1. 개요
Hamiltonian operator양자역학에서는 가측량에 대한 관측 행위를 연산자로 나타내기 때문에 계의 해밀토니언 역시 연산자로 표현된다.
2. 상세
해밀턴 역학에서 해밀토니언은 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 주어졌다. 이와 유사하게, 양자역학에서도 이 두 연산자에 대한 합으로 주어진다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}=\hat{T}+\hat{V} \end{aligned} )]
한편, 위치 표현에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{T}&=\frac{\hat{p}^{2}}{2m} \\ &=-\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2} \\\\ V(\mathbf{\hat{r}})&=V(\mathbf{r}) \end{aligned} )]
이기 때문에 해밀토니언 연산자는 위치 표현에서 다음과 같이 쓸 수 있다. 여기서 위치 표현에서 [math(\mathbf{\hat{p}}=-i \hbar \boldsymbol{\nabla})]임을 이용했다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&=-\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2}+ V(\mathbf{r}) \end{aligned} )]
다만, 고전역학 때도 다뤘듯, 계의 퍼텐셜이 속도에 의존할 경우, 운동 에너지 연산자와 퍼텐셜 에너지 연산자의 합으로 주어지지 않을 수 있다. 대표적인 에시가 전자기장 내에 있는 입자의 해밀토니언 연산자이다.
3. 교환자 관계
이 연산자의 운동량 연산자와의 교환 관계는[math(\displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{H}},\,\mathbf{\hat{p}}]&=[V(\mathbf{r}),\,\mathbf{\hat{p}} ] \\&=i\hbar \boldsymbol{\nabla}V \end{aligned} )]
로 일반적으로는 운동량 연산자와 교환하지 않는다. 따라서 공통된 고유함수를 공유하지 않으며, 두 물리량은 동시 가측량이 아니다. 그러나 자유 입자의 경우 [math(V)]가 상수이므로 이때는 교환하게 된다. 즉 자유 입자의 해밀토니언 연산자에 대한 고유 함수는 운동량 연산자와 공유하며, 동시 가측량이 된다.
위치 연산자와의 교환 관계를 살펴보는 것도 흥미롭다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} [\hat{\mathcal{H}},\,\mathbf{\hat{r}}]&=[\mathbf{\hat{r}},\,\hat{p}^{2} ]+[\hat{V}(\mathbf{r}),\,\mathbf{\hat{r}} ] \\&=[\mathbf{\hat{r}},\,\hat{p}^{2} ] \\ &\neq 0 \end{aligned} )]
따라서 일반적인 입자의 해밀토니언에 대한 고유 함수는 위치에 대한 고유 함수와 공유하지 않고, 동시 가측량이 아니게 된다.
4. 물리량의 기댓값
해밀토니언 연산자는 어떤 물리량의 기댓값의 시간 변화를 기술하는데도 사용된다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\langle A \rangle}{{\rm d}t}=\frac{i}{\hbar}\langle [\hat{\mathcal H},\,\hat{A}] \rangle +\biggl\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \biggr\rangle \end{aligned} )]
대부분의 연산자는 시간에 의존하지 않으므로 대체적으로는 위 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\langle A \rangle}{{\rm d}t}=\frac{i}{\hbar}\langle [\hat{\mathcal H},\,\hat{A}] \rangle \end{aligned} )]
위 관계식을 이용하면 이용하면 아래의 흥미로운 관계식을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\langle \mathbf{p} \rangle}{{\rm d}t}&=-\langle \boldsymbol{\nabla} V \rangle \\ \frac{{\rm d}\langle \mathbf{r} \rangle}{{\rm d}t}&=\frac{\langle \mathbf{p} \rangle}{m} \end{aligned} )]
5. 하이젠베르크 운동 방정식
양자역학의 묘사 문서에서 살펴본 '하이젠베르크 묘사'를 이용하면 하이젠베르크 운동 방정식을 이끌어낼 수 있다. 여기서 [math(\tilde{A})]는 하이젠베르크 묘사에서의 연산자, [math(\hat{A})]는 슈뢰딩거 묘사에서의 연산자이다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}\tilde{A}}{{\rm d}t}&=\frac{i}{\hbar}[\hat{\mathcal{H}},\,\tilde{A}]+\frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \end{aligned} )]
6. 구면 좌표계에서 해밀토니언 연산자
각운동량 연산자 문서에서 구면 좌표계에서 해밀토니언 연산자를 다음과 같이 쓸 수 있음을 논했다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{\mathcal{P}}_{r}^{2}}{2m}+\frac{\hat{L}^{2}}{2mr^{2}}+\hat{V} \end{aligned} )]
여기서 [math(\hat{\mathcal{P}}_{r})]은 지름 방향 운동량 연산자이다.
