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1. 개요
進法 / positional numeral systems숫자[1]를 이용해 수를 셀 때, 자릿수가 올라가는 단위를 기준으로 하는 셈법의 총칭이다. '위치기수법(positional numeral systems)'이라고도 한다.
2. 특정 진법에서만 해당되는 수의 분류
약수의 합에 따른 자연수의 분류[2], 피보나치 수, 정n각수, n제곱수, 친화수, 부부수, 사교수, 소수, 합성수, 약수의 개수가 n인 자연수, 소인수의 개수가 n인 자연수, 각 소인수의 지수의 총합이 n인 자연수, 제곱인수가 없는 정수, 불가촉 수, 반완전수, 괴짜수, 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 n가지인 수나 n가지의 방법으로 표현할 수 있는 가장 작은 수, n가지의 방법으로 표현할 수 있는 수의 개수, 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 n가지일 때, 그 서로 다른 n가지 방법을 모두 썼을 때 사용되는 소수의 개수, 어떤 자연수의 모든 진약수의 합으로 나타내는 방법이 n가지인 자연수나 n가지의 방법으로 나타낼 수 있는 가장 작은 수 등과 같은 수의 분류는 각각의 수의 특징에 따른 것이므로 진법에 전혀 관계 없이 항상 그대로이다.반면, 카프리카 수[3], 대칭수[4], 하샤드 수[5], 자기동형수[6] 등등의 경우는, 자릿수의 관한 수의 분류이므로 어느 진법을 기준으로 했는지에 따라 될 수 있는 수가 달라진다. 십진법에서는 해당 되었더라도, 다른 기수법 에서의 경우로는 자릿수가 달라 해당되지 않을 수도 있다. [7]
특히 자릿수에 관련된 소수의 분류에서도 재배열 가능 소수나 왼편•오른편•양편 절단 가능 소수 및 양면 소수, 수소[8], 단위 반복 소수[9][10], 치환 가능 소수[11] 등등은 대부분 십진법을 기준으로 한 소수의 분류라서 '10진법에서' 라는 말이 안 쓰여있지만, 기수법을 바꾸면 위에 있는 해당 자릿수와 관련된 소수의 분류에 속하는 소수의 목록이 바뀌게 된다. 특히 왼편·오른편·양편 절단 가능 소수 및 양면 소수는 개수가 한정되어있다는 특성상 10진법에서의 경우만 생각하다보니 그냥 '총 몇 개가 있다' 이런 식으로 서술되어있으나 기수법을 십진법이 아닌 다른 기수법으로 바꿔서 생각할 경우에는 결과가 달라질 수 있다. 다시 말해 그 기수법에서의 절단 가능 소수의 개수 및 가장 큰 절단 가능 소수가 달라질 수가 있단 이야기다.
무리수는 진법을 바꿔 표현해도 무리수이다. 유리수가 되지 않는다.
따라서 '우주의 언어'로 가장 유력한 후보[12] 중 하나인 수학도 외계 문명이 전혀 다른 기수법을 사용한다면 통하지 않는 정리, 법칙들이 다수 있을 수 있다는 것을 의미한다.
3. 양수 진법
일반적으로는 10진법을 주로 사용하며, 시계는 12진법과 60진법의 조합, 컴퓨터는 2진법과 16진법[13] 또는 3진법 등이 이용된다. 또한 암호학에서는 26진수가 사용되기도 한다.고대 메소포타미아가 60진법을 사용하였다고 하는데, 이는 천문학에 뛰어나서 일찍부터 1년이 약 360일이라는 것을 발견하고 이를 효과적으로 나타낼 수 있는 진법이 60진법이므로 60진법을 사용했다는 설이 유력하다. 12진법은 약수로 2, 3, 4, 6을 가져 매우 다양하게 나눌 수 있지만 5가 없어서, 5를 추가하여 60진법을 만들면 큰 숫자를 2, 3, 4, 5, 6으로 다양하게 나눌 수 있기 때문이다. 즉, 하루나 1년을 원하는 갯수로 분할해서 정수로 표기하는 게 가능하다. 또 마야 문명에서는 20진법이 사용되었다고 한다.
