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1. 개요
위상수학(位相數學, topologie · topology)은 위상동형사상에 따른, 연속적인 변환에 의해 변하지 않는 성질을 연구하는 수학의 분과이다. 찢거나 접착하지 않고 구부리고, 비틀고, 늘리고, 수축하는 공간 상의 객체의 움직임을 주 관심 분야로 다루기 때문에 '고무 시트 기하학(rubber sheet geometry)'이라는 별명으로도 불린다.[1]수학적 배경 없이 위상수학을 접할 때 흔히 가지는 인식은 손잡이 달린 컵과 구멍 뚫린 도넛이 같아[2]지는 이상한 수학. 모양을 마음대로 찌그러뜨리거나 늘려도 되지만 표면에 구멍을 내면 안 되게 하는 변형에서, 컵과 도넛이 같다는 식이다. 이 경우 원래 구멍이 난 물건은 어떻게 뭉그러뜨려도 구멍을 없앨 수 없고, 원래 구멍이 없는 물건은 표면을 터뜨리지 않는 이상 어떻게 찌그러트려도 구멍을 낼 수 없다는 걸 쉽게 상상할 수 있다. 물론 언급된 재미있는 성질을 공부하기 위해 1년 정도 재미없는 인고의 시간을 버텨야 한다. 과거에 대학교 수학과 학생들 사이에서는 토폴로지가 워낙 어려운 학문이다 보니 또모르지라고 부르기도 했다. 수학 책이지만 공식이 거의 없고 무슨 철학교재처럼 되어 있다.
때문에 공간 속의 점·선·면 및 위치 등에 관하여, 양이나 크기와는 관계없는 형상이나 위치 관계를 연구하는 기하학 분야로 많이 알려져 있다. 기하학에서 출발한 것은 사실이지만, 그런 "연속적" 변형을 설명하기 위해 해석학과 집합론에서 깊이 연구된 연속과 열린 집합의 개념이 필수적이다. 현대 수학에서는 위상기하학, 미분위상수학 등 기하학과 직접적으로 연관이 있는 고급 분야가 아닌 이상 기하학의 하위분야라고 볼 수는 없다. 오히려 점-집합 위상수학(Point-Set Topology)은 수학 전반에 쓰이는 도구로서 수학 기초론적인 성향을 띤다.
| 위상수학에서 도넛과 머그컵은 같은 모양이다. |
- 구(sphere)
- 원환면(torus)
- 두 구멍 토러스(2-holed torus)
- 여러 개 구멍 토러스(g-holed torus)
- 사영평면(projective plane)
- 클라인의 병(Klein bottle)
- 안팎이 구분 안 되는 구(sphere with c cross-caps)
- 안팎이 구분 안 되는 여러 개 구멍 토러스(2-manifold with g holes and c cross-caps)
반면에 학문 외적으로는 다음의 4개를 위상수학의 상징으로 여긴다.
2. 내용
점-집합 위상수학의 주요 개념은 수학과 고학년생을 위한 위상수학 수업에 앞서 저학년생을 위한 집합론과 해석학 등 다른 과목에서도 한번쯤 다룬다. 그러나 저학년 때는 다른 내용과 아주 끈적하게 연계되지는 않다 보니 기말시험 끝나면 다 까먹기 일쑤이다. 그러나 위상수학의 이러한 주요 개념은 고학년이 되어 수강하는 다변수해석학, 실해석학, 복소해석학, 미분기하학 등 여러 쟁쟁한 과목에서 폭우처럼 쏟아져내리며 넋나간 학생을 먼 바다까지 떠내려보낸다. 위상수학이라는 이름의 수업을 제대로 시작하기도 전부터!
학술적인 개념을 전개하는 방식은 '도넛' 비유와는 조금 다르다. 이러한 예시는 위상수학을 배우지 않은 사람들도 쉽게 이해할 수 있도록 덜 엄밀하지만 쉽게 서술한 것이다. 단적으로 말해서, 위상수학은 열린집합들이 잘 정의된 위상 공간 속 부분집합에 대해 위상동형사상(Homeomorphism)이라는 함수를 정의하고, 위상동형인 두 집합에서 보존되는 위상적 성질을 찾고 응용하는 학문이다. 약간 심란한 이름으로 느껴지는 위상동형사상의 정의는 꽤 깔끔하다.
위상 공간 [math(X, Y)]가 위상동형사상 관계(homeomorphic)에 있다는 것은 [math(f\!: X \to Y)]가 존재하여 아래의 조건들을 만족한다는 것다. 이 때 함수 [math(f)]를 위상동형사상이라 한다.
* [math(f)]가 일대일대응(bijection)
* [math(f)]가 연속함수
* [math(f^{-1})]가 연속함수
* [math(f)]가 일대일대응(bijection)
* [math(f)]가 연속함수
* [math(f^{-1})]가 연속함수
위 정의에 들어있는 개념들 자체는 고등학교 1학년 함수 파트를 열심히 들었다면 한번쯤 들어본 것들이다. 위상동형사상은 [math(x)]가 다르면 [math(y)]도 다르고 [math(X)]의 원소로 [math(Y)]의 원소를 모두 나타낼 수 있는 함수인 역함수를 준비하고, [math(x)]가 원함수에서 '연속적'인 것이 [math(f(x))]가 역함수에서 '연속적'이게 하고 반대도 가능하게 한다는 것이다. 흔히 말하는 머그컵과 도넛이 같다는 것은 바로 두 집합이 위상동형이라는 것이고, 이것은 두 집합 간에 위상동형사상이 한 개라도 존재한다는 뜻이다.
