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1. 개요
Liar Paradox철학과 논리학에서 패러독스(모순)의 가장 대표적인 예. 자기 언급의 패러독스라고도 한다.
명제: 이 문장은 거짓이다.
1. 이 명제가 사실이라고 한다면 이 명제가 주장하고 있는 '이 문장은 거짓이다'라는 것은 사실이다.
1. 즉 '이 문장이 거짓이다'라는 게 사실이므로, '이 명제는 거짓'이라는 결론이 된다. 이는 이 결론을 이끌어낸 '이 명제가 사실이다'라는 전제와 모순된다.
1. 이 명제가 거짓이라고 한다면 이 명제가 주장하고 있는 '이 문장은 거짓이다'라는 것은 거짓이다.
1. 즉 '이 문장은 거짓이다'라는 게 거짓이므로, '이 명제는 사실'이라는 결론이 된다. 이는 이 결론을 이끌어낸 '이 명제가 거짓이다'라는 전제와 모순된다.
'이 명제가 사실이다'라는 전제는 이 명제가 거짓이라는 결론으로 이어지며, '이 명제가 거짓이다'라는 전제는 '이 명제가 사실이다'라는 결론으로 이어지는 논리의 무한순환이 이어진다. 말 그대로 답이 없는 문제.1. 이 명제가 사실이라고 한다면 이 명제가 주장하고 있는 '이 문장은 거짓이다'라는 것은 사실이다.
1. 즉 '이 문장이 거짓이다'라는 게 사실이므로, '이 명제는 거짓'이라는 결론이 된다. 이는 이 결론을 이끌어낸 '이 명제가 사실이다'라는 전제와 모순된다.
1. 이 명제가 거짓이라고 한다면 이 명제가 주장하고 있는 '이 문장은 거짓이다'라는 것은 거짓이다.
1. 즉 '이 문장은 거짓이다'라는 게 거짓이므로, '이 명제는 사실'이라는 결론이 된다. 이는 이 결론을 이끌어낸 '이 명제가 거짓이다'라는 전제와 모순된다.
나는 지금 거짓말을 하고 있다.
- A: A는 거짓
- A가 거짓이면 A는 참
- A가 참이면 A는 거짓
2. 타르스키의 표준적 해결책
수학이나 철학에서 표준적으로 받아들이는 해결책은 현대 모형 이론의 창시자인 알프레트 타르스키(Alfred Tarski)가 1933년에 내놓은 해결책이다. 러셀과 화이트헤드의 분지 유형 이론(ramified type theory)에 영향을 받은 타르스키 이론의 핵심 발상은 다음과 같이 거칠게 요약될 수 있다.1. '참' 술어는 언어-상대적으로 정의된다.
* e.g., 한국어 문장의 '참'과 영어 문장의 '참'은 별개의 술어다.
1. 특정 언어에 적용되는 '참' 술어는 그 언어에 포함되지 않는다.
* e.g., '참이다'라는 술어를 한국어 문장에 붙임으로써 그 문장이 참임을 뜻할 수 있다고 해보자. 그렇다면 '참이다'는 한국어 어휘가 될 수 없다.
1. 대상 언어와 메타 언어는 구분되어야 한다. - 한 대상 언어의 메타 언어는 그 대상 언어를 진부분으로 포함해야 한다.
* e.g., 한국어가 대상 언어일 경우, 한국어의 메타 언어는 한국어를 진부분으로 포함하며 추가적으로 '참이다' 같은 술어 또한 포함한다. 예를 들어 '눈은 하얗다'는 한국어 문장이 될 수도, 한국어의 메타 언어의 문장이 될 수도 있지만, ''눈은 하얗다'는 참이다'는 한국어의 메타 언어의 문장이지만 한국어 문장이 될 수는 없다.
1. 한 대상 언어의 메타 언어는 그 자체로 또다른 메타 언어를 필요로 하며, 이처럼 언어들은 계층을 이룬다.
분지 유형 이론이나 ZFC 공리계에서 러셀의 역설이 조기에 차단되는 것처럼 이런 타르스키식 해결책을 받아들인다면 '이 문장은 거짓이다' 같은 거짓말쟁이 역설은 애초에 발생할 수 없게 된다.* e.g., 한국어 문장의 '참'과 영어 문장의 '참'은 별개의 술어다.
1. 특정 언어에 적용되는 '참' 술어는 그 언어에 포함되지 않는다.