유럽권에서는 20진법이 흔하게 사용되었다. 영어와 독일어 등에서 11~19까지의 단어가 20 이상의 숫자처럼 10+1의 자리 숫자로 구성되지 않고 별도의 이름이 있는 것도 그 잔재이다. 프랑스에서는 40이나 60은 그대로 40과 60으로 읽는 것에 반해 80만큼은 특이하게도 [math(4\times20)]으로 읽는 관습이 남아 있다.[14] 덴마크어에서는 50이상의 십의 자리 숫자는 모두 20진법으로 표기한다. 예를 들어 90은 halvfems라고 표기하는데, halv는 반, fem은 5이고 s는 곱한다는 것을 줄인 말이다. 따라서 [math((-\frac{1}{2}+5) \times 20)]이라고 읽는 것이다. 그냥 반이라고 읽어도 빼기가 되는 것은 과거 유럽어에서 낮은 단위의 숫자를 높은 단위의 숫자 앞에서 쓰면 그만큼을 빼는 관습이 있었기 때문이다.[15] 라틴어에서도 29는 [math(20+9)]로 읽을 수 있었지만 [math((-1)+30)]으로도 읽을 수 있었고, 독일어에서 시간을 읽을 때 반 4시라고 읽으면 3시 30분이 되는 것 등에서 알 수 있다.
6차 교육과정 중 중학교 1학년 수학은 5진법도 가르쳤다.
크메르어는 5진법을 사용한다.
야구에서는 투수의 소화 이닝 수를 표기할 때 10진법과 3진법의 조합을 쓴다. 투수의 소화 이닝 수는 그 투수가 잡은 아웃카운트에서 3을 나눈 값으로 구하는데 예를 들어 8개의 아웃카운트를 잡았을 경우 대분수를 써서 2⅔이닝(2와 3분의 2이닝) 식으로 표현하는 게 정석이지만, 표기의 편의를 위해 1이닝 미만은 소수 첫째 자리로 점으로, 예를 들어 2.2이닝처럼 표기하기도 한다. 여기서 소수점 아래 부분이 바로 3진법으로 쓰이는 부분이다.
사우디아라비아 리얄, 파운드 스털링은 과거 10진법과 20진법의 조합을 사용하였다. 1리얄 이하의 금액을 사용할때 키르시(Qirsh)를 사용하였는데, 1리얄=20키르시 였다. 1960년부터는 1리얄=100할랄라로 개정해 완전한 10진법 화폐가 되었다. 영국 또한 1파운드 이하의 금액을 사용할 때 실링(Shilling)을 사용하였는데, 1파운드=20실링이였다. 현재는 1파운드=100페니로 개정해 완전한 10진법 화폐가 되었다.
흔히 생각하는 자연수 진법에서는 밑(base)으로 2 이상의 모든 정수를 사용할 수 있다.
프로그래밍에서는 2진법과 10진법, 16진법 이외에 다음 진법도 가끔 사용한다. 이들 진법은 프로그래밍 언어나 환경에 따라 각각 다르기 때문에 정식이라기보다는 임의로 사용되는 쪽에 가깝다. 일반적인 범위에서 쉽게 찾아볼 수 있는 곳이 단축 URL 표기.
기호는 사실 뭘 써도 크게 상관없지만 주로 0~9와 부족한 것은 알파벳 등으로 대체한다.
Unary[16](단항 기수법)[17]: 0 이상의 정수에 대해 같은 기호(주로 숫자 1)를 그 수만큼 반복해서 표기하는 진법. 예를 들어 5라면 11111이 되는 식이다. 즉 1이 더해질 때마다 자릿수가 1씩 증가한다. 소수 표시도 불가능해서 어디다 쓸까 싶지만[18] 초등학교 저학년 때 쓰는 산가지를 이용한 셈법이나 1~5까지를 '正'의 획순대로 쓰는 것 또한 1진법에 포함된다. 한자의 경우 1~3까지 1진법으로 표현된다.(一二三)- ternary[19](3진법): 0, 1, 2를 사용하는 진법. 칸토어 집합을 다루다 보면 자주 접하게 된다. 현존 최악의 난해한 프로그래밍 언어인 Malbolge의 인터프리터가 3진법에 기반하고 있다.