굉장히 직관적이고 쉬워 보이지만 함정은 위상 공간과 연속함수, 일대일대응 등을 위상수학에서 다루는 방식이 결코 자명하지 않다는 것. 하필 열린 집합이 왜 위상수학에서 핵심이 되는지, 왜 연속이란 개념마저 열린 집합으로 재정의하는지가[3] 엡실론-델타 논법과 여러 중요한 해석학 정리들을 증명하며 얻은 풍부한 경험이 없다면 와 닿기 어렵다. 저 머그컵과 도넛 담론조차도 서로 달라 보이는 이 두 도형이 위상동형이라고 증명하기 위해서는 반학기~한학기 가까이 빌드업을 거쳐야 할 정도이니 만만한 과목이 절대 아니다.
위상수학이 선을 끊거나, 면을 자르거나, 구멍의 개수를 변화시키는 방법을 제외한 변형만 다루는 것도 아니다. 정확히는 거리 개념을 배제하고 수학적 대상들을 분류하는 쪽에 초점이 맞춰져 있다. 다시 말해 위상수학에서만큼은 크기(크기는 거리에서 자연스럽게 정의되는 개념이다)라는 것을 망각해야 한다. 까마득하겠지만 초등학교 1학년 때 공 모양, 세모 모양, 네모 모양 등을 분류해 본 적이 있을 것이다. 여기서는 '크기'를 묻는 문제가 없다는 점에서 위상수학적으로 접근함을 알 수 있다. [4][5] 상술한 변형들은 사실 위상수학을 바탕으로 논리를 전개하는 미분기하학에서 위상적 불변량을 통해 3차원 다양체들을 분류할 때 좀 더 직접적으로 다루는 경우가 많고, 위상수학 수업에서 먼저 다루는 교수는 드물다.
위 설명에서도 알 수 있듯이 애초에 중등교육이나 흔한 대학 1학년생 수준에서는 개념을 정확히 이해하기 어려우며, 그로 인해 전공자들에겐 '또모르지'라는 별명으로도 불리는 애증의 과목이다. 대학에서도 수학과 및 수학교육과생이 아니면 인접 전공에서도 접할 기회가 드물다. 수학을 좋아하지만 주로 응용분야를 써먹는 다른 분야의 이공학도들이 위상수학은 뭔가 하고 들어가 봤다가 놀라는 경우도 있다. 이러한 위상수학에 대한 생경한 시각은 외국도 딱히 다르지 않아서, 위상부도체가 주제였던 2016년 노벨물리학상 시상식에서 스웨덴 한림원 심사위원들이 기사를 어찌 써야 할지 막막해하는 기자들 앞에서 도넛과 빵조각을 들고 속성 강의를 벌인 바 있었다. 이런 비전공자들이 위상수학 수업을 듣게 되면 보통은 퀵손절 및 수강포기이지만, 의외로 수학과 학부과정에서 가장 매운맛 수업인 이 위상수학을 수강하며 수학의 매력에 빠져들고 전공까지 바꿔버리는 햇병아리 수학도들도 있다. 학부에서는 F투성이 물리학도였던 허준이 박사는 위상수학을 처음 수강하던 시절을 이렇게 회상했다.
처음 들었던 과목은 기억이 안 나지만, ‘위상수학’ 수업이 가장 기억에 많이 남는다. 졸업은 해야겠고, 한번 손을 놨던 전공과목들은 자신이 없어서 새 출발 해야겠다는 생각에 수학 수업을 신청했고 시간표가 맞아 위상수학을 들었다. 도넛과 컵이 수학적으로 같다는 걸 알려주는 위상수학은 굉장히 재밌는 학문인데, 위상수학책 첫 장은 이해하기 어려운 내용으로 가득하다. 그런데 당시 마음이 복잡했던 내게 딱 맞는 공부였다. 마음을 비우고 집중했더니 오히려 정신이 평안해졌다. 힐링이었다.
