최근 수정 시각 : 2019-08-19 11:25:37

양자 조화 진동자

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양자역학
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1. 개요2. 대수적 기법
2.1. 생성·소멸 연산자2.2. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자2.3. 양자 조화 진동자의 고유함수2.4. 소멸·생성 연산자의 고윳값2.5. 불확정성 원리 검증2.6. 평균값2.7. 대응 원리
3. 급수해 해법4. 여담5. 관련 문서

1. 개요

Quantum harmonic oscillator · 量子調和振動子

이 문서에서는 1차원 양자 조화 진동자 정확히 말하면, 양자 단순 조화 진동자를 양자역학적으로 분석하는 방법을 다룰 것이다.

이러한 양자 조화 진동자를 다루는 기법에는 대표적으로 '대수적 기법'과 '급수해 기법'이 있다. 이 문서에서는 두 가지 방법 모두 수록했으며, 양자 조화 진동자의 이론적 체계는 대수적 기법에만 다루고, 급수해 해법은 고유함수를 찾는 과정만 수록했으니 참고하기 바란다.

2. 대수적 기법

2.1. 생성·소멸 연산자

양자 조화 진동자를 분석하기 전 우리는 아래의 소멸 연산자(Annihilation operator)를 도입하고자 한다.
[math(\displaystyle \hat{a}\equiv \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) )]
여기서
[math(\displaystyle \beta^{2} \equiv \frac{m \omega}{\hbar} )]
로 정의되는 상수이며, [math(m)]은 질량, [math(\omega)]는 조화 진동자의 각진동수이며, [math(\omega^{2} \equiv k/m)]이다. 또한, [math(k)]는 힘 상수이며, 용수철 진자라면, 용수철 상수가 될 것이다. 위의 연산자에 Hermitian adjoint를 취하면,
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) )]
가 되고 이 연산자를 생성 연산자(Creation operator)라 한다. 이때, [math(\hat{a} \neq \hat{a}^{\dagger})]이므로 [math(\hat{a})]는 Hermitian operator가 아니며, 따라서 두 연산자는 관측가능한 물리량을 내놓지 않는다. 그렇다면 위키러들은 이러한 쓸모 없는 연산자를 왜 분석하고 있는지 이해가 되지 않을 것이다. 하지만 이 연산자의 정체를 알아내고 나서는 매우 유용하고 편리한 연산자라는 것을 깨달을 수 있으며, 우리는 그 작업을 위해 우선적으로 두 연산자의 교환자 관계를 조사하고자 한다.
[math(\displaystyle [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}] = \left[ \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) , \, \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}-i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \right] )]
이때, [math([\hat{x},\,\hat{p}]=i \hbar)]를 이용하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle [\hat{a},\,\hat{a}^{\dagger}]=\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a} =1 )]
이러한 성질은 앞으로 꽤 유용하게 쓰이므로 암기하는 것이 나을 것이다.

