| {{{#!wiki style="margin:-10px" | <tablealign=center><tablebordercolor=#ececec,#ccc><tablebgcolor=#ececec,#ccc> | 베르너 하이젠베르크 관련 문서 | }}} |
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| 프로젝트 | 우란프로옉트 | ||
| 생애 | 생애 | ||
| 소속 | 뮌헨 대학교 괴팅겐 대학교 | ||
| 관련 학자 | 닐스 보어 · 막스 보른 · 알베르트 아인슈타인 · 막스 플랑크 · 아르놀트 조머펠트 | ||
| 저서 | 부분과 전체 · 물리와 철학 |
1. 개요
matrix mechanics / 行列力學하이젠베르크가 1925년에 발표한 양자역학의 행렬 정리이다. 이러한 행력역학의 형성 및 지속적인 발전에는 지도교수막스 보른 그리고 막스 보른의 또다른 제자 파스쿠알 요르당이 함께 참여하였다.
한편 고전 양자역학에 대한 현대 양자역학의 재해석 버전은 행렬론을 근본으로 하는 행렬역학과 파동함수를 근본으로 하는 슈뢰딩거 방정식의 파동역학이 있다. 이 둘은 서로 동등하다.
2. 상세
2.1. 고유함수
이제부터 어떤 계의 [math(j)]번째 고유함수를 [math(| j \rangle)]라 하자. 이때, [math(| j \rangle)]는 열 벡터로 나타낼 수 있으며, 가장 간단한 정규직교기저를 고른다면, 다음과 같이 쓸 수 있다.[math( \displaystyle \begin{aligned} | 2 \rangle = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots
\end{bmatrix} \end{aligned})]
2.2. 파동함수
파동함수는 힐베르트 공간의 완전조를 이루는 고유함수의 선형 결합으로 쓸 수 있으며, 이에 따라[math( \displaystyle \begin{aligned} | \psi \rangle = \sum_{j} | j \rangle \langle j | \psi \rangle \end{aligned})]
이때, [math(\langle j | \psi \rangle \equiv a_{j})]라 정의한다면,
[math( \displaystyle \begin{aligned} | \psi \rangle =\sum_{j}a_{j}| j \rangle \end{aligned})]
가 되어, 파동함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} | \psi \rangle =\begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\
\vdots
\end{bmatrix} \end{aligned})]
물론, 규격화 조건 또한 생각해볼 수 있으며,
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle \psi | \psi \rangle &= \begin{bmatrix}
a^{\ast}_{1} & a^{\ast}_{2} & a^{\ast}_{3} & \cdots \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\
\vdots
\end{bmatrix} \\ &=\sum_{j}|a_{j}|^{2} \\&=1 \end{aligned})]
이다.
여기서 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle \psi | =(| \psi \rangle)^{\dagger} \end{aligned})]
2.3. 연산자
가측량 [math(A)]에 대한 연산자 [math(\hat{A})] 또한 대응하는 행렬 [math(\pmb{\sf A})]로 표기할 수 있다.연산자 [math(\hat{A})]에 대하여
[math( \displaystyle \begin{aligned} \hat{A}=\sum_{jk} |j\rangle \langle j| \hat{A} | k \rangle \langle k| \end{aligned})]
여기서 나온 [math(A_{jk} \equiv \langle j| \hat{A} | k \rangle)]를 행렬 [math(\pmb{\sf A})]의 원소로 정의한다.
따라서
[math( \displaystyle \begin{aligned} \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle &=\sum_{jk} \langle \psi |j\rangle \langle j| \hat{A} | k \rangle \langle k| \psi \rangle \\ &=\sum_{jk} a_{k}^{\ast} A_{jk} a_{j} \\&= \begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\langle 1|\hat{A}| 1 \rangle & \langle 1|\hat{A}| 2\rangle & \langle 1|\hat{A}| 3\rangle & \cdots \\ \langle 2|\hat{A}| 1 \rangle & \langle 2|\hat{A}| 2\rangle & \langle 2|\hat{A}| 3\rangle & \cdots \\ \langle 3|\hat{A}| 1 \rangle & \langle 3|\hat{A}| 2\rangle & \langle 3|\hat{A}| 3\rangle & \cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\ \vdots
\end{bmatrix} \\&= \pmb{\sf X}^{\dagger} \pmb{\sf A} \pmb{\sf X} \end{aligned})]
형태로 나타낼 수 있다. [math(\pmb{\sf X})]는 파동함수 열 벡터이다.
두 연산자의 적용 [math(\hat{A}\hat{B})]에 대응되는 행렬은 따로 증명하지 않으나, [math(\pmb{\sf AB})]이다.
더불어서 일반적으로 연산자는 교환하지 않는 것 처럼, 대응되는 행렬 또한 일반적으로 교환하지 아니한다.