- base 32(32진법): 숫자 0~9, 알파벳 일부를 사용하는 진법으로 5비트를 한 자리로 표기하기 위한 기법이다. 프로그래밍 언어에 따라 많이 다르다.
- base 36(36진법): 숫자 0~9, 알파벳 A~Z를 모두 사용하는 진법으로 62이 36이라 두 자리씩 묶은 6진법이기도 하다. 컴퓨터 키보드 한글타자를 영어타자로 바꾼 숫자 암호 만들기 에서도 쓸 수 있다.
- base 58(58진법): 숫자 0~9, 알파벳 대문자 A~Z, 소문자 a~z의 대부분을 사용한다. 이때 혼동을 일으킬 수 있는 숫자 0과 대문자 O, 대문자 I와 소문자 l은 사용하지 않는다. 비트코인 주소 표기에 사용한다.
- BASE64(64진법): 숫자 0~9, 알파벳 대문자 A~Z, 소문자 a~z까지 사용한 뒤, 나머지 2자리에 특수문자 +, /를 집어넣어 6비트를 한 자리로 표기하는 기법이다. 가장 널리 쓰이는 기법으로, 이메일 인코딩에 많이 사용된다. 이메일 원본 헤더를 열어보면 알 수 없는 숫자와 알파벳, 특수문자가 마구 섞인 부분을 볼 수 있는데 이것이 Base64로 표기된 것이다.
- Ascii85(85진법[20]): 숫자 0~9, 알파벳 대문자 A~Z, 소문자 a~z[21]를 모두 사용하다 못해 특수문자도 대거 사용한다. 아스키 코드의 대부분을 사용한다고 해서 Ascii85라는 명칭이 되었다. PC통신 시절에 많이 사용했던 ZMODEM 프로토콜이 이걸 사용했다. 왜 하필 85냐면 [math(256 \times \frac13)]의 근사치면서 [math(\sqrt[5]{2^{32}})]이 84와 85의 사이에 있기 때문. 즉, 32비트를 5자리의 문자로 나타낼 수 있는 가장 작은 진법이다.
- 100진법 [22] 대부분 앱 버전에 사용된다
4. 표현
다음 문단의 증명에 따라서 임의의 자연수 [math(a)]와 정수 [math(n \geq 2)]에 대해,[math(a=a_k n^k+a_{k-1}n^{k-1}+a_{k-2}n^{k-2}+\cdots +a_{1}n+a_0)] (단, [math(0 \leq a_0, a_1, \cdots , a_k < n,\ a_k \neq 0)])… ①
을 만족하는 정수들의 순서쌍 [math((a_1, a_2, \cdots, a_k))]들을 언제나 유일하게 찾을 수 있다.
이때, [math(a={ \overline{a_{k}a_{k-1}\cdots a_{1}a_{0}}}_{(n)})]으로 표기한 것을 [23] [math(a)]를 [math(n)]진법으로 표현한다라 한다. 10진법은 물론 아래첨자 n을 생략할 수 있다.
또, 위의 식 ①와 같이 a를 표기한 것을 [math(n)]진 기수법의 전개식이라고 하며, 각각의 자리를 [math(a)]의 [math(n^i)] 자릿수라고 한다. 예를 들어 [math(4256)]에서 [math(2)]는 [math(4256)]의 [math(10^2 =100)]의 자릿수이다.
5. 진법 표현의 존재성과 유일성 증명
5.1. 존재성
존재성의 증명은 나눗셈 정리를 이용한다. 양의 정수에 대해서 증명을 하고 이걸 일반적인 정수 전체, 실수, 복소수 등등으로 확장시키는게 일반적.양의 정수 [math(a, b)]에 대해서, 나눗셈 정리에 의해 [math(q_1, r_1 \in \mathbb{Z})]이 유일하게 존재하여, 다음을 만족한다.
- [math(b=aq_1+r_1)](단 [math(0 \leq r_1 < a)])
따라서, [math(a, b)]에 대하여, [math(b)]의 [math(a)]진법 표기는 존재한다.
