최근 수정 시각 : 2019-06-20 04:35:29

굿스타인 정리



1. 개요2. 약한 굿스타인 수열3. 반복 n진법 표현4. 굿스타인 수열5. 역사6. Fast-growing hierarchy

1. 개요

굿스타인의 정리(Goodstein's theorem)는 임의의 자연수에서 시작하는 굿스타인 수열이 유한한 숫자의 항을 갖는다는 정리이다. 이 정리는 사실이지만 페아노 공리계로 증명할 수 없으며, 이것은 불완전성 정리가 발표된 뒤 발견된 "사실이지만 증명 불가능한 명제"들 중 하나로, 앞선 것들보다 상대적으로 설명하기 쉽고 굿스타인 수열의 값 자체가 큰 수이기 때문에 유명해지게 되었다.

이 영상들을 참고하면 좋다: 소개 상세

2. 약한 굿스타인 수열

약한 굿스타인 수열을 알고 있으면 굿스타인 수열을 이해하기 쉽다. 약한 굿스타인 수열은 이렇게 정의된다.
  1. 수열의 첫 번째 값 a1a_1으로 임의의 자연수 nn을 선택한다.
  2. nn을 2진법으로 전개한다. n=Σi=0kdi2in=\Sigma_{i=0}^k {d_i 2^i}가 될 것이다.
  3. 위의 식에서, 2를 3으로 바꾼 뒤 1을 빼면 다음 항이 된다. 따라서, 11로 시작한 약한 굿스타인 수열의 다음 항 a2a_211=23+21+2011=2^3+2^1+2^0이므로 33+31+301=303^3+3^1+3^0-1=30이 된다.
  4. a3a_3a2a_2를 3진법으로 전개한 뒤, 3을 4로 바꾸고 1을 빼는 것으로 정의한다. 따라서 위의 경우 a3=43+411=67a_3=4^3+4^1-1=67이다.
  5. 0에 도달하면 수열이 끝난다.

약한 굿스타인 수열은 항상 유한한 단계 뒤에 끝나게 되며, 이것은 서수 개념이 필요하지만 페아노 공리계에서 증명 가능하다. 수열의 각 값은 어떠한 서수에 대응되고, (예를 들어, 위의 a1=11=23+21+20a_1=11=2^3+2^1+2^0ω3+ω+1\omega^3+\omega+1) 이 대응된 서수는 1을 빼는 과정 때문에 줄어들기만 한다.

3. 반복 n진법 표현

반복 n진법 표현은 어떤 자연수 mm을 n진법 전개 Σi=0kdini\Sigma_{i=0}^k {d_i n^i}로 나타낸 뒤, 각각의 ii를 다시 n진법 전개로 나타내고, 이 과정을 더 이상 반복할 수 없을 때까지 계속하는 것이다.

따라서, 11의 반복 2진법 표현은 11=23+21+20=221+20+21+2011=2^3+2^1+2^0=2^{2^1+2^0}+2^1+2^0이 된다.

4. 굿스타인 수열

굿스타인 수열은 약한 굿스타인 수열의 n진법 표현을 반복 n진법 표현으로 대체한 것이다. 약한 굿스타인 수열보다 훨씬 급격히 커지지만 유한한 단계 뒤에 끝나는 것은 같다. 약한 굿스타인 수열과 달리, 이 수열이 유한한 단계 뒤에 끝난다는 것은 페아노 공리계에서 증명할 수 없다. 증명은 약한 굿스타인 수열의 경우와 거의 동일하지만, 이 경우 대응하는 서수가 ωωω=ϵ0\omega^{\omega^{\omega^\cdots}}=\epsilon_0보다 작은 어떤 것이든 올 수 있게 된다. 약한 굿스타인 수열의 경우, 대응하는 서수의 상한은 ωω\omega^\omega였다.

5. 역사

불완전성 정리가 증명된 뒤 4년이 지난 1935년에, 게르하르트 겐첸은 초한 귀납법의 정당성을 ϵ0\epsilon_0 이상의 서수에 대해서 보일 수 없다는 사실을 증명하였다. 이것은 그 자체로 페아노 공리계에 대한 불완전성 정리의 직접적인 증명이 된다.

굿스타인은 1944년에 큰 서수에 대한 초한 귀납법이 필요한 굿스타인 정리를 증명하면서, 참이지만 페아노 공리계에서 증명할 수 없는 또 다른 명제를 만들어 냈다.

이후, 램지 이론에서 증명된 패리스-해링턴 정리가 페아노 공리계에서는 증명될 수 없다는 사실이 밝혀지면서, 패리스-해링턴 정리는 최초로 불완전성 원리의 "자연스러운" 예가 되었다.

6. Fast-growing hierarchy

nn에서 시작하는 약한 굿스타인 수열의 최대값을 g(n)g(n), 굿스타인 수열의 최대값은 G(n)G(n)이라고 하면, g(n)g(n)은 대략 fωω(n)f_{\omega^\omega}(n)와 비슷한 크기이고, G(n)G(n)fϵ0(n)f_{\epsilon_0}(n) 정도인 것을 알 수 있다.