- 허준이(동아사이언스 인터뷰)
- 허준이(동아사이언스 인터뷰)
학습자에게 해석학과 선형대수학에서 고교 때 배웠던 직관과 새로 배우는 논리가 충돌한다면, 위상수학에서는 현대대수학과 함께 다루는 대상의 직관성과 추상성이 맞붙는다.[6] 하지만 학부생들로서는 대상을 추상화하는 것이 도저히 납득이 안 된다는 것이 문제. 그나마 현대대수학은 정수론에서 다뤘던 아기자기한 합동식들을 떠올리며 첫 시험까지는 잘 버티는 학생들이 많지만, 위상수학은 첫 수업에서부터 고정관념에 사로잡혀있는 학생들을 사정없이 두들겨 팬다. 특히 교수의 강의가 거리공간의 성질을 추상화해가는 방식이 아닌 밑바닥부터 하나하나 쌓아올리는 방식이라면 괴리감은 더욱 커진다. 결국 이해는 포기하고 달달달 외우는 학생들이 대부분. 학부 수준에선 다른 과목과 달리 시험도 숙제도 계산 노가다가 거의 없다. 크기를 다루는 문제가 없으니까![7] 대신 위상수학 시험은 영작문 시험이라고 봐도 될 정도로 장문의 글을 (대부분의 경우) 영어로 써야 한다.[8] 거의 모든 답안은 충분조건 또는 필요충분조건을 맞추기 위한 양방향은 기본이고, 3각, 심지어는 4각 이상의 동치관계 화살표[9]나 집합의 양방향 포함기호로 단락이 구분되며, 교수와 조교들은 그런 장문의 글에서도 틀린 점을 하나하나 다 찾아내기 때문에 분명 답안지를 제출할 때엔 완벽하게 쓴 것 같은데도 성적표를 받아들면 점수가 우수수 깎여 있다. [10]
여튼 이런 고통스러운 집합론식 공리적 논의를 거치고 나면, 비로소 위상수학은 불변량(invariant)을 다루는 학문으로 탈바꿈한다. 정확히는 위상적 불변량으로, 위상동형사상에서 보존되는 수많은 성질들을 일반위상수학에서 집합론적으로 증명하고 나면, 비로소 그 성질들을 이용해서 더 강력한 불변량을 증명하고 그렇게 증명된 불변량으로 위상동형성을 접근하는 것. 가장 유명한 예시가 오일러 지표 [math(\chi = v - e + f)]의 값을 구하라는 문제를 들 수 있다. 심지어는 대수적 위상수학에선 그 낭자하던 집합론은 어디가고 연속변형성(호모토피, homotopy)와 호몰로지(homology)라는 훨씬 선굵은 개념으로 초점을 이동시킨다.
3. 역사
오늘날 위상수학이 집합 위에서 위상공간을 추상적으로 정의하고 그 성질을 연구하는 것과 달리, 역사적으로는 말 그대로 도형의 모양을 연구하는 데에서 출발했다. 대개 출발을 라이프니츠[11]의 서신이나 오일러가 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제를 해결한 것으로 생각하는데, 이는 레온하르트 오일러가 도형을 크기 등을 무시하고 형태만 '개략적으로' 나타낸 것을 들어, 위상수학적 접근이 나타났다고 말한다.이후 19세기 후반부터 20세기 초반, 펠릭스 클라인, 앙리 푸앵카레가 대수적 위상수학(algebraic topology)의 기본개념인 호모토피(homotopy)와 호몰로지(homology)를 정립되면서 본격적으로 연속성을 연구할 수 있는 대수학 도구가 만들어졌다.
한편, 19세기 후반부터 해석학에서도 수직선 위의 연속함수와 부분집합의 다양한 성질을 연구하고 있었다. 라이프니츠와 뉴턴 시대부터 미적분이 워낙 막장으로 구축되었고, 코시, 바이어슈트라스, 볼차노, 보렐 등 많은 수학자가 미적분학을 (극한부터) 제대로 설명하려고 시도했고, 그 중 많은 성질이 실수 열린집합(open set)의 성질에 의존한다는 것을 밝혔다.
또한, 평행선 공준(parallel postulate)에 대한 "반례"로, 가우스와 리만 등이 구면기하학(spherical geometry) 혹은 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)을 제시했고, 이 기하학들에서도 등장변환(isometry)[12]이라는 연속성에 대해 변하지 않는 성질이 몇몇 있음이 밝혀졌다.
등장변환(등거리사상)이 보존하는 몇 가지 성질은 이름에서부터 알 수 있듯 거리, 각, 그리고 가우스 곡률 이외에도 최소 두 가지 정도가 더 있는데, 등거리사상과 상술한 쌍곡 및 구면기하학을 통틀어 일컫는 리만기하학과의 연관성은 학부에서는 배우지 않는다. 도저히 못 배울 과목은 아니지만, 미분기하학과 위상수학을 깊이 공부해야 하기 때문에, 리만기하학을 제대로 공부하기 전에 졸업, 대학원 입시와 진학이 끝내버리기 때문이다.
이 따로 노는 듯한 아이디어가 게오르크 칸토어의 집합론 관점 하에서 모두 묶는 과정이 20세기 초에 수학기초론에 대한 연구가 활발히 이루어지면서, 펠릭스 하우스도르프(Felix Hausdorff)가 <집합론의 기초 Grundzüge der Mengenlehre>에서 집합론적으로 위상수학의 토대를 놓는 작업을 최초로 했다. 이후 연구가 이루어지며
- 먼저 열린집합(open set)을 집합 위에서 정의하면
- 연속함수(continuous function)를 정의할 수 있고
- 이 연속함수의 모임에 대해 이런 저런 조작을 가해서 호모토피나 호몰로지를 집합론적으로 정립할 수 있고
- 혹은, 어떠한 집합의 열린 집합 모임(위상)이, 잘 알려진 공간(예: [math(\R^n)])과 위상동형(位相同型, homeomorphic)하다고 보고, 기타 미분에 쓸만한 성질을 추가하면 거리 개념이 있는 기하학을 다룰 수 있다는 점을 알게 된다.
