최근 수정 시각 : 2019-05-23 18:57:39

벤 다이어그램

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1. 개요2. 논리학적 벤 다이어그램3. 수학적 벤 다이어그램(집합론)

1. 개요

Venn diagram

1880년에 영국논리학자 존 벤(John Venn)이 고안한 도식이다.

2. 논리학적 벤 다이어그램

본래 벤 다이어그램은 이 논리학에서 창안되었으나 아래의 수학에서의 벤 다이어그램이 압도적으로 인지도가 높은 관계로 묻히는 편이다.

논리학에서 쓰이는 벤다이어그램의 용도는 수학과 매우 다르다. 수학에서는 빗금 친 영역을 '해당 영역'을 지칭하는 것과 달리, 논리학에서는 거기에 속해 있는 원소의 개수가 0이라는 것을 의미한다. 또한 논리학에서의 벤 다이어그램은 영역 안에 X표시를 하면 원소의 개수가 1 이상이라는 것을 의미한다. 쓰임새가 수학과 유사하나 표시나 응용하는 목적 자체가 완전 다르다.

3. 수학적 벤 다이어그램(집합론)

벤 다이어그램은 원소와 집합 간의 포함 관계를 직관적으로 이해시키는 용도일 뿐이지, 사실 수학적으로 증명이 불가능하며, 증명으로도 사용할 수 없는 개념이다. 본래 논리학에서 쓰이던 걸 교육용으로 차용한 것이다.

아무튼 고등학교에 진학하여 집합을 공부하게 된다면 가장 먼저 보게 될 그림이다. 각각의 집합을 원, 사각형과 같은 닫힌 도형으로 표현한다. 그 도형의 내부 영역에 해당 집합의 원소들이 들어가 있다고 볼 수 있다. 교육과정에서 집합이라는 개념을 처음 접할 때 같이 배우게 되는 도구이다. 집합이란 현대 수학에 들어서야 발명이 된 추상적인 개념이지만 처음 배우는 학생들에게는 직관적으로 이해하기에 이만큼 좋은것이 없다.

벤 다이어그램은 합집합, 교집합, 차집합, 여집합 등의 개념을 그림으로 쉽게 표현해 준다. 합집합은 두 도형의 영역 전체, 교집합은 두 도형 모두에 포함되는 영역, 차집합은 한쪽 도형에만 포함되는 영역, 여집합은 해당 도형의 외부로 표현된다. 이 외에도 새로 정의한 연산[1]의 기능을 쉽게 표시하는 데에도 유용하다. 집합 연산의 항등식, 예를 들어 드 모르간의 법칙과 같은 것들이 왜 성립하는지를 설명하는 데도 좋다. 집합 여러 개가 얽혀 있고, 간단히 하라는 문제가 있으면 벤 다이어그램을 그려서 풀면 쉽게 해결되는 경우도 많다. 집합이 2개 또는 3개인 경우까지는 아주 유용하게 사용된다.

다만 집합이 4개 이상 나오는 문제에서는 벤 다이어그램을 그리기가 어려워진다. 4개 이상의 집합의 벤다이어그램 2^4 = 16개의 영역이 나오도록 그려야 하는데 원만으로는 안되고 괴상하게 찌그러진 모양으로 그려야 한다. 아니면 타원을 이용해서 그릴 수 있다. 집합이 다섯 개 이상이 되면, 벤다이어그램을 그리는 것 자체가 학문이 된다.(...)


[1] 고등학교 과정에서는 보통 △, ⊙와같은 기호로 나타낸다.