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1. 개요
곱의 기호(product notation)는 수열의 곱을 나타내는 기호이다.수열 [math(\{a_{n}\})]에 대하여
[math(\displaystyle\prod_{k=1}^na_k=a_1a_2a_3\cdots a_n)]
과 같이 표기할 수 있으며, 이와 같이 사용되는 기호 [math(\Pi)]를 곱의 기호라고 한다. 이 [math(\Pi)]는 곱을 뜻하는 영단어 product의 첫 글자 p에 대응하는 그리스 문자 Π(pi)이다. 원주율을 나타내는 [math(\pi)]의 대문자이다.
2. 성질
합의 기호가 덧셈, 뺄셈을 따로 떼고, 상수배를 밖으로 빼낼 수 있는 선형성의 성질이 있다면, 곱의 기호는 곱셈과 나눗셈을 따로 뗄 수 있다는 성질이 있다.- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_{k} = 0 \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} {\bold 1}_{\{0\}}(a_{k}) > 0 )]
- 쉽게 말하면 어떤 수들을 모두 곱한 결과가 [math(0)]이라면 그 수들 중 적어도 하나가 [math(0)]이라는 뜻이다. [math({\bold 1}_{\{0\}})]는 독립변수가 [math(0)]인지를 판별하는 지시함수이다.
- [math( \displaystyle \arg{ \biggl[ \prod_{k=1}^{n} a_{k} \biggr]}=\sum_{k=1}^{n} \arg{ a_{k} } )]
- 쉽게 말하면 곱하는 수 가운데 음수가 홀수개면 음수, 없거나 짝수개면 양수라는 뜻이다. 양수는 편각이 0, 음수는 편각이 [math(\pi)]이므로. 위 식은 이 개념을 모든 복소수로 일반화한 것이다. 복소평면, 극형식 문서 참고.
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_{k} = \operatorname{cis} \biggl[ \sum_{k=1}^{n} \arg a_{k} \biggr] \prod_{k=1}^{n} \sqrt{a_{k} \overline{a_{k}}} )] (단, [math(operatorname{cis}(x) = cos x + i sin x)])
- 위의 편각에 관련된 성질에서 바로 유도된다. 쉽게 말해, 곱하는 수의 부호와 절댓값을 분리할 수 있다. 이를 극분해(極分解, polar decomposition)라고 한다. 이 성질은 곱하는 수가 많을 경우 노가다를 줄이기 위해 유용하게 써먹을 수 있는데, 실수와는 달리 복소수의 곱은 다항식의 곱 꼴이라 계산할 양이 실수의 4배나 된다. 특히 여러 수를 한꺼번에 곱할 때 부호(=편각)를 헷갈리는 경우가 자못 많아 더욱 그렇다.
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^n \frac{1}{a_{k}}=\frac{1}{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}a_{k}}\quad(a_k\neq0\;\forall k) )]
- [math( \displaystyle \frac{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}a_{k} }{\displaystyle \prod_{k=1}^{m-1}a_{k} }=\prod_{k=m}^{n}a_{k} \quad(\,a_1,\,\cdots,\,a_{m-1}\neq0,\,m\leq n) )]
- [math( \displaystyle \frac{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}a_{k} }{\displaystyle \prod_{k=1}^{n}b_{k} }=\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{b_{k}} \quad(b_k\neq0\;\forall k) )]
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} c=c^{n} \quad )](단, [math(c)]는 상수)
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} ca_{k}=c^{n} \prod_{k=1}^{n} a_{k}\quad)](단, [math(c)]는 상수)
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} = \prod_{k=1}^{n} a_{k}\prod_{k=1}^{n} b_{k} )]
- [math( \displaystyle \ln{ \biggl[ \prod_{k=1}^{n} a_{k} \biggr]}=\sum_{k=1}^{n} \ln{ a_{k} }\quad(a_k>0\;\forall k) )][1]
- 형태에서 볼 수 있듯 위의 편각과 관련된 성질과도 밀접하다. 편각은 역삼각함수로 구하며, 역삼각함수는 다시 복소로그함수로 나타낼 수 있기 때문.
- [math((x-x_i))]들의 곱의 형태인 다항함수의 성질을 증명할 때도 자연로그가 요긴하게 쓰인다. 다항함수/공식 문서의 4.3문단의 증명(로그 미분) 참고.
- [math( \displaystyle \left[\prod_{k=1}^{n} a_{k} \right]^{t} = \prod_{k=1}^{n} {a_{k}}^{t} )]
- [math( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} x^{a_{k}} = x^{\sum_{k=1}^{n}a_{k}})]
- [math( \displaystyle \prod_{\emptyset} a_{k} = 1)]
- 이를 공곱(empty product)이라고 한다. 아무것도 곱하지 아니한 것을 일원(一元), 즉 곱셈의 항등원으로 갈음하는 것.
3. 무한곱
수열의 합에서 급수를 생각하듯, 곱의 기호에서도 무한곱을 생각할 수 있다.[math( \begin{aligned} \prod_{k=1}^{\infty} a_{k} = \lim_{n\to \infty}\prod_{k=1}^{n}a_{k} \end{aligned})]
무한곱의 예로 감마 함수의 역수를 정의하는 방법의 하나인 바이어슈트라스 분해 정리(Weierstraßscher Produktsatz)가 있다.
| [math(\displaystyle \frac1{\Gamma(z)}=e^{\gamma z}z \prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac zn\right)e^{-z/n})] |
무한곱도 무한합처럼 집합론의 언어를 빌려 특정 집합의 원소를 모두 곱하는 방식으로 표기할 수 있다. 아래 식에서 [math(\mathbb P)]는 소수의 집합을 뜻한다.
[math(\displaystyle \zeta(s) = \prod_{p\,\in\,\mathbb P} \frac{p^s}{p^s-1} )]
4. 쌍대곱
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를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[쌍대곱#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[쌍대곱#|]] 부분을}}}곱하는 대상의 대응되는 짝을 곱하는 연산. 기호는 곱의 기호를 뒤집은 [math(\amalg)]를 쓴다.
5. 곱의 미분 및 적분
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를#!if 문단 != null & 앵커 == null
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의 [[곱미분#|]] 부분을}}}#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
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의 [[부분적분#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[부분적분#|]] 부분을}}}합의 기호와는 달리 미적분 시 주의하여야 한다. 합의 미적분은 미분의 합이지만, 곱의 미적분은 단순히 미적분 결과값의 곱이 아니기 때문이다. 일반적으로 곱미분은 합의 미분보다 훨씬 복잡하고 다루기 까다로워지며, 곱의 적분은 부분적분을 이용해야 한다.