마요라나 페르미온

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1. 개요2. 설명

2.1. 유도2.2. 마요라나에 관하여2.3. 관측 및 응용

Majorana fermion

1. 개요

물질과 반물질의 중간 선상에 놓인, 즉, 자기 자신이 곧 자신의 반물질인 성질을 가진 입자를 가리킨다.

2. 설명

스핀 1/2 입자를 기술하는 가장 성공적인 방식인 디랙 장(Dirac field)은 이름으로부터 알 수 있다시피 폴 디랙에 의하여 고안되었다.[1] 디랙 장의 특징 중 하나로는 자기 자신과 다른 복소수 켤레를 가지고 있다는 것인데, 이는 디랙 장으로 기술되는 입자가 반입자를 가지고 있다는 특징을 야기한다. 참고로 디랙 장의 특수한 형태로 보이는 바일 장(Weyl field) 역시 스핀 1/2 입자를 기술하는 장인데, 디랙 장이 질량을 가진 입자만 기술하는 반면 바일 장은 질량이 0인 입자만 기술한다. 사실 바일 장은 항상 어떤 복소수 켤레에 해당하는 장을 가지며[2], 켤레인 장과 간단한 상호작용이 있다고 한다면 그게 곧 디랙 장이 되는 형태를 가진다. 그리고 그 상호작용을 기술하는 항이 곧 디랙 장에서의 질량항이다. 이 디랙 장과 바일 장은 표준모형에서 쿼크와 렙톤을 잘 기술한다.[3][4]

그런데 바일 장에 질량항을 주는 방법이 이거 하나만 있지 않다는 것을 이탈리아의 이론 물리학자 에토레 마요라나(Ettore Majorana, 1906-1938?)가 발견하였다.

2.1. 유도

자유 왼손잡이 바일 장 (free left-chiral Weyl field) [math(\chi)]가 있다고 가정하자. 디랙 방정식에서 질량을 0으로 둔 다음 left chiral 성분과 right chiral 성분으로 방정식을 쪼개는 방식을 통해 자유 바일 장이 다음 방정식을 만족해야 함을 알 수 있다.

[math(\displaystyle i \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \chi = 0.)]

여기서 [math(\bar{\sigma}^\mu)]는 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle \bar{\sigma}^0 = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \bar{\sigma}^1 = -\left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \bar{\sigma}^2 = -\left( \begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right), \bar{\sigma}^3 = -\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right).)]

뒤 세 행렬들은 다름 아닌 파울리 행렬들(Pauli matrices)에 마이너스를 붙인 것이다. 더 자세한 것은 스피너(물리학) 문서를 참고하여도 좋다. 이 문서에 기술되어 있다시피 저 방정식은 로런츠 변환에 대하여 불변이다. 구체적으로, 어떤 [math(A\in)] [math({rm SL}(2, mathbb{C}))]에 대하여 [math(x^\mu \to \Lambda(A)^\mu_\nu x^\nu)]와 같은 로런츠 변환이 작용되었다고 했을 때, [math(\chi \to (A^{-1})^\dagger \chi)]와 같이 변환되고 위 방정식은 다음과 같이 변환된다.

[math(\displaystyle i \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \chi \to i \bar{\sigma}^\mu ( (\Lambda(A)^{-1})^\mu_\nu \partial_\mu ) ( (A^{-1})^\dagger \chi ) = A \left( i \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \chi \right) = 0.)]

([math(\Lambda(A))]와 이들 변환에 관한 것 역시 스피너 문서를 참고할 것.)

이제 여기에 [math(\chi)]와 선형이면서 미분이 들어가지 않고 위 방정식과 같은 꼴의 변환이 되는 항이 없는지 생각해 보자. 좀 더 구체적으로, [math(\chi)]로 구성된 어떤 항 [math(X)]가 존재해 위와 같은 로런츠 변환에 대하여 [math(X \to AX)]로 변환되는 것이 없는가 하는 것이다. 디랙 방정식은 [math(\chi)]와 쌍을 이루는 어떤 자유 오른손잡이 바일 장 (free right-chiral Weyl field) 하나가 더 있어서 그것과 엮이는 것으로 이를 해결할 수 있었지만, 지금 여기서는 그런 추가적인 장 없이 [math(\chi)] 하나만 가지고 그런 항을 구성하고 싶다는 것이다.

마요라나가 제시한 것이 바로 이에 대한 답, 즉 위 조건들을 만족하는 어떤 항이다.

[math(\displaystyle im \sigma^2 \chi^*)].