7. 시간 변화 연산자
운동량 연산자는 변위 연산자를, 각운동량 연산자는 회전 연산자를 남겼다. 그럼 해밀토니언 연산자는 무엇을 남기는가.우선 시간 [math(\delta t \ll 1)]만큼 이동시킨다고 생각하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} f(t+\delta t)=1+\frac{\partial f}{\partial t}\delta t \end{aligned} )]
그런데, 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 따르면
[math(\displaystyle \begin{aligned} i \hbar \frac{\partial }{\partial t}=\hat{\mathcal{H}} \end{aligned} )]
이므로 위 식을
[math(\displaystyle \begin{aligned} f(t+\delta t)=1-\frac{i}{\hbar}\hat{\mathcal{H}} f(t) \delta t \end{aligned} )]
이상에서 이것을 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} f(t+\delta t)=\biggl(\hat{I}-\frac{i}{\hbar}\hat{\mathcal{H}} \delta t \biggr) f(t) \end{aligned} )]
[math(\hat{I})]는 항등 연산자이다. 따라서 미소 시간 [math(\delta t)]를 이동시키는 시간 변화 연산자(time evolution operator)는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{U}}(\delta t)=\hat{I}-\frac{i}{\hbar}\hat{\mathcal{H}} \delta t \end{aligned} )]
이제 시간 [math(\tau)]를 이동시키는 연산자를 찾아보자. 이것은 변위 연산자와 회전 연산자를 논할 때 처럼
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{N \to \infty} \frac{\tau}{N} \end{aligned} )]
의 미소 시간만큼 이동시키는 시간 변화 연산자의 무한번 적용
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{U}}(\tau)&=\lim_{N\to \infty} \biggl(\hat{I}-\frac{i}{\hbar}\hat{\mathcal{H}} \cdot \frac{\tau}{N} \biggr)^{N} \\&=\exp{\biggl(-\frac{i \hat{\mathcal{H}} \tau}{\hbar} \biggr)} \end{aligned} )]
로 쓸 수 있다. 단, 이렇게 써지는 건 해밀토니언이 시간에 의존하지 않을 때임에 유의한다.
이때, [math(t_{1})]에 있었던 것을 [math(t)]로 이동시키는 연산자는 다음과 같이 쓴다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{1})=\exp{\biggl[-\frac{i \hat{\mathcal{H}} (t-t_{1})}{\hbar} \biggr]} \end{aligned} )]
또한, 이 연산자는 다음을 만족하는데,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{U}}\hat{\mathcal{U}}^{\dagger}=\hat{\mathcal{U}}^{\dagger} \hat{\mathcal{U}}=\hat{I} \end{aligned} )]
즉, [math(\hat{\mathcal{U}})]는 유니터리 연산자임을 얻는다.
7.1. 슈뢰딩거 방정식과의 관계
다음으로 식을 다음과 같이 써보자.[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathcal{U}}(t+\delta t,\,t_{0})&=\hat{\mathcal{U}}(t+\delta t,\,t)\hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{0}) \\&=\biggl(\hat{I}-\frac{i}{\hbar}\hat{\mathcal{H}} \delta t \biggr)\hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{0}) \end{aligned} )]
윗 식을 정리하면
| [math(\displaystyle \begin{aligned} i\hbar \cdot \frac{\hat{\mathcal{U}}(t+\delta t,\,t_{0})-\hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{0})}{\delta t}= \hat{\mathcal{H}} \hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{0} ) \quad \to \quad i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{0})=\hat{\mathcal{H}}\hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{0}) \end{aligned} )] |
즉, [math(\psi(\mathbf{r},\,t_{0}))]를 적용시켜도 방정식은 성립하는데,
[math(\displaystyle \begin{aligned} i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\hat{\mathcal{U}}\psi(\mathbf{r},\,t_{0})(t,\,t_{0})=\hat{\mathcal{H}}\hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{0})\psi(\mathbf{r},\,t_{0}) \end{aligned} )]
시간 변화 연산자의 역할을 생각해보면, [math(\psi(\mathbf{r},\,t_{0}))]가 주어지면, [math(t_{0})]에서 [math(t)]만큼 지났을 때 파동함수는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Psi(\mathbf{r},\, t)=\hat{\mathcal{U}}(t,\,t_{0})\psi(\mathbf{r},\,t_{0}) \end{aligned} )]
로 주어진다는 것을 알 수 있다.