최근 수정 시각 : 2022-02-01 10:17:46

부족수

정수론
Number Theory
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
공리
페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법
산술
나눗셈 약수·배수 배수 · 약수(소인수) · 소인수분해(목록) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수
약수들의 합에 따른 수의 분류 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 부부수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수
정리 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리
기타 유클리드 호제법 · 서로소
디오판토스 방정식 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버츠와 스위너톤-다이어 추측(미해결)
모듈러 연산
잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리
소수론
수의 분류 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수(사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수
분야 대수적 정수론 · 해석적 정수론
함수 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수· 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식
정리 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)(천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리
기타 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식
}}}}}}}}} ||

약수의 합에 따른 자연수의 분류
자기 자신과의 비교 과잉수 완전수 부족수
일부의 합 사슬 주기 1 주기 2 주기 3 이상
진약수의 합 완전수 <colbgcolor=#fff,#1f2023> 친화수 <colbgcolor=#ddd,#333> 사교수
비자명 진약수의 합 <colbgcolor=#000> 준완전수 혼약수 준사교수
진약수의 합의 약수 초완전수 ? ?
기타 반완전수 괴짜수 불가촉 수



1. 개요2. 성질3. 100보다 작은 부족수 목록

1. 개요

/ deficient number

자연수 [math(n)]에 대하여, [math(n)]의 모든 진약수(자신을 제외한 모든 약수)들의 합이 [math(n)]보다 작다면 [math(n)]을 부족수라고 한다.[1] 예를 들어서, 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이고 진약수들의 합은 1+2+3+4+6+8+12=36인데 이 합은 24보다 크므로 24는 부족수가 아니지만, 25의 약수는 1, 5, 25이고 진약수들의 합은 1+5=6인데 이 합은 25보다 작으므로 25는 부족수이다.

수학적으로 표현하면, 다음 식을 만족하는 자연수 [math(n)]을 부족수라고 한다. 여기서 [math(\sigma_1(n))]은 약수 함수(divisor function)이다.

[math(n>\sigma_1(n)-n)]

여기서 [math(\sigma_1(n))]은 [math(n)]의 모든 약수들의 합을 나타낸다. 즉, 이 식은 [math(n)]의 모든 약수들의 합에서 [math(n)]을 빼므로, 이는 곧 진약수들의 합이다.

2. 성질

  • 부족수는 무수히 많다. 모든 소수는 부족수인데, 소수는 무수히 많기 때문이다.
  • 소수의 진약수는 1뿐이므로 모든 소수는 부족수다. 또한 소수의 거듭제곱인 수도 부족수다.
  • 소인수가 2뿐인 모든 수, 즉 2의 거듭제곱수들은 진약수의 합이 자신보다 1만큼 작은 부족수다.[2]
  • 소인수가 2개뿐인 모든 홀수도 진약수의 합이 자신의 7/8배(0.875배)보다 작은 부족수다.
  • 945가 가장 작은 홀수 과잉수기 때문에 945보다 작은 모든 홀수는 부족수이다.
  • 1의 자리가 1, 3, 7, 9이면서 81080보다 작은 자연수는(다시 말해, 81080보다 작으면서 10과 서로소인 자연수는) 모두 부족수이다. 이는 10과 서로소인 가장 작은 과잉수가 81081이기 때문.
  • 30과 서로소인 자연수는 일상적인 수준에서 모두 부족수이다. 참고로 6과 서로소인 가장 작은 과잉수는 5,391,411,025[3]며, 30과 서로소인 가장 작은 과잉수는 무려 9,503,592,139,824,772,301,811,642,143[4][5]이다.
  • 부족수 및 완전수의 진약수들도 부족수다.
  • 1 또한 부족수다. 1은 진약수가 존재하지 않기 때문에 진약수의 합이 0이기 때문이다.

3. 100보다 작은 부족수 목록



[1] 같은 말로, [math(n)]의 모든 약수들의 합이 [math(2n)]보다 작다면 [math(n)]을 부족수라고 한다.[2] 반대로, 진약수의 합이 자신보다 1만큼 큰 과잉수는 현재까지 밝혀지지 않았으며, 존재하는지 조차도 아직 미해결이다.[3] 53억 9141만 1025로, 소인수분해하면 52×7×11×13×17×19×23×29이며, 진약수의 합은 5,407,897,775이다.[4] 9503자 5921해 3982경 4772조 3018억 1164만 2143[5] 소인수분해하면 72×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47×53×59×61×67×71×73이고, 진약수의 합은 9,981,647,097,140,939,728,523,333,857이다.