5.2. 유일성
정수 [math(N)]이 밑수 [math(b)]에 대하여 서로 다른 두 가지 이상의 표현방법이 존재한다고 가정하자.그렇다면, 두 표현방법을 각각 [math(N_1, N_2)]라고 표기하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle N_1=\sum_{i=0}^{m}a_{i}b^i=\sum_{i=0}^{m}c_{i}b^i=N_2)] |
그러면 위의 식을 이항하여 정리하자.
[math(\displaystyle \sum_{i=0}^{m}a_{i}b^i=\sum_{i=0}^{m}c_{i}b^i)] [math(\displaystyle \sum_{i=0}^{m}(a_{i}-c_{i})b^i=0)] |
여기서 [math(a_i-c_i=d_i)]라고 두자.
[math(\displaystyle \sum_{i=0}^{m}d_ib^i=0)] |
그러면 이런 값이 되는 최소의 [math(i)]를 [math(k)]라고 두자. 그러면 [math(\displaystyle \sum_{i=0}^{m}d_ib^i=\sum_{i=k}^{m}d_ib^i=b_k\sum_{i=k}^{m}d_ib^{i-k})]가 된다.
이 마지막 식을 전개하자.
[math(\displaystyle b_k\sum_{i=k}^{m}d_ib^{i-k}=b_k\{d_mb^{k-m}+\cdots+d_{k+1}b+d_k\}=0)] |
[math(d_mb^{k-m}+\cdots+d_{k+1}b+d_k=0\\ d_k=-\{d_{k+1}b+\cdots+d_mb^{k-m}\}\\ \quad=-b\{d_{k+1}+\cdots+d_mb^{k-m-1}\})] |
즉 [math(b|d_k)]가 된다.
그런데 진법 표현의 특정상 [math(\forall k \in \mathbb{Z}_{\geq 0})]에 대하여, [math(0\leq a_k, c_k<b)]이므로, [math(|a_k-c_k|=|d_k|<b)]여야 한다. 따라서 [math(d_k=0)]이어야 하는데, 위에서 [math(d_k\neq 0)]이라고 했으므로 모순이다.
따라서, 유일하지 않은 표현이 존재한다는 전제가 틀렸다는 것이 되므로, 진법 표현은 유일하다.
단, 이는 밑수가 양수라는 전제 하에서만 적용되며, 밑수가 음수인 음수 진법에서는 유일하지 않는다.[24]
6. 진법 변환
어떤 수를 n진법으로 변환하려면 그 수를 0이 될 때까지 n으로 나누고, 그 나머지를 거꾸로 읽어 올라가면 된다.[출처] 예를 들어 10진수 13은 아래와 같이 2진법 1101로 변환할 수 있다.[math(\begin{array}{r} \begin{array}{r}\\ 2~\big) \\ 2~\big) \\ 2~\big) \\ 2~\big) \\\\\\ \end{array} \!\!\:\!\!\!\!\! \begin{array}{r} \\ ~13 \\ \hline ~6\\ \hline ~3\\ \hline ~1\\ \hline 0\\ \\ \end{array}
\begin{array}{r} \\\\ \cdots ~1\\ \cdots ~0 \\ \cdots ~1 \\ \cdots ~1 \\\\\end{array}
\begin{array}{r}\\ \!\!\left \uparrow \begin{array}{r} \\\\\\\ \end{array} \right.\end{array}
\end{array}
\begin{array}{r} \\\\ \cdots ~1\\ \cdots ~0 \\ \cdots ~1 \\ \cdots ~1 \\\\\end{array}
\begin{array}{r}\\ \!\!\left \uparrow \begin{array}{r} \\\\\\\ \end{array} \right.\end{array}
\end{array}
)]
6.1. 특수 경우
일반적으로 10과 같지 않고, 2보다 크거나 같은 서로다른 두 정수 [math(m,n)]에 대해, [math(m)]진수와 [math(n)]진수 사이의 변환은 일반적으로 10진법을 통한 변환을 통해하는 것이 일반적이다. 즉 2진법을 3진법 수로 바꾸고 싶다면, 2진법을 10진법으로 바꾼 뒤 그것을 3진법으로 바꾸면 된다. 그러나 적당한 양의 정수 [math(i)]에 대해, [math(m=n^i\ {\sf or}\ n=m^i)]를 만족하게 할 수 있다면 그의 변환은 더욱 쉬워진다. 그 다음부턴 다음의 과정을 따르자.[math(m)]진수를 [math(n)]진수로 변환할때,
1.첫째 자리(자연수 부분에서 제일 오른쪽 자리)부터 위에서의 [math(i)]만큼 분할한다.