우리는 다음과 같은 연산자를 하나 정의하고자 한다.
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}\hat{a} \equiv \hat{N} )]
이 연산자는 우선적으로 상태가 [math(n)]인 고유함수 [math(\varphi_{n})]에 결합하여 교윳값으로 상태 [math(n)]을 내놓는다고 가정하자. 예를 들어,
[math(\displaystyle \hat{N}\varphi_{n}=n\varphi_{n} )]
이다. 이제 소멸 연산자와 생성 연산자의 역할을 조사하기 위해 위 연산자의 [math(\hat{a}\varphi_{n})]의 고윳값을 조사해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}\varphi_{n} \\&=(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\hat{a}\varphi_{n} \\ &=\hat{a}(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-1)\varphi_{n} \\ &=\hat{a}(\hat{N}-1)\varphi_{n} \\&=(n-1)(\hat{a}\varphi_{n}) \end{aligned})]
따라서 위 연산자의 [math(\hat{a}\varphi_{n})]의 교윳값은 [math(n-1)]임을 알 수 있다. 위에서 [math(\hat{N})]을 어떻게 정의되었는지 다시 상기해보면,
[math(\displaystyle \hat{a}\varphi_{n} \sim \varphi_{n-1} )]
로 상태를 한 단계 낮춰준다는 사실을 알 수 있다. 다만, 비례 표시([math(\sim)])로 나타내는 것은 아직 소멸 연산자의 고윳값은 구하지 않았기 때문이다. 같은 논법으로, 생성 연산자에 대해 하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{N}(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n})&=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \\&=\hat{a}^{\dagger}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)\varphi_{n} \\ &=\hat{a}^{\dagger}(\hat{N}+1)\varphi_{n} \\&=(n+1)(\hat{a}^{\dagger}\varphi_{n}) \end{aligned})]
따라서 같은 논법으로,
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}\varphi_{n} \sim \varphi_{n+1} )]
임을 알 수 있다. 즉, 생성 연산자는 상태를 한 단계 올려준다는 사실을 알 수 있다. 이러한 성질 때문에 두 연산자를 사다리 연산자(Ladder operator)라 한다. 그 이유는 위에서 살펴 보았듯, 고윳값으로 물리적 가측량을 주는 것이 아닌 단지 어떤 상태를 올리거나 내려주기만 하기 때문이다.

2.2. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자

조화 진동자의 해밀토니안은 고전적으로 아래와 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} H&=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}kx^{2} \\ &=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2} x^{2} \end{aligned} )]
따라서 양자 조화 진동자에서 해밀토니안 연산자는
[math(\displaystyle \hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2}\hat{x}^{2} )]
위에서 정의했던 생성·소멸 연산자에서
[math(\displaystyle \hat{x}=\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \qquad \qquad \hat{p}=\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} )]
를 이용하자. 이것을 위 식에 대입하면,
[math(\displaystyle \hat{H}=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right) )]
임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 우리는 에너지의 고윳값을 구할 수 있게 되었고, 상태 [math(n)]의 고유함수 [math(\varphi_{n})]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{H}\varphi_{n}&=\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(\hat{N}+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \\&=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)\varphi_{n} \end{aligned})]
따라서 에너지 고윳값은
[math(\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) )]
이 된다. 그러나 우리는 한 가지의 부가조건을 더 생각해야 한다. 양자 조화 진동자의 해밀토니안 연산자는 Hermitian operator의 제곱이 선형 결합되어 있는 연산자이므로 에너지 평균값은 양수여야만 한다. 따라서 우리는
[math(\displaystyle \langle H \rangle \geq 0 )]
을 만족해야 한다. 우리는 양자역학적 고유함수의 직교성에 따라 고유함수의 내적 [math(\langle \varphi_{n} |\varphi_{m} \rangle=\delta_{nm})]을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle H \rangle &=\langle \varphi_{n} | \hat{H}|\varphi_{n} \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)\langle \varphi_{n} |\varphi_{n} \rangle \\ &=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) \end{aligned} )]
따라서 위의 부가조건을 만족시키기 위해서는
[math(\displaystyle n \geq -\frac{1}{2} )]
이어야 한다. 따라서 [math(n<-1/2)]인 상태는 정의되지 않는다. 따라서 우리는 이 조건을 명시할 수 있는
[math(\displaystyle \hat{a}\varphi_{0}=0 )]
를 덧붙일 것이다. 따라서 에너지 고윳값은 최저 상태를 [math(n=0)][1]이라 두었기 때문에
[math(\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) )]
위는 중요한 두 가지의 결론을 얻는다.
  • 양자 조화 진동자는 영점 에너지(Zero-point energy)가 존재한다.
  • 인접한 상태들의 에너지 간격은 [math(E_{n}-E_{n-1}=\hbar \omega)]이고, 따라서 양자 조화 진동자의 에너지 간격은 등간격이다.