4. 세부 분야
4.1. 점-집합 위상수학 (point-set topology)
위상공간론 또는 일반위상수학(general topology)이라고도 한다. 학부 위상수학 수업에서 처음 듣게 되는 내용들이다. 모든 위상수학의 논리적 기초를 집합론적 도구를 사용해 쌓아올린다. 어떻게 보면 대수학보다도 더 추상적인 내용이 많아서 이해하기 어려울 수도 있다.가장 기본적인 형태로써, 공간(space)을 집합(set)으로, 공간에 있는 한 점(point)을 집합에 있는 한 원소(element)로 해석하는 것에서부터 논리 전개를 시작한다. 결국 우리가 말하는 위상공간(topological space) 또한 ‘특정한 정보’가 주어진 ‘집합’일 뿐이다. 이 공간에 대해서 해석하거나 특징을 이끌어 낼려면 이 ‘특정한 정보’가 반드시 있어야 한다.
근데 이 ‘특정한 정보’라는 것이 처음 배우는 사람에게는 묘하고 이해하기 어렵다. 이 ‘특정한 정보’는 열린집합(open set)의 모임이라는, 해당 공간의 부분집합들을 모아둔 녀석들이다. 다만 서로 특정한 특징을 만족하게끔 모아둔 것인데, 이게 바로 해당 공간을 해석하는 원천, 근거가 된다. 이렇게 모아둔 집합을 바로 이 공간의 위상(topology)이라고 부른다. 즉, 위상은 한 집합 위에서 정의된 열린집합 카탈로그이다. 그리고 위상 정보를 가진 공간(집합)이 위상 공간이다.
오직 위상(topology)의 기본정리에 기반해서만 이야기를 이어나가기는 어렵기 때문에 여기에 여러 가지 제약조건이나 형태를 추가하여 우리에게 익숙한 공간의 성질이나 형태를 이끌어내기도 한다. 예를 들어 하우스도르프 공간(Hausdorff space) 성질이나 완비성(completeness)를 추가하면 (이때는 측도공간(measure space)이라는 보장이 필요하지만...) 우리가 익숙한 실수 기반 공간에 대한 광범위한 해석이 가능하다. 또는 콤팩트성(compactness)과 연속함수(continuous function)에 관한 정의를 추가해서 확장된 최대·최소 정리(extreme value theorem)를 증명할 수도 있다.
재미있는 것은, 열린 집합(open set)이 아닌 닫힌 집합(closed set)을 선언하더라도 위의 여러 성질을 갖춘 위상공간을 무리 없이 정의할 수 있으며, 더 나아가 근방(近方, neighbo(u)rhood), 폐포 함수(closure function), 수렴성(convergence) 등을 선언해도 위 개념이 잘 정의되는 위상공간을 정의할 수 있다는 것이다. 초심자 입장에서 접할 수 있는 가장 대표적인 예는 여유한·여가산 위상공간이다. 이들은 각각 유한집합과 가산집합을 폐집합으로 정의하되, 공집합과 전체집합까지 폐집합으로 끼워준 위상공간인데, 이를 초보 학습자들에게 위상공간을 처음 가르치는 과정에서 열린 집합 위주의 서술만 고집하면 사고가 복잡해지기 십상이다. 이외에도 대학원 이상의 고급 과목이나 연구에서 편의를 위해 closed set 등을 선언함으로써 위상공간을 설정하고 빌드업을 시작하는 예가 생각보다 많다. 대표적인 예로 대수 다양체를 공부할 때 등장하는 자리스키 위상이 있다. 하지만 보통은 open set을 선언함으로써 위상공간을 정의한다.
직접 위상공간의 성질만을 다루는 것 외에도 거리공간(metric space)[13], uniform space 등 위상공간과 연관되어 있는 다른 공간의 성질을 다루기도 한다. 이런 성질은 주로 해석학에서 쓰일 것을 염두에 두고 다룬다.
위상수학의 시작은 도형이지만, 집합론으로 정의된 이후부터는 도형과 전혀 관련없는 분야들에서 많이 쓰인다. 정의 자체가 그냥 집합이기만 하면 되는 식으로 엄청나게 일반적이기 때문에, 논리학 등 이산 집합에도 자주 쓰인다. 이런 경우에는 도형에서 다져진 직관력이 전혀 안 통하기 때문에 처음 보는 사람들은 추상성 때문에 이해하기 어렵다. 이런 부류의 증명 중 가장 쉬우면서도 대표적인 것이, 소수가 무한대로 많이 존재한다는 유클리드 정리의 Fürstenberg 버전 증명이다. 정수집합에 기발하게 위상을 정의하고 그것을 통해 간단히 증명했다. 힐렐 퓌르스텐베르크(Hillel Fürstenberg) 교수가 위상을 배운 직후 20살 학부생일 때 발표했다.
간과하기 쉽지만 수학을 깊이 공부할수록 약방의 감초처럼 여기저기 적용하기에 소홀히 할 수 없는 분야가 바로 이 점-집합 위상수학이다. 아래의 '기하학적인' 위상수학과는 달리 이건 수학기초론에 가깝기 때문에, 하위 수학 분야마다 용도에 맞는 적절한 위상을 설정해서 사용하는 경우가 많다. 전공자들의 커리큘럼에서는 학부 4학년, 빨라야 3학년에나 위상수학이라는 수업을 시작하는 게 보통이지만, 이 위상공간론만큼은 2학년, 정말 빠르게는 1학년 때부터 배우는 해석학 입문 과정에서 (훨씬 다루기 쉽고 익숙한 조건으로나마) 처음 소개되곤 한다. 교수가 위상수학의 기본 중의 기본인 이 위상공간론을 신나서 각 잡고 다룰수록 2학년 새싹들은 크게 좌절하는 게 보통이지만, 이 부분은 일찍부터 단련시켜 놓으면 본격적으로 위상수학을 배우기 전에 1~2년간 배울 많은 과목에서 큰 도움이 되기 때문에, 해석학을 배울 때 교수가 진지하게 다루지 않더라도 따로 예습을 해두는 것이 좋다.