여기서 [math(\sigma^2 = \left( \begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right))]이고 (파울리 행렬의 두번째 행렬이다) [math(\chi^*)]는 [math(\chi)]의 복소수 켤레이다. 이는 다음과 같이 변환될 것이다.

[math(\displaystyle \chi^* \to (A^{-1})^T \chi^*)].

이제 [math(A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right))]라 쓰고 다음을 보자. ([math(A \in SL(2, \mathbb{C}))]이므로 [math(ad - bc = 1)]임을 아래에서 사용하였다.)

[math(\sigma^2 (A^{-1})^T = \left( \begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right) \left( \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)^{-1} \right)^T)]
[math(= \left( \begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} d & -c \\ -b & a \end{array} \right))]
[math(= i\left( \begin{array}{rr} b & -a \\ d & -c \end{array} \right))]
[math(= i\left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right))]
[math(= A \sigma^2)].

이로부터 로런츠 변환에 불변하는 자유 왼손잡이 스피너에 대한 또다른 장 방정식이 다음과 같이 존재한다고 말할 수 있게 되었다.

[math(i \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \chi + im \sigma^2 \chi^* = 0)].

한편, 위 방정식을 만족하는 [math(\chi)]가 [math((\partial^2 + m^2) \chi = 0)] 또한 만족한다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 저 새로운 항이 다름 아닌 질량항 역할을 한다는 것을 알 수 있다. 즉, 이 새로운 스핀 1/2 입자는 질량을 가지지만 한손잡이인 입자이다. 이러한 입자를 마요라나 페르미온이라고 부른다.

이제 이 결과를 확장해 보자. 조금 전의 관찰을 통하여 [math(i\sigma^2 \chi^*)]가 오른손잡이 스피너처럼 로런츠 변환을 한다는 것을 보았다. 그러면 [math(\displaystyle i \sigma^\mu \partial_\mu \left( i\sigma^2 \chi^* \right))]는 왼손잡이 스피너처럼 변환할 것이다.

(단, 여기서 [math(\sigma^\mu)]는 다음과 같이 정의된다.)

[math(\displaystyle \sigma^0 = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \sigma^1 = \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \sigma^2 = \left( \begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right), \sigma^3 = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right).)]

이로부터 위 장방정식을 만족하는 [math(\chi)]는 다음과 같은 로런츠 변환에 공변하는 방정식 역시 만족할 것임을 기대할 수 있고, 실제로 이를 쉽게 보일 수 있다.

[math(i \sigma^\mu \partial_\mu (i\sigma^2 \chi^*) - im \sigma^2 (i\sigma^2 \chi^*)^* = 0)].[5]

여기서 다음을 생각해 보자.

[math(\psi = \left( \begin{array}{c} \chi \\ i\sigma^2 \chi^* \end{array} \right))].

그리고 다음을 정의하자.

[math(\mathcal{C} = \left( \begin{array}{cc} -i\sigma^2 & 0 \\ 0 & i\sigma^2 \end{array} \right))]

이를 디랙 감마 행렬로 쓰면 [math(\mathcal{C} = i\gamma^0 \gamma^2)]로 쓸 수 있다. 이제, 위 두 장방정식을 취합하면 다음 방정식을 얻을 수 있다.

[math(i \gamma^0 \gamma^\mu \partial_\mu \psi + m \mathcal{C} \psi^* = 0)].

그런데 사실 다음이 성립한다.

[math(\mathcal{C} \psi^* = \mathcal{C} \left( \begin{array}{c} \chi^* \\ i\sigma^2 \chi \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -i\sigma^2 \chi^* \\ -\chi \end{array} \right))]
[math(= -\gamma^0 \psi)].

이로부터 위 장방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = 0)].

정확하게 디랙 방정식이 나왔다. 어떻게 보면 위에서 소개한 질량을 가지는 단일 왼손잡이 입자는 디랙 방정식의 특수한 한 해이기도 하다.

이 꼴이 더욱 더 중요해지는 이유가 있는데, 바로 다음과 같은 변환이다.

[math(\psi \to -\gamma^0 \mathcal{C} \psi^* = -i\gamma^2 \psi^*)].

디랙 방정식은 이 변환에 대하여 불변이다. 그리고 사실 이 변환은 다름 아닌 전하 반전 변환이다. 즉, 입자와 반입자를 뒤바꾸는 변환인 것이다. 사실 일반적인 디랙 스피너는 이 변환을 가한 결과가 그 전과 같지 않다. 즉, 디랙 스피너는 구분되는 입자와 반입자를 가진다. 그런데 위에서 봤다시피 지금의 [math(\psi)]는 이 변환을 취해도 그 전과 똑같다. 이로부터 마요라나 페르미온의 입자와 반입자는 같다는 것을 알 수 있다.

