최근 수정 시각 : 2018-11-04 21:14:17

공리

1. 수학 용어2. 윤리학 용어3. 싱가포르국적의 중국 영화배우

1. 수학 용어

한자公理(공변될 공/다스릴 리)
영어axiom

주어진 이론 체계 안에서는 증명없이 참(truth)인 것으로 받아들이는 명제를 일컫는 말.

주로 수학이나 철학에서 자주 쓰인다. 자연과학에서는 공리는 존재하지 않고 실험이나 관측을 통해 검증을 거쳐야 참으로 받아들여 진다고 알고 있는 경우도 있지만 이는 자연과학만을 전공한 사람들이 흔히 하는 오해이다. 공리 자체가 바로 논리체계의 전제이고 가정이다. 어떤 논리체계도 공리가 없을 수가 없다. 자연과학에서는 바로 귀납적으로 일반화해서 나온 결론, 다시말해서 실험과 관찰을 통해 나온 결론이 사실일 것이라고 바라보는 그 자체가 바로 자연과학의 공리인 것이다. 왜냐하면 귀납적으로 실험과 관찰로 일반화한 결론이 우주보편적으로 참인지 여부는 우리가 그렇게 전제하고 인정하는 것이지 모든 개별적 경우를 전부 다 관찰하고 그렇다고 결론을내는건 애당초 불가능하기 때문이다.

수학에서는 논리를 전개하기 이전에, 따로 정의하지 않는 대상(무정의 용어)[1]들과 그 대상들 사이에 성립하는 기본관계(공리)를 두고 시작[2]하는데, 이렇게 구성되는 체계를 공리계라고 부른다. 어떤 공리계를 구성하고 있는 공리가 적절하게 설정되기 위해선 우선 공리들이 서로 모순이 없어야하고(무모순성), 이들 공리로 그 공리계의 창시자가 원하는 성질을 제대로 나타낼 수 있는가, 다른 공리들에 비해서 확장성과 일반성을 얼마나 가지고 있는가, 하는 논리 외적인 준거가 뒤를 이어 적용된다. 사용하기 편리하면서, 재미있는 문제를 많이 만들어낼 수 있는(= 이 공리계를 사용해서 수학적으로 의미가 있는 사유를 할 수 있는) 공리계가 더 선호된다. 물론 수학자들의 관습도 어느 정도 영향을 미친다.

이전에는 모든 명제의 참 거짓을 가릴 수 있는 공리체계가 존재할 것이라는 믿음이 있었다(대표적으로 힐베르트 프로그램). 더 정확히는 참인 명제는 모두 이 공리체계 안에서 증명 가능하다는 믿음으로, 이를 완전성(Completeness)이라고 한다. 그러나 괴델의 발견 이후로 특정 공리계에선 증명불가능한 명제가 존재하며, 스스로 무모순성을 입증할 수 없다는 것이 밝혀져, 공리의 선택이 더욱 중요해졌다. 따라서 '일반적으로 통용되는 수학 공리들'과 '별도로 언급을 해줘야하는 (독립된) 공리들'로 구분해서 쓰곤 한다.

현대 수학계에서는 일반적으로 ZFC 공리계에 바탕을 두고 논리를 진행한다.

공준(公準, postulate)이라는 말도 공리와 비슷한 의미로 사용된다. 예를 들어 유클리드 기하학에서 이른바'평행선 공준'이 그 예다. 다만, 공리보다는 그 의미가 자명하지 않은 점이 있다.

참고: 불완전성 정리

2. 윤리학 용어

功利

행복과 이익, 또는 그것을 증진시키는 것. 공리주의 문서 참조.

3. 싱가포르국적의 중국 영화배우

공리(배우) 문서 참조.


[1] 예를 들어, 공리적 기하학에서 점, 직선과 같은 대상들이나, 집합론에서 원소, 집합은 정의하지 않고 시작한다.[2] 연역추론을 시작