다만, 너무 일반적인 경우를 다루고 있다보니 도넛-컵 같은 위상동형사상에 보존되는 성질을 체계적으로 다루는 느낌은 아래에 나오는 심화 분야들에서 훨씬 강하고, 그 심야 분야들은 점-집합 위상수학 자체보다는, 논리적 기반을 세팅하는 데 쓰인 뒤 응용 성질에 집중한다. 오히려 해석학 분야, 특히 일반적인 벡터공간을 다루는 함수해석학 같이 너무 일반적인 케이스를 다루다 보니 연속이란 개념을 사용하기 위한 적절한 가공이 필요한 곳에서 일반위상 개념을 다양하고 심도있게 마주치게 된다.
4.2. 대수적 위상수학(algebraic topology)
경로의 연속적 변형. 출처
위상공간의 대수적 불변량에 대해 공부한다.
위상공간 중에서도 특히 성질이 좋은 것, 가령 다양체(manifold)나 CW 복합체(CW complex)의 경우 보통 '도형' 하면 떠올리는 구, 다면체, 혹은 그래프[14]와 같은 것을 공부한다. 일반화하면 compactly generated weak Hausdorff space를 다룬다. 이는 이 조건이 수반함자를 공부할 때 매우 중요하게 쓰이기 때문.
이 성질은 대개 위상공간의 위상동형보다는 호모토피류에만 의존하는데, 기초적인 예시로는 호모토피군, 호몰로지군, 코호몰로지환 등이 있다.
좀 더 구체적인 예로, 공간 위의 원이 연속적으로 변형되어(continuously deform; homotopy) 한 점이 될 수 없을 경우, 이 경로는 공간 내의 '구멍'에 의해 이러한 변형이 막힌다고 해석할 수 있다.
경로의 시작점과 끝점이 같으면, 경로의 연속적인 변형에 대한 동치류를 정의할 수 있는데, 이 동치류 집합 위에서 군(群, group)을 만들어 "계산"할 수 있고, 이러한 성질은 공간의 호모토피류에 따른 불변량이다.
이러한 조작을 하고 나면, 대수학에서 군, 모듈 등에 대한 성질을 가지고 공간에 대한 성질을 계산만으로 예측할 수 있고, 그에 따른 결과로 브라우어 고정점 정리(Brouwer fixed point theorem), 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam theorem)[15]등이 있다.
푸앵카레 추측 역시 3차원 공간의 대수위상학적 성질에 대한 내용이다.[16]
4.3. 미분 위상수학(differential topology)
미분위상수학이란, 미분 다양체의 불변량을 공부하는 학문이다. 두 개의 미분다양체가 위상동형이라 하더라도 미분동형이 아닐 수 있는데, 그 구체적인 예시를 찾는 법은 쉽지 않다.1956년 밀너는 7차원 구에 적어도 4개의 미분구조가 있음을 발표하고 그 업적으로 1962년 필즈상을 수상했다. (그 후 밀너는 7차원 구에 정확히 28개의 미분구조가 있다는 것을 증명했다.)
유클리드 공간 [math(\R^n)]의 구는 4차원을 제외하고는 모두 유일한 미분구조 [math(S^{n-1})]만 있지만, 4차원에서는 비가산무한개 만큼의 미분구조가 있다는 결과를 도날슨이 증명하고 1986년 필즈메달을 수상했다.
- 스토크스 정리도 참고
4.4. 기하 위상수학(geometric topology)
현재 위상수학 연구의 주 대상. 저차원 다양체를 분류하는 문제에 대한 분야이다.다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 비슷한 위상공간이다. 구를 예로 들어보자면, 구를 국소적으로 확대하면 평면처럼 생각할 수 있다. 지구는 구형이지만 이 위에서 지구의 몹시 작은 부분만 보고 있는 사람이 보기에 땅이 평평한 평면처럼 보이는 것에 대해 생각해 보면 이해가 쉬울 것이다. 즉 다양체는 유클리드 공간이 아닐 수 있지만, 그 위의 아주 조그만 영역에서는 유클리드 공간처럼 보이는 위상공간이다.
이런 다양체는 일반적인 위상공간보다 훨씬 좋은 성질이 있다. 1,2차원의 다양체는 너무 자명한 성질만 있고, 5차원 이상의 다양체들은 h-cobordism 정리에 의해 모두 비슷하여 수학적인 의미가 적지만, 3차원과 4차원 다양체에 대해서는 굉장히 특이한 성질이 많다.
매듭이론이 3차원 다양체를 다루는 기하학적 위상수학의 분야 중 하나이다.
