최근 수정 시각 : 2020-01-31 01:24:00

디랙 방정식

양자역학
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1. 개요2. 유도3. 장론적 유도4. 역사와 의미5. 관련 문서

1. 개요

(iγμμm)ψ=0 (i\gamma^\mu\partial_\mu-m) \psi=0

물리학자 폴 디랙에 의해 정립된 방정식.

영화화도 된 어떤 소설 때문에 반물질에 대해서 들어본 적은 있을 것이다. 그 반물질을 처음 수학적으로 예측한 것이 디랙 방정식이다. 디랙 방정식은 슈뢰딩거 방정식을 상대론에 확장한 것으로, 상대론적 양자역학을 시작한 방정식이다. 또, 이 방정식은 행렬역학파동역학이 동등함을 보이기도 한 방정식이다.

2. 유도

c=G==1c=G=\hbar=1인 자연 단위(natural units)에서 서술한다.

클라인-고든 방정식의 문제점은 음의 에너지와 음의 확률 밀도였다. 디랙은 시간과 공간에 대해 1계 미분방정식을 고안하면 이 두 문제가 사라질 것이라고 예상했다.

우선, 특수상대론에 의하면 E2=p2+m2E^2=p^2+m^2이므로

E2p2ψ=mψ\sqrt{E^2-p^2}\psi=m\psi

라고 쓸 수 있다.

양자 역학에서 에너지와 운동량을 연산자의 형태로 쓸 수 있음을 생각하면(E=i(/t),p=iE=i(\partial/\partial t), \vec p=-i\vec \nabla ), 다음과 같이 쓸 수 있다.

2t2+2ψ=mψ\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2 } \psi =m\psi , 2t2+2x2+2y2+2z2ψ=mψ\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2} } \psi =m\psi

디랙은 근호가 씌어진 수식을 다음과 같이 쓸 수 있다는 가정을 했다.

2t2+2x2+2y2+2z2=At+Bx+Cy+Dz\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2} } = A\frac{\partial}{\partial t}+B\frac{\partial}{\partial x}+C\frac{\partial}{\partial y}+D\frac{\partial}{\partial z}

양변을 제곱해 보면 A, B, C, D는 다음을 만족함을 알 수 있다.

A2=1,B2=C2=D2=1,AB+BA=0,AC+CA=0,AD+DA=0,BC+CB=0,BD+DB=0,CD+DC=0 A^2=-1, B^2=C^2=D^2=1, AB+BA=0, AC+CA=0, AD+DA=0, BC+CB=0, BD+DB=0, CD+DC=0

이를 만족하는 복소수 A, B, C, D가 없음은 쉽게 알 수 있다. 그러나 A, B, C, D가 행렬이면 가능하다. 조건을 만족하는 가장 작은 크기의 행렬은 4x4 행렬이다.

그렇다면 디랙 방정식은,

(At+Bx+Cy+Dz)ψ=mψ (A\frac{\partial}{\partial t}+B\frac{\partial}{\partial x}+C\frac{\partial}{\partial y}+D\frac{\partial}{\partial z})\psi=m\psi

이다. 이를 A, B, C, D와 적절히 관련되어 있는 디락 감마 행렬들(Dirac gamma matrices)을 정의하고 아인슈타인 합 규약(Einstein summation convention)을 통해서 예쁘게 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

iγμμψ=mψ i\gamma^\mu \partial_\mu \psi =m \psi

{γμ,γν}=γμγν+γνγμ=2ημνI4 \{\gamma^\mu, \gamma^\nu\}=\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu =2 \eta^{\mu \nu} I_4

3. 장론적 유도

위와 같은 디랙의 방식은 시대가 흐르면서 좀 더 세련된 방식으로 대체된다. 상대성 이론을 본격적으로 고전 장 이론에 적용시키면서 디랙 방정식과 클라인-고든 방정식에 대한 장론적인 재해석이 이루어지게 된다. 실제로 정규양자화를 하지 않더라도 디랙 방정식과 클라인-고든 방정식은 맥스웰 방정식처럼 고전적으로도 충분히 드러날 수 있다는 것이다. 그리고 이 토대 위에서 모든 상대론적 고전장 이론들이 일률적으로 양자화될 수 있었던 것이다. 상대론적 장들의 양자화에 대해서는 양자장론 문서 참고.