그 외 응집물리 쪽 이야기는 위상부도체 문서 참조.

2.2. 마요라나에 관하여

이 입자의 존재를 처음 예측한 이탈리아의 이론 물리학자 에토레 마요라나(Ettore Majorana)는 1938년에 팔레르모에서 나폴리로 배를 타고 가는 도중에 실종되었다. 그의 실종이 사고나 범죄에 의한 것인지, 아니면 스스로 모습을 감춘 것인지는 명확하지 않으나, 배를 타기 전에 잠적할 계획임을 암시하는 글을 남긴 점, 마요라나가 심각한 우울증에 시달리고 있었다는 점을 고려하면 후자일 가능성이 높다고 여겨진다. 이후 생사 여부는 알려지지 않았지만 실종된 장소가 배 위였던 데다, 어디에서도 행적을 추적할만한 단서가 발견되지 않았기 때문에 자살했을 가능성에 무게가 실렸다. 그런데 1997년에 베네수엘라의 어느 정비공이 자신의 가게에 고객이었던 남자가 에토레 마요라나였다고 주장하여 주목을 받았다. 이 정비공이 마요라나로 추정되는 인물과 찍은 사진과 해당 인물을 베네수엘라에서 목격했다는 복수의 증언을 이탈리아 경찰이 조사한 결과 마요라나 본인일 가능성이 있다는 결론을 내렸다.

2.3. 관측 및 응용

이후 80년 동안 발견되지 않고 있다가 2012년 네덜란드 에인트호번 공과대학교를 시작으로 한국의 포스텍, 미국 스탠퍼드 대학교 및 캘리포니아 대학교, 일본 교토대학 연구팀들이 잇따라 마요라나 페르미온의 존재를 실증하거나 관측하는데 성공했다.

이 입자의 특이한 물리 성질을 이용하면 온도와 외부간섭 등에 상관없이 안정적인 양자 큐비트를 유지할 수 있게 될 것으로 판단되기 때문에 양자컴퓨터 개발의 난제를 모조리 풀고 마침내 실용화를 가능하게 할 핵심 열쇠로 여겨지고 있다.

아주 특수한 환경에서만 제한적으로 관측되는 것이 문제였는데 최근 금 박막 표면에서 간접적으로 관측되었다는 연구가 나오기도 했다.

단, 위상학적 양자컴퓨터의 요소 상당수가 아직까지 이론적으로만 구성되어 있는데 대표적으로 땋기(braiding) 개념의 경우 아직 실험적 결과조차 없는 상황이다.

중성미자의 마요라나 성질 여부에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있으며, 특히 오른손잡이 중성미자(sterile neutrino)가 관심의 대상이 되고 있다.

[1] 다만 디랙은 이걸 장의 개념으로 소개하지 않았다. 장(field)으로 해석하게 된 것은 나중 이야기이다.[2] 다만 수학적으로만 가진다는 거고, 실제 세상에서 그 켤레에 해당하는 장 또한 존재한다는 보장은 없다. 대표적인 예가 바로 중성미자이다. 물론 그냥 모종의 이유로 인하여 아직 발견되지 않았을 뿐인 것일 수도 있다.[3] 힉스 매커니즘이 없으면 이들 입자들의 질량은 그냥 0이 되며 바일 장으로 기술된다. 힉스 매커니즘은 추가적인 질량항을 생성하여 (사실 이 질량항은 서로 켤레인 두 바일 장의 상호작용 항으로 해석될 수 있다) 이들을 질량이 있는 입자, 즉 디랙 장으로 기술되는 입자로 바꿔 버린다. 다만 중성미자는 그대로 바일 장으로 기술되는 상태로 가게 된다.[4] 물론 표준모형에서는 중성미자 질량이 0이라고 가정한 반면 실험은 그렇지 않다는 것을 지지하는 마당이라 추가적인 설명이 필요하다.[5] [math(\sigma^i \sigma^j + \sigma^j \sigma^i = 2 \delta^{ij} 1)] (단, [math(i, j = 1, 2, 3)])임을 이용하고 양변에 복소수 켤레를 취해 주면 원래 방정식에 [math(-i\sigma^2)]를 곱한 꼴이 나온다. 해 보면 알겠지만 (기대와는 달리) 두번째 항의 부호가 뒤집힌 것이 맞다는 것을 알 수 있다.