1.각각의 부분을 [math(n)]진법으로 변환한다.
1.그 후 모든 수를 이어쓴다.
1.첫째 자리(자연수 부분에서 제일 오른쪽 자리)부터 위에서의 [math(i)]만큼 분할한다.
1.각각의 부분을 [math(n)]진법으로 변환한다.
1.그 후 모든 수를 이어쓴다.
예를 들어 3진수 1201021022를 9진수로 바꾸어보자. 위에서 본 것 같이 10진수로 바꾼 33731을 다시 9진수로 바꾸는 것은 굉장히 힘들 것이다. 그러나 위의 과정과 같이 변화해보면, 이 경우 [math(i=2)]이므로,
1.[math(12/01/02/10/22_3)]
1.[math(5/1/2/3/8_9)]
1.[math(51238_9)]
1.[math(5/1/2/3/8_9)]
1.[math(51238_9)]
6.2. 소숫점 아래 자리 변환
어떤 숫자의 진법을 변환할 때 정수 부분은 쉬운데, 소숫점 아래 부분은 좀 어렵다. 이때는 나눗셈 방법을 역이용해서, 1 미만의 소수(decimal)를 n진법으로 변환하려면 그 수의 소수 부분을 0이 될 때까지(혹은 원하는 자릿수만큼) n으로 곱하고 정수 부분만 순서대로 읽으면 된다.예를 들어, [math(\frac{13}{16} = 0.8125_{(10)})]이고 다른 진법으로 변환하면 [math(0.1101_{(2)})], [math(0.\dot401\dot2_{(5)})][26], [math(0.31_{(4)})], [math(0.48:45_{(60)})][27] 등이다.
위 예시를 보면 알겠지만 같은 유리수라 하더라도 몇 진법이냐에 따라 무한소수(순환소수)가 되기도 하고 그렇지 않기도 하다. 일반적으로 특정 유리수를 분수로 나타내었을 때 분모에 해당하는 정수가 n진법에서 n의 소인수 이외의 소인수를 가지고 있으면 무한소수가 된다. 10진법에서 분모가 2와 5 이외의 소인수를 가지고 있으면 무한소수가 되는 것도 같은 이치이다.
7. 실수 진법으로의 확장
밑의 범위를 실수로 확장시키면 아래와 같이 음수, 유리수, 무리수 등에도 사용이 가능하다. 밑이 양의 정수가 아닌 경우, 둘 이상의 서로 다른 표기로 나타낼 수 있다.
7.1. 음수 진법
밑이 음수인 경우, 양수를 음수처럼, 반대로 음수를 양수처럼 부호를 붙여 표기할 수도 있다. 두 자리마다 부호가 바뀌기 때문에, 음의 부호(-)가 붙지 않은 경우 홀수 자릿수는 양수, 짝수 자릿수는 음수가 된다. 반대로 음의 부호가 붙은 경우, 홀수 자릿수는 음수, 짝수 자릿수는 양수가 된다. 다만, 음수 진법의 경우는 진법 표현의 유일성이 보장되지 않는다는 점에 주의할 것.예를 들어, 377은 -10진법으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
음수인 -15는 -2진법으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
7.2. 유리수 및 무리수 진법
정수가 아닌 유리수 및 무리수의 경우, 가장 큰 자릿수를 더 작은 단위로 쪼개서 표기할 수 있다. 이 때문에 동일한 하나의 수에도 무수히 많은 표기가 존재할 수 있다.임의의 수 377은 아래 진법으로 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- [math(377 = 2123_{(5.5)})]
- [math(377 = 652_{(7.5)})][32]
- [math(377 = 2.003_{(0.2)})][33][34]
- [math(377 = 100000100000000100001.000010001\cdots{}_{\left(4/3\right)})][35]
무리수 진법도 밑의 절댓값이 1보다 크다면 가능하다. 예를 들어서 [math(\varphi)]진법이 있다. 여기서 [math(\varphi)]란 [math(\displaystyle\frac{1+\sqrt5}2=1.618033...)]으로 나타내어지는 황금수이다.