여기서는 상대론적 공변성과 라그랑지언만 가지고 디랙 방정식을 위한 라그랑지언을 구축해 보도록 하겠다. 다만 이를 위해선 스피너의 로런츠 변환이 어떻게 되는가를 알아야 하는데, 자세한 내용은 스피너 문서를 참고해 보도록 하자. 좀 더 전문적인 내용은 사실 상 표준인 Peskin의 An introduction to Quantum Field Theory의 3장을 보도록 하자.

다만 여기서 한 가지 짚고 갈 것이 있다. 스피너 문서를 보면 알겠지만 디랙 장은 왼손 성분과 오른손 성분을 가지고 있으며, 사실 이 둘은 독립적이다. 즉, 이들 중 하나만 갖고 라그랑지언을 구축할 수 있다. 이때 다른 하나는 똑같은 구조를 가질 수도 있지만 그럴 필요는 없으며 (즉 둘의 질량이라든가 다른 결합 상수가 다를 수도 있으며) 심지어 아예 없어도 된다. 이 경우에 대한 이야기는 미루기로 하고, 여기서는 먼저 왼손 성분과 오른손 성분이 서로 얽혀있는 경우를 보도록 하자.

스피너 문서에서 다룬 대로 다음과 같이 로런츠 변환이 되는 물리량들이 있다.

ψU(A)ψ(U(A)=((A1)00A))\displaystyle \psi \mapsto U(A) \psi \;\;\;\; \left( U(A) = \left( \begin{array}{rr} (A^{-1})^\dagger && 0 \\ 0 && A \end{array} \right) \right).

여기서 ASL(2,C)A \in SL(2, \mathbb{C})로, 이 변환에서 위치 xμx^\muxμΛνμ(A)xνx^\mu \mapsto \Lambda^\mu_\nu(A) x^\nu, 혹은 xμσμA(xμσμ)Ax^\mu \sigma_\mu \mapsto A (x^\mu \sigma_\mu) A^\dagger로 변환된다. (이 둘이 같도록 해주는 2-1 대응인 준동형사상 (2-1 corresponding homomorphism) Λ:SL(2,C)SO(1,3)\Lambda : SL(2, \mathbb{C}) \to SO(1, 3)이 존재한다는 것 또한 스피너 문서에서 참고하자.)

이제, 이렇게 변환되는 두 가지 물리량들을 가지고 장을 정의해 보자. 즉, 각 시공간의 점 xμx^\mu에 해당하는 ψ(xμ)\psi(x^\mu)이 존재해[1] 이들이 다음과 같이 변환된다고 해 보자.

ψ(xμ)U(A)ψ(Λνμ(A1)xν)\displaystyle \psi(x^\mu) \mapsto U(A) \psi(\Lambda^\mu_\nu(A^{-1}) x^\nu).

여기서 왜 앞의 U(A)U(A)는 그대로 들어가고 인자의 xμx^\mu는 거꾸로 변환되는지 의아할 수 있는데, 이 변환이 물리적으로 어떻게 된 건지 차근차근 따지면 자연스러운 것이다. 여기서 어떤 점 xμx^\mu의 장의 값을 얻고 싶다면 사실 변환하기 전의 원래 위치(Λνμ(A)xν\Lambda^\mu_\nu (A) x^\nu)에 있던 장의 값(ψ(Λνμ(A)xν)\psi(\Lambda^\mu_\nu (A) x^\nu))을 변환(ψ(Λνμ(A)xν)U(A)ψ(Λνμ(A)xν)\psi(\Lambda^\mu_\nu (A) x^\nu) \mapsto U(A) \psi(\Lambda^\mu_\nu (A) x^\nu))시켜서 얻어야 한다. 이렇게 파악하면 될 것이다. 참고로 이건 일반적인 모든 장에 대해 적용되는 사항이다.