5. 다른 학문과의 연관성
일반 상대성 이론에서 '공간의 휘어짐'이란 개념을 수학적으로 표현하는 데 미분기하학이 상당수 쓰였으며, 로저 펜로즈가 1965년 위상수학 개념을 활용하여 특이점 정리를 증명하고, 스티븐 호킹이 이를 빅뱅 특이점 연구에 도입하면서 위상수학은 우주론에 필수적인 요소로 자리잡았다.양자장론에 있어선 폴 디랙이 1931년 자기 홀극을 도입했을 때부터 위상수학적 아이디어가 쓰였고, 60,70년대 들어 류드비크 파데예프, 시드니 콜먼이나 헤라르뒤스 엇호프트 등은 양자장론의 해들을 분류하고 성질을 파악하는데 위상수학을 적극 활용하기 시작했다. 80년대에는 끈이론의 칼라비-야우 다양체라는 위상수학적 구조를 연구할 필요가 생기면서 위상수학의 중요성이 더욱 높아졌다.
고체물리학 전공자들에게도 위상수학은 모르면 안 되는 개념이 되어가고 있다. 그래핀의 발견과 맞물려 나오기 시작한 위상부도체(topological insulator)의 대두로 기존 밴드이론으로 물질을 이해하던 것에서 위상 개념이 추가되었기 때문이다.
이런 배경이 생겨난 이후 전자공학에도 쓰이기 시작했다. AMD ZEN 시리즈의 칩간 통신에도 위상수학적 요소가 들어가 있다. 또한 회로이론 중 등가 회로 분석에서도 위상수학을 이용한 해결 감각이 크게 요구된다.
최근 기계학습, 통계학 쪽의 고차원 데이터 분석을 할 때도 쓰이기 시작했다. 이러한 분야를 위상 데이터분석혹은 topological data analysis라고 한다.
분자생물학에서도 DNA의 전사와 번역, 단백질 구조(단백질 접힘)를 연구하는 데 위상수학의 하위 과목인 매듭이론을 접목하고 있다.
경제학과 박사에 유학할 의향이 있는 학생들도 듣고 있다. 수학적 배경을 보여주는 신호로서 어필하기도 좋고, 실제로 미시경제학 등에서 부동점 정리(fixed-point theorem)[17] 등이 사용되는데 위상수학을 이용하여 증명하면 아주 아름답다. 또한, 일반균형(general equilibrium)을 분석할 때도 부동점 정리는 물론 높은 수준의 미분위상수학이 쓰이므로[18] 미시경제학의 미학을 느끼고 싶다면 들어 두는 것이 좋다.
6. 교재
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{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[위상수학/교재#|]] 부분을}}}7. 기타
| 위상수학을 이용한 문제풀이의 예시 |
모두가 잊어버리고 있지만 한국에서는 중학교 1학년 수학 시간에서 배우는 다면체에 잠깐 등장한다.[20] 단일폐곡선의 개념, 뫼비우스의 띠, 오일러의 공식, 한붓그리기 규칙 등을 간단히 언급하고 지나가는 정도이지만 그 내용이 얼마나 심오하고 혁신적인가는 잘 이야기되지 않는다.[21] 애초에 가르치는 수학 선생님들조차도 대수학, 고전기하학, 해석학 등 중고등학교 수학의 다른 분야에 비해 이 쪽에는 정통한 경우가 드물다.[22] 가끔 수학에 큰 애착을 가진 선생님들이 수학 잘하는 제자들에게 신나서 가르치는 정도.
지하철 노선도가 지금처럼 '간결하게' 그려질 수 있게 된 것은 이 위상수학의 발달 덕분이다.[23] 처음에는 지도에다가 본을 떠서 그린 것처럼 상당히 '복잡하게' 그려졌었는데, 이로 인하여 오히려 승객이 감소하게 되자 지금과 같은 형태의 노선도가 나오게 되었다. 이후 전세계 지하철 노선도는 지금처럼 간결한 형태로 나오게 된다. 물론 지도를 본떠서 만든 노선도도 존재한다.[24] 뉴욕 지하철의 경우는 공식 노선도가 지도형 노선도이며, 홍콩 지하철도 원래 영국 식민지 시절 영국식 위상노선도였으나 중국으로 넘어간 이후 대륙의 기상으로 노선이 늘어나면서 위상노선도를 폐지하고 지도형으로 바꿨다. 산까이(신계)지역 노선도 표기문제 때문에 바꿀 수밖에 없었다고.
한때 인터넷을 달군 빨대 구멍 개수 문제의 키워드로 주목받기도 했다.
해석학을 뛰어넘는 기괴한 반례들이 많은 분야로도 유명하다. 아예 해당 반례들을 모은 책(Counterexamples in Topology)도 있을 정도.
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| 문헌 | 분류:물리학술지 | }}}}}}}}} |
위상부도체의 등장으로 위상수학 이론이 물리학에서도 쓰이기 시작하였다.