- [math(1=1_{(\varphi)}=0.11_{(\varphi)}=0.1011_{(\varphi)}=0.101011_{(\varphi)}=...)]
- [math(2=10.01_{(\varphi)}=1.11_{(\varphi)}=1.1011_{(\varphi)}=1.101011_{(\varphi)}=...)]
- [math(3=100.01_{(\varphi)}=11.01_{(\varphi)}=10.1111_{(\varphi)}=10.111011_{(\varphi)}=...)]
[math(\varphi)]의 정의인 '[math(1:\varphi =\varphi -1:\varphi)]를 만족하는 양수'에 의해, [math(\varphi +1 = \varphi^2)]가 성립하기 때문에 이런 현상이 일어난다. 이 때문에 정수가 아닌 진법에는 동일한 하나의 수에도 무수히 많은 표기가 존재한다. 참고로 십진법 기준 모든 자연수를 [math(\varphi)]진법에서 0과 1만을 포함한 유한소수로 나타낼 수 있음을 증명하는 문제가 아시아태평양수학올림피아드에서 출제되었다.
8. 복소수 진법
더 나아가서, 밑이 복소수인 진법도 만들 수 있다. 참고가장 간단하게 10i진법을 떠올릴 수 있다.
- [math(377=\left(607+1030i\right)_{(10i)})][36]
또, 377은 2i진법으로 다음과 같다.
- [math(377=\left(100010001+10101000i\right)_{(2i)})][37]
9. 칸토어 표현
Cantor Expression게오르그 칸토어가 창안한 진법과 비슷한 체계로서, 임의의 양의 정수 [math(a)]에 대해 다음 두 조건을 만족하는 순서쌍 [math(\left(c_1, \cdots, c_m\right))]이 존재한다.
1. [math(\exist m \geq 1)]에 대하여 [math(m! \leq a < (m+1)!)] 2. [math(\exist! c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{Z})]에 대하여, [math(\displaystyle a=\sum_{i=1}^{m}c_{i}i!)] [math(\cdots)](●) (단, [math(0 \leq i \leq m-1)]일 때 [math(0\leq c_i \leq i)]이며, [math(1 \leq c_m \leq m)]) |
이 때, (●)의 식을 칸토어 표현이라고 하며, 이는 모든 양의 정수에 대해서 유일하게 표현된다.
즉, 진법이 임의의 밑수(base) [math(p)]에 대하여 그 거듭제곱 꼴의 합으로서 수를 표현한다면, 칸토어 표현은 연속된 팩토리얼로서 표현하는 것.
실제로, 팩토리얼의 성질에 따라 다음 관계식이 성립함은 표현의 유일성을 보증해준다.[38]
- [math(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i\cdot i!=(i+1)!-1)]
또한 이 칸토어 표현을 확장하여, 게오르그 칸토어는 임의의 서수 역시 비슷한 방법으로 표현할 수 있다고 증명했으며, 이를 완전 칸토어 표준형(Complete Cantor's Normal Form)이라고 부른다.
9.1. 존재성
역시 나눗셈 정리를 이용한다. 다만 과정이 조금 바뀌는데 대략적인 흐름만 소개하면 다음과 같다.- 임의의 양의 정수 [math(b)]에 대하여, [math(n_1! \leq b < (n_1+1)!)]를 만족하는 정수 [math(n_1)]이 존재한다.
이는 팩토리얼이 정수를 원소로 가지는 증가하는 단조증가수열이므로 삼일률[39]에 따라서 모든 양의 정수는 팩토리얼의 어느 한 원소와 대소관계를 비교할 수 있기 때문에 자명하다. - 그리고 이런 조건을 만족하는 [math(b)]와 [math(n_1!)]에 대하여, 정수 [math(k_1)]과 [math(b_1)]이 존재하여, [math(b=k_1\cdot n_1!+b_1)]가 되는 것이 나눗셈 정리에서 도출된다.
(단, [math(1\leq k_1\leq n)])
이 때, 나머지항 [math(b_1)]은 제수 [math(n!)]보다 작음은 자명하므로, 다시 위의 과정을 적용하는 것을 반복하여 [math(1!)]까지 내려올 수 있으므로, 정수 [math(b)]의 칸토어 표현 표기성이 존재한다는 것을 보일 수 있다.
