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Ising Model
1. 개요
물질의 자성을 기술하는 가장 간단한 모형. 독일의 물리학자 에른스트 이징[1](Ernst Ising)과 빌헬름 렌츠(Wilhelm Lenz)가 개발하였다. 다른 모든 상호작용을 배제하고 계를 자기 쌍극자(혹은 1/2 스핀)를 가진 입자들의 모임으로 간주하고, 그 입자들간의 자기적 상호작용과 외부자기장만 생각해서 각종 통계역학적 변수와 성질들을 파악해내는 데 중요한 역할을 하는 모델이다. 고체물리학 등에서 쓰이는 통계모델들 중에 가장 간단한 편에 속한다.1, 2차원 이징 모형은 고체물리에서 해석적인 정확한 해를 구할 수 있는 몇 안 되는 모형이라 중요하게 평가받는다. 물론 구할 수는 있다이지, 풀이과정 자체는 쉽지 않다.[2] 1차원 이징 모형 계산만 해도 전송행렬법(Transfer-Matrix Method)이라는 혼자서는 절대 못 떠올릴만한(...) 테크닉을 써서 구하는 데다가, 2차원 이징 모형쯤 가면 정말 이런 걸 어떻게 생각했나 싶을 정도로 신기한 방법과 변수변환을 도입해가면서 풀어나간다. 다만 1차원 이징 모형은 그렇게 고생하며 풀었는데 결국 1차원 모형으로는 자성을 설명할 수 없다는 것이 드러나며, 2차원 이상의 이징 모형부터 자성체의 상전이를 예측할 수 있게 되었고, 라르스 온사게르가 밝힌 2차원 정사각형 격자 이징 모형의 해로부터 강자성-상자성 임계 온도인 퀴리온도까지 유도할 수 있다.
한편 3차원 이징 모형은 아직도 해석적인 해를 구하지 못했다. 4차원 이상은 평균장(Mean Field) 근사라는 테크닉을 써서 그나마 근사적인 해를 구할 수 있다.
2. 내용
1/2 스핀들의 모임들만으로 구성된 계를 생각한다. 이 때 외부 자기장을 [math(B=\dfrac{h}{\mu})]라고 하면, 계의 스핀들 사이의 상호작용에 의한 해밀토니안은 다음과 같이 기술된다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} = -\sum_{\left<i,j\right>} J_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j} - h\sum_{i}\sigma_{i} \end{aligned})] |
하술할 내용들은 Plischke, Bergersen의 Equilibrium Statistical Physics, 3rd ed.를 일부 참고했다.
2.1. 1차원 이징 모형과 풀이
1차원, 즉 일직선상으로 N개의 스핀들이 나열돼있는 계에서 위의 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} = -J\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}\sigma_{i+1} - h\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i} \end{aligned})] |
여기서, 주기 경계조건 ([math(N+i=i)], 즉 1차원상의 맨 처음 스핀과 맨 마지막 스핀이 인접해있다는 조건)을 적용하면,[5] 위 해밀토니안은 다음과 같이 기술할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} = -\sum_{i=1}^{N}\left[J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1}) \right] \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} Z &= \sum_{\textsf{possible states} } \exp(-\beta \mathcal{H}) \\ &= \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} \exp \left( \beta \sum_{i=1}^{N}\left[J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1}) \right] \right) \\ &= \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} \exp \left[ \beta ( V(\sigma_{1}, \sigma_{2}) + \cdots + V(\sigma_{i}, \sigma_{i+1}) + \cdots + V(\sigma_{N}, \sigma_{1} ) \right] \end{aligned})] |
