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1. 개요
Well-ordering Principle정수론에서 공집합이 아닌 자연수의 임의의 부분집합 [math(X\subseteq \mathbb N)]의 최소원 [math(\min X)]가 존재한다는 원리이다. 초등정수론에서, 여러 증명의 기초적인 도구로 사용되므로 정수론을 공부한다면 정렬 원리를 잘 알아두는 것이 중요하다.
2. 증명
강한 수학적 귀납법을 이용해서 증명해보자.| 집합 [math(S\subseteq \mathbb N)]이 최소원을 갖지 않는다고 하자. 1. [math(1\notin S)]의 증명 귀류법을 이용하면 간단하다. [math(1\in S)]이면 [math(\forall x\in \mathbb N, x\ge 1)]에서 [math(\forall x\in S, x\ge 1)]이므로 [math(S)]는 최소원소를 가지므로 모순이 된다. 따라서, [math(1\notin S)]여야 한다. 2. [math(\forall x<k)]에 대해서 [math(k\ne S)]일 때 [math(k+1\notin S)]의 증명 역시 귀류법을 이용하면 간단하다. [math(k+1\in S)]일 때 [math(\{n\in\mathbb N|n < k+1\} \cap S =\emptyset)]이므로 [math(\forall x\in S, x\ge k+1)]이 되어 [math(k+1)]이 최소원이 되어야 하므로 모순이다. 따라서, [math(k+1\notin S)] 따라서, 강한 수학적 귀납법에 의해 [math(\forall x\in\mathbb N, x\notin S)]로 [math(S=\emptyset)], 최소원이 없는 자연수의 부분집합은 공집합 뿐이다.[math(\blacksquare)] |
3. 기타
정수론에서 가장 기초적인 정리 중 하나인 베주 항등식[1]을 증명하는 가장 간단한 방법이 정렬 원리이다.집합론에서도 깊이 있게 다뤄지는데, 여기서는 자연수의 정렬 원리를 넘어서 보다 일반적인 집합의 경우에 대해 다룬다. 예컨대 실수 집합과 같은 농도를 가지는 집합에서의 순서 관계 중 정렬 원리를 만족하는 것이 있느냐 하는 문제를 생각할 수 있을 것이다. 물론 우리가 잘 아는 보통의 실수 순서 관계는 정렬 원리를 만족하지 못한다.[2] 그래도 어떤 특이한 방식을 쓰면 실수 집합 혹은 더 큰 집합에도 정렬 원리를 만족하는 순서 관계를 줄 수 있지 않을까 기대할 수 있는데, 놀랍게도 이게 모든 집합에 대해서 참이라고 가정하는 것은 선택 공리와 논리적으로 동치라는 것이 밝혀져 있다. 선택공리[math(\Rightarrow)]하우스도르프의 극대원리[math(\Rightarrow)]조른의 보조정리[math(\Rightarrow)]정렬 원리[math(\Rightarrow)]선택공리를 순환 증명하는 과정은 매우 아름답지만 논리적으로 따라가기 매우 어려워 많은 저학년 수학과생들을 괴롭히는 난관 중 하나이기도 하다. 논리적 증명의 순서를 뒤죽박죽으로 섞는 숙제와 시험문제는 덤이다. 더군다나 존재한다는 것만 알지, 그 존재한다는 순서 관계가 자연수 집합에서의 잘 알려진 순서 관계를 제외하면, 심지어 실수 집합에서도, 어떻게 생겨먹었는지 알지 못한다는 것도 골칫거리이다. 특히 실수 집합에서 잘 알려진 실수 순서 관계와는 아예 관련이 없을 것이기 때문에 그 아리송함이 배가된다.