[1] 후술하지만 진법은 수 자체가 내재하고 있는 고유한 성질이 아닌 숫자를 사용해 수를 표현하기 때문에 발생하는 특징이다. 즉, 기수법(numeral systems)과 진법은 떼려야 뗄 수 없는 관계이다.[2] 각각 부족수, 완전수, 과잉수이다.[3] 주어진 진법에서 그 수의 제곱이 되는 수를 두 부분으로 나누어 더했을 때, 다시 그 수와 같아지는 수.[4] 주어진 진법에서 거꾸로 읽더라도 바르게 읽더라도 똑같은 수로, 앞에서부터 n번째 자리 수와 뒤에서부터 n번째의 자리 숫자가 모두 같은 수.[5] 주어진 진법에서 어떤 수가 그 수의 각 자리 숫자의 합의 배수가 되는 수. 이를 확장하면 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합을 한자리수가 될 때까지 거쳐 나온 수들로도 모두 나누어떨어지서나 모두 하샤드 수가 되는 수도 정의할 수 있게 된다.[6] 주어진 진법에서 아무리 더듭제곱해도 끝의 몇 개의 자리 수가 유지되는 수.[7] 단, n이 자연수일 때, m진법 표기에서 m>n이면 m의 값에 관계 없이 n은 무조건 한자리 수가 되어 무조건 n으로 표현되기 때문에 예외이다.[8] 주어진 진법에서 한자리수가 될때까지 각 자리 숫자의 합을 반복한 결과가 모두 소수인 경우에 해당하는 소수를 말한다.[9] 주어진 진법에서 1이 늘어선 형태로 표현되는 소수로, 주어진 진법에서 1이 늘어선 형태의 수인 렙디지트에서 유래하여 따왔다. 이때, 1의 개수가 2개이면 그 진법만큼의 수보다 1 큰 수라는 특성상 n이 자연수일 때, n진법에서 n+1이 되어 모든 자연수가 가능해지므로 1이 최소한 3개가 늘어서있을 때 기준 n이 2 이상의 자연수일 때, 임의의 n진법에서 1이 3개 이상 늘어선 형태로 되어있는 수의 목록도 만들어보도록, 그중에서도 소수인 것, 1의 개수가 소수개이지만, 해당 수가 소수가 아닌 것의 목록과 특정 n진법에서 1이 늘어선 형태의 수들의 소인수분해 목록도 만들어볼 수 있다.[10] 다만 n이 2 이상의 자연수일 때, pn=m이면 m진법에서 1이 늘어선 형태의 수는 반드시 p진법에서 1이 늘어선 형태로 표현되는 수를 약수로 가지게 되어서 소수일 수 없으므로 하나도 없거나 딱 하나만 존재하게 된다. 따라서 이 조건을 만족하지 못해야 해당 진법에서의 단위 반복 소수가 2가지 이상이 될 수 있다.[11] 주어진 진법에서 거꾸로 뒤집어도 여전히 소수이지만, 회문 소수는 아닌 소수로, 재배열 가능 소수 중 회문 소수가 아닌 소수들은 모두 이에 해당한다.[12] 모든 문명마다 다른 역사, 사회, 경제, 철학 등에 비해 수학은 어느 문명에서나 보편적이었기 때문. 물론 한 사람이 정한 표기법 같은 건 모두 달랐지만 각자 연관성이 없는 문명에서 독자적으로 피타고라스 정리같은 기본적인 법칙을 발견하고 증명한 사례는 수도 없이 많다. 칼 세이건 역시 그의 저서에서 외계인들과의 대화 수단으로 수학을 사용하는 모습을 보여주었을 정도. 대표적으로 콘택트에서 외계인들이 소수로 메시지를 보내는데, 소수 역시 기수법과 무관하게 존재한다. 물론 기본 공리 자체가 다르다면 완전히 다른 수학이 탄생할 수도 있기는 하지만...[13] 하지만 16진법은 인간이 읽기 쉽도록 2진법의 4자리를 묶어 1자리로 쓰는 것이기 때문에 때문에 컴퓨터는 실질적으로 2진법만 처리한다고 보면 된다.[14] 프랑스 주변 지역의 프랑스어에서는 별도의 표현을 쓴다.[15] 로마 숫자 4(IV)는 5(V) 앞에 표기한 1(I)만큼 뺀 기호로, 9(IX)는 10(X) 앞에 표기한 1(I)만큼 뺀 기호로 표기하는 것으로도 이를 알 수 있다.[16] 또는 base 1[17] 진법이라 보기에는 애매하다. 이것과 비슷한 체계가 스프레드시트의 열 표기인데 단항 기수법에서 기호가 26개로 늘어난 버전이라 볼 수 있다.