이때 포텐셜 [math( \displaystyle V(\sigma_{i}, \sigma_{i+1}))]는 다음과 같이 두었다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1}) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} &M_{1,1} = e^{\beta(J+h)} \\ &M_{1,-1} = M_{-1,1} = e^{-\beta J} \\ &M_{-1,-1} = e^{\beta(J-h)} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} Z = \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} M_{\sigma_{1}, \sigma_{2}}M_{\sigma_{2}, \sigma_{3}} \cdots M_{\sigma_{N-1}, \sigma_{N}}M_{\sigma_{N}, \sigma_{1}} = \rm{Tr}(M^{N}) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} M = \left( \begin{array}{rr} e^{\beta(J+h)} && \;\; e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} \;\; && e^{\beta(J-h)} \end{array} \right) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} Z = \mathrm{tr}(M^{N}) = \mathrm{tr}(M_{\textrm{diag}}^{N}) = \lambda_{1}^{N} + \lambda_{2}^{N} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} (&e^{\beta (J+h)} - \lambda)(e^{\beta (J-h)} - \lambda) - e^{-2\beta J} = 0 \\ &\Rightarrow \lambda = e^{\beta J} \cosh (\beta h) \pm \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} Z \simeq \lambda_{1}^{N} = \left[ e^{\beta J} \cosh (\beta h) + \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}} \right]^{N} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} z = e^{\beta J} \cosh (\beta h) + \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} m = \left(\frac{\partial f}{\partial h}\right)_{T} = \frac{1}{\beta}\frac{\partial \ln z}{\partial h} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} m = \frac{\sinh (\beta h)}{(\sinh^{2}(\beta h) + e^{-4\beta J})^{1/2} } \end{aligned})] |
2.2. 2차원 이징 모형과 풀이
2차원부터는 스핀의 배치가 1차원에 비해 굉장히 자유로워지고, 그에 따라 스핀의 분포에 따라 각 스핀에 인접하는 스핀의 수 등이 천차만별이지만, 여기서는 계산의 편의를 위해 스핀들이 정사격형 격자점상에 규칙적으로 나열돼있다고 가정하자. 이렇게 되면, 한 스핀에 인접하는 스핀은 (스핀들이 존재하는 면을 위에서 봤을 때) 동서남북, 네 방향으로 각각 하나씩 존재하게 돼서 계산이 수월해진다.2차원 이상부터는 이징모형을 통해 유한온도에서의 2차 상전이를 예측할 수 있고, 이는 2차원 이상의 이징모형을 통해 실제의 자성체를 이해할 수 있다는 말이 되며, 이징 모형이 중요하게 평가받고 학부과정에서도 배우는 이유가 된다.
해석적인 해는 1944년에 노르웨이계 미국인 물리학자 라르스 온사게르가 구했다. 자세한 과정은 다음 영문 위키백과 문서 참고.#
과정은 물론이고 결과식조차 참으로 더럽다(...). 그러나 이마저도 외부 자기장 H가 없다(H = 0)는 조건에서 구한 것이다. H가 0이 아닌, 일반적인 경우에 대해서는 아직도 해석적인 해가 구해지지 않았다.
2.3. 3차원
3차원 이징 모형에서는 해석적인 해는 아직까지 존재하지 않고, 오직 수치해석적인 계산만이 가능하다.2.4. 평균장 근사를 이용한 풀이
4차원 이상부터는 평균장 정리를 이용한 근사에 계산결과가 수렴함을 확인할 수 있으며, 여기에서도 유한 온도에서의 상전이가 나타나지만 세부적인 특성은 2차원이나 3차원과는 다르다.3. 관련 문서
[1] 독일식 발음으로 "이징"이 맞으나 영어권 국가의 사람들은 "아이징"이라 발음하는 경우가 많다.[2] 물리학과 학부생 4학년쯤은 되어야 만나볼 정도.[3] 예를들어 1차원이라면 n번째는 n-1과 n+1까지만 고려하겠다는 뜻. 계산을 간편하게 하기 위해 인접한 스핀들간의 상호작용만 생각한다는 것이다. 멀리 떨어진 스핀들간의 상호작용까지 고려하기 시작하면 이 문제를 해석적으로 풀 수 없다.[4] 또는 파울리 스핀 행렬로 해석할 수 있다.[5] 이렇게 해도 결과에 유의미한 차이가 나오지 않음을 보일 수 있다.[6] 다만, [math(T \rightarrow +0)]의 경우, 즉 [math(\sinh^{2} (\beta h) \gg e^{-4\beta J})]에서는 [math(m = 0)] 부근에서 불연속적인 변화가 일어난다.