[1] Stephan C. Carlson, "Topology - introduction". Encyclopaedia Britannica "…referred to as “rubber sheet geometry,” in which two objects are considered equivalent if they can be continuously deformed into one another through such motions in space as bending, twisting, stretching, and shrinking while disallowing tearing apart or gluing together parts. The main topics of interest in topology are the properties that remain unchanged by such continuous deformations." 발췌 후 번역 인용.[2] 동위체, Isotope[3] 역사적으로는 연속을 엡실론-델타 논법으로 집합론적으로 정의하고 기술하는 방법을 연구하다가, 열린 집합의 위력을 깨닫고 아예 열린집합의 직관으로부터 다시 서술했기 때문이다. 열린 집합의 위력을 느낄 수 있는 단적인 예시를 들자면, 열린구간 [math((0, 1))]과 거기에 양 끝점만 추가한 닫힌구간 [math([0, 1])]이 위상동형이 아니다.[4] 굳이 따지자면 일반위상수학보다는 그래프 이론의 동형에 가깝다.[5] 위상수학 교과서에서 '크기'라는 말은 오히려 다른 뉘앙스로 쓰이곤 한다. 예를 들어 폐포의 정의는 어떤 집합을 포함하는 '가장 작은' 폐집합이라고 간단히 서술되곤 하는데, 이는 '어떤 집합을 포함하는 모든 폐집합'들의 교집합이라는 뜻이다. 또한 자명위상(trivial topology, 비이산위상(indiscrete topology))은 가장 작은 위상이고 이산위상(discrete topology)은 가장 큰 위상이라는 서술도 교과서나 교수에 따라 간혹 나오곤 하는데, 여기서의 크고 작음은 위상이 거친지 세밀한지를 뜻한다. 흔히 크기 하면 떠올리는 '거리'에 관한 개념이 위상수학 책에서 나오기는 하는데, 4가지 거리공리를 만족하는 거리함수에 의한 '거리공간(metric space)'이라는 내용으로 일반화하여 다룬다. 허나 이런 거리공간을 다루는 챕터에서도 계산의 비중은 해석학개론이나 선형대수학 등의 전공기초 과목에 비하면 매우 적은 편.[6] 학부 해석학은 주로 실/복소 해석이기에 나름 직관적인 대상을 다루고 선형대수학 또한 나름 익숙한 사칙연산이 자연스레 성립하는 체와 벡터 공간을 다룬다. 하지만 위상수학과 현대대수학에서 저런 주제들은 매우 좋은 성질을 추출했을 뿐 어디까지나 다루는 대상 중 하나에 불과하다. 쉽게 말해 선형대수학와 해석학에서는 논리적인 방법으로 직관적인 대상을 다루는데 반해 위상수학과 현대대수학은 논리적인 방법으로 추상적인 대상을 다룬다.[7] 해석학의 주요 토픽을 일반화한다고 함수공간 같은 주제까지 위상수학스럽게 다루면, 엡실론과 델타를 어딘가 나사빠진 이상한 거리공간(...)에서 짜내야 하는 지옥을 맛볼 수는 있다. 박대희저 교과서 극후반부 16단원에서 아스콜리 정리와 스톤-바이어슈트라스 정리까지 행군하며 벌어지는 혈투는 그야말로 장관이다. 물론 대개의 학부 수업에선 시간이 없어서라도 여기까지 달리지 못한다. 실해석학 시간에 실수로만 공부하기에도 숨막히는 내용을 3학년 나부랭이가 위상수학의 언어로 능숙히 해낼 거라 기대하는 교수도 없고...[8] 사실 수학 교과서의 영어 문장은 천편일률적이기 때문에 영어권 대학에서 에세이를, 혹은 국내외 대학원에서 외국 학술지에 논문을 써내야 하는 수준으로까지 어렵지는 않다. 국내 대학에서 영어 교과서를 쓰되 강의는 한국어로 하더라도 몇 년을 반복하다 보면 시험 답안에 필요한 영어 문장과 단락 정도는 그럭저럭 쓸 수 있다. 외서 번역 혹은 임용고시를 목적으로 한국어를 제1순위로 놓지 않는 한 말이다. 그리고 전공수학 시험은 한국어로 답한다고 더 쉬워지는 시험도 아니다. 어차피 용어는 한자어 혹은 그대로 음차한 단어로 대체될 뿐이다. 심지어는 이마저도 수리논리학을 접목해 모두 기호로 대체할 수 있으니, 어떤 언어로 작성하는지는 상관 없다. 오직 교과서에 적힌 난해한 수학 기호들의 조합이 얼마나 논리적으로 전개되는지가 관건이다.[9] 예를 들어 위상수학의 기초가 되는 집합론의 내용 중 정렬원리, 선택공리, 하우스도르프의 극대원리, 조른의 보조정리가 모두 동치임을 4단계에 걸친 순환 증명으로 깔끔하게 써보면 매우 아름답다. 한국교원대학교 수학교육과의 한 학생이 작성한 문서를 보면 그 참맛을 느낄 수 있다. (박대희저 교과서에도 비슷한 증명이 나온다.) 귀류법 증명을 시도하면서 증명과정에 필요한 보조정리를 확보하기 위해 또 귀류법을 꺼내들며 두뇌가 360도 돌아버리는 아스트랄한 증명도 심심찮게 나온다. 