| 수학기초론 Foundations of Mathematics | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | 다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{증명보조기 · 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문(조각적 정의) · 명제 논리(명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리(존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합(원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계(동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍(튜플) · 서수(하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC(선택공리) · 기수(초한기수) · 절대적 무한 · 모임 | ||
| 범주론 | 범주 · 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 완전성 정리 · 불완전성 정리(괴델 부호화) · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항(약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
1. 개요
集合論 / Set Theory수리논리의 분야 중 하나. 수학적 대상들의 모임인 집합을 연구하는 분야다. 수학의 기초가 되는 여러 이론 중 하나로, 현대 수학을 논리적으로 지탱하는 밑바탕이 된다. 당장 초등학교 수학 1학년 과정의 첫 단원이 0부터 9까지의 수라는 '집합'을 가르치는 것을 봐도 알 수 있다. (집합 자체에 대해서 가르치는 것은 아니다.)
집합을 단순히 대상들의 모임으로 이해하는 것을 소박한 집합론(naive set theory)이라고 하며, 고등학교 수준에서 배우는 집합이 바로 이것이다. 그런데 소박한 집합론에서는 러셀의 역설과 같은 문제가 발생하기 때문에 이를 보완하는 차원에서 공리적 집합론이 나오게 되었다. 공리적 집합론의 대표적인 예가 ZFC 공리계를 바탕으로 한 집합론이다.
2. 역사
집합론의 시작은 고대 그리스는 BC 5세기부터 수학자 엘레아의 제논에 의해, 그리고 고대 인도 수학자들에 의해 제기된 무한의 개념에서 출발한다.현대의 집합론은 1870년대, 칸토어와 데데킨트에 의해 그 연구가 시작되었다. 칸토어의 1874년의 논문 『On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers』은 현대집합론의 근간을 이룬다. 소박한 집합론에서 러셀의 역설과 같은 문제가 발생하자, 20세기 초에는 다양한 공리계가 제시된다. 그중 하나가 바로 ZFC 공리계이다.
3. 교재
- 집합론(You-Feng Lin, 경문사, 2012.04.)[1]
- 교사를 위한 집합론(신현용, 교우사, 2007.03.)
- 집합과 수의 체계(계승혁, 경문사, 2015.09.)
- 집합론 해설(Charles C. Pinter, 경문사, 2014.03.) - 겉보기에는 번역서로 보이지만, 집합론의 역사를 소개한 부분만 번역해두어서 사실상 원서와 같다.[2] 이 교재에서는 집합론의 공리로 ZFC 공리계가 아니라 NBG(von Neumann–Bernays–Gödel) 공리계를 이용한다. 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC와 NBG의 증명가능성은 동치이다.
- 위상수학(Munkres) 1장 - 학부에서는 집합론을 깊게 다루지는 않기 때문에 위상수학 교재에 나와있는 설명만으로도 수학과 학부 커리큘럼의 주요 과목을 공부하는 데엔 충분하다.
- 노영순 교수의 집합론(노영순, 도서출판 보성, 2023.03.)
한편, 영미권 대학에서는 학부 전공기초과목으로서의 집합론을 말 그대로 Set Theory를 각잡고 가르친다기보다는 '증명하는 방법 연습하기', 즉 1학년 교양과목 중 '대학국어'나 '글쓰기'에 가까운 수학과 튜토리얼의 성격으로 진행하기도 한다. 오히려 Set Theory라는 표현은 ZFC set theory, NBG set theory, TG set theory 등 공리계를 가리키는 말로 쓰이는 일이 많다. 그래서 Set Theory 대신 An Introduction to Abstract Mathematics 같은 간판을 내걸고 수업을 진행하거나 교재를 내는 경우도 있다. (예) Ralph W. Oberste-Vorth의 Bridge to Abstract Mathematics
4. 관련 문서
[1] 이흥천 교수가 번역한 역서는 왼쪽 페이지에 영어 원문, 오른쪽 페이지에 한국어 번역을 각각 배치해서 비교해가며 읽을 수 있도록 했으며, 번역하다가 원저자의 이런저런 용어 선택이나 정의, 예시가 맘에 안 드는 부분마다 각주로 깨알같은 지적을 달아놓거나, 한국어 문장이 페이지를 덜 차지해서인지 원문과 무관한 한 두 문제를 추가로 수록해놓기도 했다. 설명이 부실한 부분이 많으며 특히 선택공리 단원은 그 정도가 심하여 비판을 받기도 하나, 그래도 어리바리한 학부 저학년생이 공부하기에 이만큼 쉬운 책도 없기에 널리 쓰이는 책.[2] 증명 부분의 가독성을 다소 개선하기는 했다(⇒, ∀ 같은 기호를 다수 사용함).