스피너 문서에서는 디랙 스피너를 통해 만들 수 있는 두 스칼라 성분으로 iψ¯γμ(μψ)i\bar{\psi} \gamma^\mu (\partial_\mu \psi)ψ¯ψ\bar{\psi} \psi가 있음을 보였다. 특히 이 둘은 라그랑지언 안에서 실수이기도 하다. ψ¯ψ\bar{\psi} \psi야 켤레복소수를 취하면 바로 알 수 있긴 하다.[2] iψ¯γμ(μψ)i\bar{\psi} \gamma^\mu (\partial_\mu \psi)가 라그랑지언 안에서 실수인 것은 다음과 같이 보일 수 있다.

dx4(iψ¯γμ(μψ))=dx4(iψγ0γμ(μψ))=dx4(i)(μψ)(γμ)γ0ψ=dx4(i)(μ(ψ(γμ)γ0ψ)ψ(γμ)γ0(μψ))\displaystyle \int dx^4 ( i\bar{\psi} \gamma^\mu (\partial_\mu \psi) )^* = \int dx^4 ( i \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu (\partial_\mu \psi) )^\dagger = \int dx^4 (-i) ( \partial_\mu \psi )^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 \psi = \int dx^4 (-i) \left( \partial_\mu ( \psi^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 \psi ) - \psi^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 ( \partial_\mu \psi ) \right)
dx4iψ(γμ)γ0(μψ)=dx4iψ¯γ0(γμ)γ0(μψ)=dx4iψ¯γμ(μψ)\int dx^4 i \psi^\dagger (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 ( \partial_\mu \psi ) = \int dx^4 i \bar{\psi} \gamma^0 (\gamma^\mu)^\dagger \gamma^0 ( \partial_\mu \psi ) = \int dx^4 i\bar{\psi} \gamma^\mu (\partial_\mu \psi).

여기서 divergence theorem에 ψ\psi가 무한히 먼 곳에서 0이어야 함을 썼으며,(γμ)=γ0γμγ0(\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0임도 사용하였다. 이렇게 해서 라그랑지언에 포함될 스피너와 그 도함수 만으로 이루어진 스칼라 항들을 찾아내었다. 전부 다는 아니지만 일단 스피너 두 개와 미분 최대 하나만 쓰였을 때 가능한 모든 경우이다.[3]

이제 이 둘을 이용해서 다음과 같은 라그랑지언을 생각할 수 있다.

L=dx4L=dx4(iψ¯γμ(μψ)mψ¯ψ)L = \int dx^4 \mathscr{L} = \int dx^4 ( i\bar{\psi} \gamma^\mu (\partial_\mu \psi) - m \bar{\psi} \psi ).

여기서 두 항 모두에 비례 상수를 넣을 수도 있지만 어차피 ψ\psi 안에 하나는 밀어넣을 수 있어서 하나만 썼다는 것을 보자. 이제 ψ¯\bar{\psi}에 대한 오일러-라그랑주 방정식 μL(μψ¯)Lψ¯=0\partial_\mu \frac{ \partial \mathscr{L} }{ \partial (\partial_\mu \bar{\psi}) } - \frac{ \partial \mathscr{L} }{ \partial \bar{\psi} } = 0을 구해보면 다음 방정식을 얻을 수 있다.

iγμμψmψ=0i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = 0.

정확하게 디랙 방정식이 나왔다! 이로부터 디랙 방정식은 사실 (자유) 스피너 장의 장방정식이라는 것을 알아냈다.

여기서 다시 한 번 이 결과가 고전적인 결과라는 것을, 즉 양자역학이 하나도 들어가지 않은 내용이라는 것을 상기하면 좋을 것이다. 다만 자연에서 드러나는 스피너 장은 많은 경우 입자성이 강하게 나타나는 형태이다. 전자가 그 예. 그래서 스피너 장을 물리에서 만나면 항상 양자역학의 영역에서 만나게 된다. 그것도 양자화된 모양으로. 자세한 것은 양자장론 참고.

양자장론에서도 다루지만 음의 에너지 해 문제와 반물질은 상당히 다르게 해결지어짐을 알 수 있다. 사실 음의 에너지 해는 소멸자(annihilator)에 해당하는 것이다.[4] 한편 디랙 스피너 장 그 자체는 (그 성분들이) 실수가 아닌 장인데, 이런 장들의 켤레복소수에 해당하는 또다른 해가 존재한다. 이 해가 바로 반물질. 자세한 건 양자장론 문서를 참고하자.