[18] 더해서 진법이 0에 가까워지면 작은 수를 표현하는 데에도 써야 하는 기호가 매우 많이 필요하며, 0진법이면 아예 0이나 무한소가 아닌 다른 임의의 수를 표시하려면 무한대가 되어버린다. 음수 진법의 경우 그렇지는 않다. 어디까지나 0진법에 가까워질수록 특정 수를 표현하는데 필요한 기호가 무진장 늘어나기 때문. 만약 무한 진법일 경우 큰 수를 표현하는 것마저도 0이나 무한소가 되어버린다.(...)[19] 또는 base 3[20] base 85[21] 다만, v, w, x, y는 사용되지 않는데, 그 이유는 u가 84에 해당하는 값이기 때문. z는 [math(00000 = ~!!!!!)]를 나타내는 데 쓴다.[22] base 100[23] 맨 윗줄은 생략할 순 있으나, 보통 그러면 모든 수들의 곱을 나타내므로 작성하는 것이 좋다, 또 진법을 표기할 때 괄호를 치지 않아도 된다.[24] 바로 옆 자리수의 부호가 바뀌기 때문에 같은 수를 표현하는 방법이 0이 아닌 자리수의 수 1개마다 2배로 늘어나게 된다. 간단히 말하면 [math(-p)]진법에서 [math(q)]를 표현하는걸 [math(q)]로 표현할 수도, [math(-\{1\times (-p) + \bar{q}\})]로 표현할 수도 있기 때문.([math(\bar{q})]는 [math(q)]의 [math(p)]에 대한 보수.)[출처] https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3572374&cid=58944&categoryId=58970[26] 4012가 반복된다[27] 각 자릿수를 콜론으로 구분한다[28] [math(377 = 4 \times (-10)^2 + 3 \times (-10)^1 + 7 = 400-30+7)][29] [math(377 = -\left( 1 \times -10^3 + 7 \times -10^2 + 8 \times -10 + 3 \right) = 1000-700+80-3)][30] [math(-15 = -2^5 + -2^4 + 1 = -32+16+1)][31] [math(-15 = - \left\{ -2^4 + (-2) +1 \right\} = -16+2-1)][32] [math(377 = 6 \times 7.5^2 + 5 \times 7.5 + 2)][33] [math(377 = 2 + 3 \times 0.2^{-3})][34] [math(\frac1n)]진법은 [math(n)]진법을 첫번째 자리 기준으로 뒤집어 적은 것과 같다.[35] [math(377=\left(\frac43\right)^{20}+\left(\frac43\right)^{14}+\left(\frac43\right)^5+\left(\frac43\right)^0+\left(\frac43\right)^{-5}+\left(\frac43\right)^{-9}+...)][36] [math(377=6\times\left(10i\right)^2+7\times\left(10i\right)^0+\left[1\times\left(10i\right)^3+3\times\left(10i\right)^1\right]i)][37] [math(377=\left(2i\right)^8+\left(2i\right)^4+\left(2i\right)^0+\left[\left(2i\right)^7+\left(2i\right)^5+\left(2i\right)^3\right]i)][38] 실제 증명은 나머지 정리를 이용한 진법 표현의 유일성과 존재성 증명과 비슷하며, 본문의 내용은 어디까지나 증명이 아니라 보증일 뿐이다.[39] 모든 두 실수는 대소관계를 비교할 수 있다는 것을 의미. 즉, [math(\forall a, b \in \mathbb{R})]은 [math(a>b, a=b, a<b)]의 셋 중 하나라는 논리다.