50회 중첩된 다중 초차원 배열을 이용해 나타낼 수 있다.[6] tetracross 이후 마지막 연쇄자의 #이 n개 있으면 fgh로는 [math(f_{\phi(n+1, 0)}(100))]과 같아진다.[7] pentation과 Cthulhu의 합성어로, BEAF로는 {X, X, 1, 2}&100 혹은 {X, X, 3}&100에, fgh로는 [math(f_{\Gamma_{0}}(99))]에 근사한다.[8] pentacthulhum 이후 ^가 3 이상의 자연수 n에 대해 성장률은 [math(\phi(n-2, 0, 0))]이다.[9] godsgodgulus라 하며, BEAF로는 {X, X, X)&100에, fgh로 [math(f_{\phi(98, 0, 0)}(99))]에 근사한다.[10] 현재까지 E 표기법으로 명확하게 정의된 가장 큰 수로, 이 이상의 수는 모두 blasphemorgulus의 파생 수이다.

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