4. 역사와 의미

상대성 이론이 나온 건 1905년이고, 슈뢰딩거 방정식은 1926년에 나왔는데 왜 슈뢰딩거상대론을 도입하지 않았느냐는 의문이 자연스레 떠오른다.

사실 고전적 에너지 대신 상대론적 에너지 공식을 사용하면 슈뢰딩거 방정식을 유도할 때와 같은 방법으로 상대론적 방정식을 유도할 수 있고, 실제로 디랙 방정식 전에 클라인-고든 방정식이라는 상대론적 양자역학 식이 발표되었다. 슈뢰딩거도 이 식에 먼저 도달했는데, 전자의 운동을 제대로 기술하지 못했기 때문에 비상대론적 식을 발표했다고 한다.

전설에 따르면, 디랙은 화로를 쳐다보고 있다가 방정식의 계수가 숫자가 아닌 행렬이면 어떨까 하는 생각에 제대로 된 방정식을 떠올릴 수 있었다고 한다. 슈뢰딩거가 6개월에 걸쳐서 만든 걸 몇 시간 만에 상대론을 도입했다고. 슈뢰딩거 지못미 어쨌든 디랙 방정식이 상대론적 양자역학을 제대로 기술한 첫 방정식이다. 여러 입자들 중에서도 반정수의 스핀 양자수를 가진 페르미온의 운동을 기술하는 방정식이다. 사실 디랙이 디랙방정식을 유도해낸 과정을 보면, 과정은 틀렸는데 답만 맞은 경우이다. 디랙은 클라인-고든 방정식에서 positive frequency mode(양화 주파수 모드)만을 떼어내서 디랙 방정식을 유도해냈다. 하지만 이 과정은 반입자에 해당하는 항을 제거하여 양자역학의 확률 해석을 끌어온 것에 해당하는데, 디랙방정식은 반입자에 해당하는 항이 그대로 살아있으므로 사실상 틀린 과정이라고 할 수 있다. 따라서 정말로 운이 좋았다고 할 수 있다.

그렇다면 이 방정식이 어떻게 반입자를 예측하느냐는 것인데, 간단하게 설명하자면 방정식을 풀었더니 해가 두 개 나왔다. 왜냐하면 E^2=(mc2)^2므로 해는 양 음수 두 개이기 때문이다. E가 mc2라는 것은 쉽게 이해할 수 있다. 물체의 정지에너지 (질량 그 자체가 가지는 에너지)가 mc2이고, 물체가 움직이면 운동에너지를 가질 것이기 때문에 mc2이라는 것은 당연하다. 그러나 에너지가 음수라는 것은 무슨 소리인가? 디랙은 이것이 우리가 확인할 수 없을 뿐 실재하는 물리적 상태라고 생각했다. (참고로 말하자면 이 마이너스 상태가 반물질은 아니다! 용어가 헷갈리긴 하는데, 반물질은 만들 수도 있고 관찰도 가능하고 결정적으로 양의 질량과 양의 에너지를 가진다. 뒤에 자세히 서술하겠다.) 전자는 낮은 에너지 준위가 있으면 전자기파를 방출하고 그 준위로 떨어진다. 그렇다면 '우리 세상'의 전자는 2mc2의 에너지의 전자기파를 방출하고 마이너스 세상으로 떨어질 것이다. 그런데 어떻게 우리 세상에 전자가 존재하는가? 그것은 마이너스 세상에 전자가 꽉 차 있기 때문이다. 즉, 진공이 단순히 아무것도 없는 것이 아니라, 이 마이너스 세상에 전자가 꽉 차 있는 것. 이것을 디랙의 바다라고 부른다.