보통의 학부 집합론 커리큘럼에서는 이런 선택공리 부분을 제외하면 증명이 나뉘어봤자 양방향, 3방향 선에서 끝나는 경우가 많지만, 위상수학 커리큘럼에서는 동치 명제들의 순환적 증명이 이렇게까지 많이 늘어지는 경우가 심심찮게 나온다. 비슷한 예로는 선형대수학에서 가역행렬의 성질을 다루면서 십수개 이상의 동치조건들을 책 전체에 걸쳐 쌓아나가는 경우가 있다. 사실 위상수학이나 대수학에서도 공부를 더 하다보면 선택공리와 동치인 정리가 여러 개 더 나오기는 하지만 다소 챕터간 간격이 벌어져있기 때문에 일단 초반부에서는 4각 고리로 끊어주고 선택공리와 동치인 다른 명제를 확보하려면 필요한 재료를 조립하는 진도를 나가는 것이 일반적.[10] 그렇지만 시험에서는 완벽하게 알고 있지 않더라도 조금이라도 적는 것이 낫다. 필요충분조건임을 증명하는 문제에서 쉬운 한 쪽 방향만 보이고, 어려운 방향을 보이지 못한 경우에도 부분점수가 약간씩 있는 경우가 많다.[11] Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Hrsg. von C. I. Gerhardt. Mit Unterstützung der Königl. Preussischen Akademie der Wissenschaften. p. 569-578 참고.[12] 거리함수 [math(d)]가 정의되어 있을 때, 두 거리공간 [math((X, d_X))], [math((Y, d_Y))]에 대해 [math(d_X(a,b)=d_Y(f(a), f(b)))]를 만족하는 함수 [math(f:X\to Y)]. 이 [math(f)]는 존재할 수도 있고 하지 않을 수도 있다.[13] 집합 위에 거리함수(metric function)를 준 구조. 그 자체로 위상공간을 하나 만들기 때문에 위상공간의 성질에 의존하는 부분이 많지만, 거리공간이기 때문에 가지는 독특한 성질도 있다. 완비성(completeness), 베르 범주 정리(Baire category theorem) 등.[14] 점과 선으로 이루어진 도형[15] 어느 순간이든 지구 위에서 반대편과 온도가 같은 지점이 있다.[16] 그런데 재미있는 건 이 문제를 증명한 그리고리 페렐만은 이 문제를 대수위상수학이 아닌 미분기하학을 이용하여 풀었다는 것이다. 서스턴의 기하화 추측을 증명함으로써 그것의 필요조건에 해당하는 푸앵카레 추측 역시 참임을 증명한 것인데, 미분기하학은 1990년대 이후로는 대수기하학이 크게 뜨는 반작용으로 기하학자들이 다소 경시하는 방법론이었기 때문에 페렐만의 논문을 보고 당황하는 학자들이 꽤 있었다. 사실 난제를 생판 다른 분야를 이용해 푸는 예는 꽤 있다. 당장 페르마의 마지막 정리의 최초 증명은 순수 정수론이 아닌 타원곡선과 모듈러성 정리로 이루어졌는데, 이는 원래 대수기하학에 나오는 떡밥이다. 미분위상수학이라는 분야도 있으니만큼 FLT의 증명에 비하면 페렐만의 접근은 오히려 평범(?)한 편이라 할 수도 있을 것이다.[17] 여러 부동점 정리 중 가쿠타니 부동점 정리는 게임 이론에서 '참가자와 전략이 유한한 비협조게임'의 혼합전략 내시 균형이 존재함을 보일 때 사용된다. 부동점 정리 외에도 게임 이론에서 위상수학이 사용되는 사례로, 불완전 정보 무한 반복 게임에서 전래 정리(folk theorem)를 적용할 때의 특정 전략 프로필이 열린 조밀 집합을 구성함을 보이기도 한다.[18] 미분위상수학을 이용해 일반균형이론을 연구한 대표적인 경제학자 중에는 다름 아닌 대학원 수준 MWG 고급 미시경제학 교재의 저자 중 한 명인 안드레우 마스쿨렐(Andreu Mas-Colell)도 있다. 다만 미분위상수학이 수학과 대학원 수준의 과목인 만큼 17장의 푸앵카레-호프 정리와 유사한 '지표 정리(index theorem)'와 '횡단성 정리(transversality theorem)'는 증명 없이 제시된다.[19] 정사각형이 존재하냐는 질문은 미해결이다가 얼마 전에 증명되었다. 2020년에 구 버전 영상에 달린 댓글에 따르면 임의의 비율의 직사각형이 존재한다는 증명이 2020년 5월에 나왔다고 한다. THE RECTANGULAR PEG PROBLEM[20] 물론 이는 교과서마다 다를 수 있다.[21] 화학(특히 유기화학)에서 분자의 루이스 전자점식을 그릴 때도 이 내용을 알면 요긴하다. 가령 사슬형 포화 탄화수소의 분자식이 왜 CnH2n+2인지를 이걸로 증명할 수 있다.[22] 임용고시에서 위상수학도 범위에 들어가지만 수학교사들도 임용고시 합격하면 포맷행이다. 게다가 그리 심도 있는 내용은 거의 다루지 않고 범위 또한 위상공간론을 크게 벗어나지 않기에 임용수준에서는 위상수학을 잘했다한들 정통했다고 하기는 어렵다.[23] 위상기하학이 등장하기 오래전 로마제국의 도로 지도인 포이팅거 테이블은 지하철 노선도와 비슷하게 방위와 축척을 무시하고 그려져있다. 여행자들이 지도를 휴대하기 편리하도록 길고 좁은 두루마리로 제작되었기 때문인데, 로마 제국의 주도 도로는 대단히 잘 정비되어 있었기 때문에 방위와 축척을 무시한 도로지도 만으로도 로마제국 전역을 여행하는 것이 가능했다.[24] 주로 역 플랫폼에서 볼 수 있다.