1. 개요
density metrix / 密度行列확률 [math(p_{j})]로 상태 [math(| \psi_{j}\rangle)]가 나타나는 혼합 상태를 고려해보자. 이때, 밀도행렬은 다음과 같이 정의된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\rho}=\sum_{j}p_{j} | \psi_{j} \rangle \langle \psi_{j} | \end{aligned})]
만약 계가 하나의 상태 [math(| \psi \rangle)]만 존재한다면, [math(p_{j}=1)]이 되고, 이에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\rho}= | \psi\rangle \langle \psi | \end{aligned})]
이 된다.
2. 순수 상태와 혼합 상태
2.1. 순수 상태
계가 순수하게 하나의 상태 [math(| \psi \rangle)]로 존재함을 알고 있다면[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\rho}= | \psi\rangle \langle \psi | \end{aligned})]
이 된다.
이러한 상태를 순수 상태라 한다.
2.2. 혼합 상태
혼합 상태는 외부와의 간섭 등으로 여러 가지 혼합 상태로 나타날 확률 [math(p_{j})]가 존재하고, 그 확률에 따라 순수 상태 [math(| \psi_{j} \rangle)]가 나타난다.그러므로 이때의 경우에는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\rho}=\sum_{j}p_{j} | \psi_{j} \rangle \langle \psi_{j} |,\quad\, (\small{{\sf{probability}\text{: }}p_{j} }) \end{aligned})]
형태로 나타날 것이다.
3. 정의
이제 가측량 [math(\hat{A})]에 대한 평균값을 계산해보자.[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle A \rangle&=\langle \Psi |\hat{A}| \Psi \rangle \\&= \sum_{i} p_{i} \langle \psi_{i} |\hat{A}| \psi_{i} \rangle \\ &= \sum_{ijk} p_{i} \langle \psi_{i}| j \rangle \langle j |\hat{A}| k \rangle \langle k| \psi_{i} \rangle \\ &= \sum_{jk} \biggl[\sum_{i} p_{i} \langle k| \psi_{i} \rangle \langle \psi_{i}| j \rangle \biggr] \langle j |\hat{A}| k \rangle \end{aligned})]
여기서 나온
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{\rho} \equiv \sum_{i} p_{i} | \psi_{i} \rangle \langle \psi_{i}| \end{aligned})]
를 밀도 연산자라 하고, 그것에 대응되는 행렬을 밀도행렬이라 한다.
4. 기댓값
이상에서 윗 식은 다음과 같이 표현 가능하다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle A \rangle&= \sum_{jk} \langle k|\hat{\rho}| j \rangle \langle j|\hat{A}| k \rangle \\ &= \operatorname{tr}{(\hat{\rho} \hat{A})} \end{aligned})]
5. 성질
위 식에서[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{tr}{\hat{\rho}}&=\sum_{ij} p_{i} \langle j| \psi_{i} \rangle \langle \psi_{i}| j \rangle \\ &=\sum_{i} p_{i} \langle \psi_{i} | \psi_{i} \rangle \\ &=\sum_{i}p_{i} \\&=1 \end{aligned})]
5.1. 자기수반성
쉽게 [math(\hat{\rho}^{\dagger}=\hat{\rho})]임을 알 수 있으므로 밀도 연산자는 자기수반성을 가진다.5.2. 순수 상태와 혼합 상태
모든 밀도 행렬은[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{tr}{\hat{\rho}^{2}}\le1 \end{aligned})]
을 만족한다.
순수 상태의 경우 [math(\hat{\rho}^{2}=\hat{\rho})]임을 알 수 있고, 이에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{tr}{\hat{\rho}^{2}}=1 \end{aligned})]
이다. 그러나 혼합 상태의 경우에는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{tr}{\hat{\rho}^{2}}<1 \end{aligned})]
이다.
6. 시간 전개
슈뢰딩거 방정식에 의하면[math(\displaystyle \begin{aligned} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi \rangle=\hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \end{aligned})]
양변에 복소 공액을 취하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} -i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \psi |=\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} \end{aligned})]
따라서 밀도행렬의 시간 전개는
[math(\displaystyle \begin{aligned} i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} &=i\hbar \sum_{j} p_{j}\biggl[ \biggl( \frac{\partial}{\partial t}| \psi_{j} \rangle \biggr) \langle \psi_{j}| + | \psi_{j} \rangle \biggl( \frac{\partial}{\partial t}\langle \psi_{j}| \biggr) \biggr] \\ &=\sum_{j}p_{j} (\hat{\mathcal{H}} \rho_{j}-\rho_{j}\hat{\mathcal{H}} ) \\ &=[\hat{\mathcal{H}},\,\hat{\rho}] \end{aligned})]
으로, 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} i\hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = [\hat{\mathcal{H}},\,\hat{\rho}] \end{aligned})]
이것을 폰 노이만 방정식이라 한다.