그렇다면 반물질은 무엇인가? 속에서 물의 "부재"가 공기방울이라는 입자로 보이듯이 마이너스 세상에서 전자가 하나만 없으면 우리 눈에는 그것이 입자로 보일 것이다. 마이너스 세상에서의 부재이니 질량은 양수이고, 전하는 전자와 반대로 양전하다. 만약 전자와 양전자(전자의 반입자는 전통적으로 양전자positron이라고 부른다)가 충돌한다면, 즉 전자가 마이너스 세상에 내려갈 자리를 찾았다면, mc2+mc2 (반입자가 입자라는 관점) 혹은 mc2-(-mc2) (에너지 준위의 차이를 고려한 관점) (관점이 어떻든 둘 다 2mc2이다. 이는 당연한 것이다.)만큼의 에너지를 방출하고 전자는 마이너스 세상으로 내려간다. 즉, 우리가 관찰할 수 있는 세계에서 사라진다. 이 과정을 쌍소멸 (annihilation)이라고 한다. 이와 반대로 빛에너지를 마이너스 세상의 전자가 흡수하여 우리 세상으로 올라오는 경우도 있다. 이것은 쌍생성 (pair production)이라고 한다.

...라고 흔히 알려져 있지만 디랙의 바다를 이용한 기술은 물리학계에서 이제 사용되지 않는다. 디랙의 바다로 반물질을 설명하면 여러가지 문제가 생기며, 사실 디랙의 접근 방식이 처음부터 심각한 문제를 야기한다. 예를 들어 보손들이 갖는 음의 에너지 문제는 디랙의 바다로 여전히 해결되지 않는다. 더군다나 디랙의 접근 방식, 그러니까 디랙 방정식이 파동함수를 바로 기술하는 것으로 간주하면 인과율이 깨지는 문제가 발생한다.[5] 이런저런 문제점들로 인해 디랙의 방식은 더 이상 쓰이지 않으며 대신 장을 양자화하여 우리가 아는 입자들을 기술하는 방식을 쓴다. 이 방식을 쓰면 디랙의 바다 같은 것 없이도 음의 에너지 문제가 말끔하게 해결된다는 것을 알 수 있다.[6] 그렇다면 이미 발견도 된 반물질은? 디랙 방정식의 해에 켤레 복소수를 취하면 새로운 자유도를 얻을 수 있는데, 사실 이게 진짜 반입자에 해당한다. 더 자세한 내용은 양자장론 항목에서 찾아보자.

네이버캐스트에 설명이 아주 잘 되어 있으니 읽고 싶은 사람은 읽어보라.



사실 처음 발표할 때 디랙은 이게 반물질이 아니라 양성자라고 추측했다. 나중에 양전자가 발표되고 왜 더 간단하고 직관적인 반물질을 주장하지 않았느냐고 하자, "Pure cowardice! (틀릴까봐 겁났던 게지!)"라고 쿨하게 인정했다.

5. 관련 문서


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[1] 좀 더 유식하게(?) 사상(mapping) ψ:R4C2\psi : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{C}^2가 존재해[2] γ0\gamma^0가 Hermitian하다는 걸 써야 한다.[3] 미분이 두 번 이상 쓰인 경우라면 (μψ¯)(μψ)(\partial_\mu \bar{\psi}) (\partial^\mu \psi)라든가 (μψ¯)[γμ,γν](νψ)(\partial_\mu \bar{\psi}) [\gamma^\mu, \gamma^\nu] (\partial_\nu \psi) 같은 것도 생각할 수 있다.[4] 물질-반물질이 만나면 소멸하는 것이니 뭐가 다르냐고 할 수 있겠지만 전혀 다르다. 그저 양자역학의 상태를 오르고 내려주는 사다리 연산자의 소멸자에 해당하는 것일 뿐, 실체로도 있는 반물질과는 확연히 다른 것이다. 실체로도 있다는 것은, 사실 반물질에 해당하는 생성자(creator)와 소멸자 또한 존재한다는 뜻이다.[5] 항목을 참고하면 알겠지만 인과율이 깨지면 타임 패러독스 등이 생길 수 있다.[6] 양자장론 항목에 기술되어 있다시피, 음의 에너지 해는 여전히 존재하나, 다른 물리적인 의미를 가지게 된다. 장을 양자화하면 음의 에너지 해는 조화진동자에서 소멸자에 해당하는 연산자, 즉 입자의 수를 내려주는 연산자로 해석될 수 있다.