* e.g., '참이다'라는 술어를 한국어 문장에 붙임으로써 그 문장이 참임을 뜻할 수 있다고 해보자. 그렇다면 '참이다'는 한국어 어휘가 될 수 없다.
1. 대상 언어와 메타 언어는 구분되어야 한다. - 한 대상 언어의 메타 언어는 그 대상 언어를 진부분으로 포함해야 한다.
* e.g., 한국어가 대상 언어일 경우, 한국어의 메타 언어는 한국어를 진부분으로 포함하며 추가적으로 '참이다' 같은 술어 또한 포함한다. 예를 들어 '눈은 하얗다'는 한국어 문장이 될 수도, 한국어의 메타 언어의 문장이 될 수도 있지만, ''눈은 하얗다'는 참이다'는 한국어의 메타 언어의 문장이지만 한국어 문장이 될 수는 없다.
1. 한 대상 언어의 메타 언어는 그 자체로 또다른 메타 언어를 필요로 하며, 이처럼 언어들은 계층을 이룬다.
2.1. 타르스키에 대한 반박
윗글은 마치 철학 또는 언어학계에서 타르스키의 해결책이 널리 통용되는 것처럼 말하는데, 사실 그렇지 않다. 그것에 대한 강력한 반박이 존재하기 때문이다. 대표적인 예가 사회학자(이지만 철학적 방법론을 사용하여 글을 많이 썼기 때문에 사회철학자로 보아도 무리가 없는) 니클라스 루만(niklas luhmann)의 반박이다.타르스키(Alfred Tarski)는 언어의 사용에서 나타나는 필연적인 역설을 다음과 같이 해결하려고 시도한다. 그는 이러한 문제를 하나의 문장이 다른 문장의 참/거짓을 판단할 때, 의미가 더 높도록 하여 해결하려고 했다. 그는 “이 말은 거짓이다”라는 문장의 참/거짓을 판별하려고 시도했다.
여기서 그는 “이 말은 거짓이다”라는 문장을 ‘대상 언어’로, “이 말은 거짓이다는 문장은 참/거짓이다”는 문장을 ‘메타 언어’로 설명하며, 언어의 계층의 수준을 구분하려고 했다. 여기서 낮은 계층의 언어는 높은 계층의 언어를 참조할 수 없다. 다른 말로 하면, 언어 시스템의 자기 참조를 막음으로써 역설을 해결하려고 한 것이다.
그러나 루만은 언어에서 계층의 수준 개념이 다른 수준들에 대한 참조를 전제하기 때문에 이미 기능을 발휘할 수 없다고 말한다. 타르스키의 시도가 실패하는 이유는 이러한 방식으로 수준을 구분하는 것 자체가 이미 자기참조이기 때문이다. 다른 말로 하면, 언어의 수준 개념이 정의되기 위해서는 자기를 관찰하여 어떤 수준인지 알아야 하는데 이것은 재귀적 순환에 빠지는 꼴이다.
이러한 역설과 동어반복의 문제는 다른 기능 시스템에서도 유사하게 발생한다. 이를테면 법 시스템에 던질 수 있는 “합법/불법의 구분은 어떤 법에 의한 것인가?”라는 물음이 그것이다. 루만은 이러한 문제에 대해 다음과 같은 해결책을 제시한다. “이러한 문제는 사람들이 그 문제를 모순의 형태로 전환함으로써 해결된다.” 곧, “불법이기 때문에 합법이다”로부터 “합법은 불법이다”는 식으로 해결된다. 더 자세한 정보는 루만의 책 『생태학적 커뮤니케이션』을 참조하라.
3. 기타
- 에피메니데스의 역설[1]과 혼용되곤 한다. 하지만 에피메니데스의 역설은 논리적으로는 역설이 아니다.[2] 마틴 가드너의 책 "이야기 파라독스"에는 거짓말쟁이 파라독스 바로 다음 장에 등장할 정도이다. "거짓말쟁이의 대상을 바꾸면 해결될까? 아니다."라며 에피메니데스의 역설을 소개하고 있다.
단, 에피메니데스는 이런 역설을 의도해서 얘기했기보다는 자국을 자조적으로 일컫는, 오늘날로 치면 헬조선과 같은 의미로 사용했을 가능성이 크다. - 이 문장은 거짓이다가 참으로 가정해도 거짓으로 가정해도 가정과 모순되는 것과 다르게 이 문장은 참이다는 참으로 가정해도 모순이 없고 거짓으로 가정해도 모순이 없다.[3]
- 이 역설을 절묘하게 변주한 결과가 바로 쿠르트 괴델의 불완전성 정리다. 간단히 말하면, 괴델은 "이 문장은 증명 불가능하다"라는 문장을 모순이 없도록 구축해내면서 이 정리를 증명했다.
- 한편, 피노키오의 패러독스같은 경우 피노키오가 '나는 코가 자란다'고 말하는 게 보통인데 코가 자랄 수 있는 조건이 거짓말을 하는 것 외에도 존재한다면 모순이 해결된다.
4. 관련 문서
5. 대중매체에서
Portal 2에서 글라도스가 휘틀리에게 이 명제를 이용한 '패러독스 공격'을 가했다.[4] 주변에 있던 기형 큐브터렛은 이 말을 듣자마자 전부 회로가 터졌지만, 정작 휘틀리는 문해력이 너무 딸려서 무슨 말인지 이해하지도 못한 채 "어...참?"이라고 답했다. GLaDOS는 황당해하며 "이건 패러독스야! 정답이 없다고!"라 지적하며 자신에게 관리자 권한을 되돌려주지 않으면 시설 전체가 폭발할 거라고 일갈한다. 그러자 휘틀리가 하는 말 "어... 그건 거짓."이 진국.공각기동대 Stand Alone Complex에서 타치코마들은 오퍼레이터에게 역설을 말해서 무한 루프를 일으키고 오퍼레이터가 지키고 있던 프로토타입을 가져간다. 그리고는 거짓말쟁이의 역설조차 처리하지 못하는 깡통이라고 놀린다.
마음의소리에서는 추리게임을 할 때 거짓말 탐지기를 사용해서 범인을 판별하려 했는데, "거짓말을 하는 놈이 범인"이라는 전제로 탐지기를 썼는데 조석이 탐지기에 손을 대고 내가 범인이라고 했더니 소리가 안 나서 사건이 미궁에 빠지는 개그가 벌어졌다.
2023년 개봉한 '그대들은 어떻게 살 것인가'에서, 등장인물 키리코가 "모든 왜가리는 모두 거짓말쟁이라고 다른 왜가리가 말했다. 그럼 이건 진짜일까, 거짓말일까?"라고 묻자, 왜가리 남자는 "모든 왜가리는 거짓말쟁이다."라며 진실이라고 답했다. 그러자 마히토는 "그 말도 거짓말이지?" 라며 거짓이라고 답한다. 이런 모습을 본 키리코는 둘이 환상의 짝꿍이라며 웃는다.
6. 여담
2018학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 29번~32번에 대한 지문에 거짓말쟁이의 역설이 등장한 바 있다.2024학년도 수능완성 국어 160페이지 1번~5번 문제에서 다시 한 번 등장하였다.
이 문제와 관련하여 동양에서 유명한 이야기가 바로 한비자에 나온 에피소드 모순(창과 방패)이다. 모순 항목 참조.
[1] 고대에도 워낙 유명한 주장이었는지, 성경에도 나온다. "그들 중의 한 사람이 "우리 그레데 사람들은 언제나 거짓말쟁이이고 몹쓸 짐승이고 먹는 것밖에 모르는 게으름뱅이이다." 하고 말하지 않았습니까? 이 말을 한 사람은 바로 그들(그레데 사람)의 예언자라는 사람입니다."(디도서 1:12).[2] 에피메니데스가 한 말인, "모든 크레타 사람은 거짓말쟁이다."를 부정하는 '어떤 크레타 사람은 거짓말쟁이가 아니다.'라는 명제가 '에피메니데스 본인이 거짓말쟁이다'와 상충하지 않기 때문이다.[3] 이 문장은 거짓이다가 마치 0×a=3 처럼 불능이라면 이 문장은 참이다는 0×a=0처럼 부정이라고 할 수 있다.[4] 첼과 함께 구 애퍼처 사이언스 시설을 빠져나가는 도중에 기계의 반란 대처법 포스터를 보고 알아낸 아이디어. 이것 말고도 덤으로 러셀의 역설도 적혀 있었다. 이후 휘틀리에게 이 문장을 외칠 때 "This", "sentence" , "is", "false" 하는 식으로 단어를 하나씩 끊어서 말하고 계속 '생각하지 말자...생각하지 말자..."귀엽다라고 자기최면을 거는 것으로 볼 때, 인간의 정신이 베이스임에도 기계의 한계를 회피할 수는 없는 듯.