2.3. 양자 조화 진동자의 고유함수

다음과 같은 무차원의 변수로 치환하자.
[math(\displaystyle \beta^{2}x^{2} = \frac{m \omega}{\hbar}x^{2} \equiv \xi^{2} )]
이를 이용해서, 생성·소멸 연산자를 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \hat{a} &= \frac{\beta}{\sqrt{2}}\left( \hat{x}+i\frac{\hat{p}}{m\omega} \right) \\ &= \frac{\beta}{\sqrt{2}} \left( x+\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\partial}{\partial x} \right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \beta x+ \frac{\partial}{\partial (\beta x)} \right) \\&=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \end{aligned} )]
마찬가지의 논법으로
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) )]
으로 쓸 수 있다. 우리는 윗문단을 통해 양자 조화 진동자의 최저 상태의 고유 함수는 [math(\varphi_{0})]이라 했고, 위에서 [math(\displaystyle \hat{a}\varphi_{0}=0 )]의 부가조건을 설정한 것을 상기하면,
[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right)\varphi_{0}=0 )]
이 방정식의 해는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \varphi_{0}=A_{0}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
이때, [math(A_{0})]은 규격화 상수로 [math(\langle \varphi_{0} |\varphi_{0} \rangle=1)]로 결정할 수 있다. 따라서 최저 상태의 고유함수는 정규분포 곡선 모양임을 알 수 있다. 이제 우리는 최저 모드의 고유함수가 결정되었기 때문에 생성 연산자를 이용하면 쉽게 다른 상태 또한 결정할 수 있다. 그 중 우리는 한 가지의 예만 보고가고자 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&\sim \hat{a}^{\dagger} \varphi_{0} \\ & \sim \left( \xi- \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ &=2x\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \end{aligned} )]
따라서 규격화 상수를 [math(A_{1})]이라 두면,
[math(\displaystyle \varphi_{1}=2A_{1}x\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
이와 같은 논법으로 [math(\varphi_{n})]을 구하려면, 생성 연산자를 [math(n)]번 최저 상태 고유함수에 적용하면 된다.
[math(\displaystyle \varphi_{n} =A_{n} \left( \xi+ \frac{\partial}{\partial \xi} \right)^{n}\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
따라서 우리는 다음과 같이 양자 조화 진동자의 고유함수와 고윳값을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}(\xi)&=A_{n}H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} )]
위에서 [math(H_{n}(\xi))]는 에르미트 다항식이며, 규격화 상수
[math(\displaystyle A_{n}=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi}}} )]
로 결정된다. 아래는 몇 가지 고유함수들을 나타낸 것이다.

파일:나무_양자조화진동자_고유함수.png

눈썰미가 좋은 사람은 양자 조화 진동자의 고유함수가 기함수와 우함수가 반복된다는 것을 알 수 있을 것이다.

양자 조화 진동자는 속박되어있는 예이므로 고유함수의 절댓값 제곱은 확률밀도함수이다. 몇 가지의 확률밀도함수를 나타내면 아래와 같다.

파일:나무_양자조화진동자_확률밀도.png

위 그림에서는 고전역학적으로 전환점[2] 이후의 영역에서 상태는 허용되지 않는 것과 대비되게 전환점 이후에도 입자가 존재할 수 있는 것을 알 수 있다.

2.4. 소멸·생성 연산자의 고윳값

이 문단은 다음 문단의 평균값과 불확정성 원리가 양자 조화 진동자에서 성립하는 지 알아보기 위해 알아봐야할 문단이다. 우리는 맨 처음 문단에서 생성 혹은 소멸 연산자가 물리적 가측량 값을 주지 않고, 상태를 내리거나 올리기만 하는 연산자임을 알아보았다. 이제는 해당 연산자들의 고윳값을 알아봐야할 차례이다.

이제부터 우리는 고유함수 [math(\varphi_{n})]을 ket-vector [math(| n \rangle)]으로 간단히 나타낼 것이다. 우선 소멸 연산자의 고윳값을 [math(C_{n})]이라 놓자. 그러면,
[math(\displaystyle \hat{a}| n \rangle=C_{n} | n-1 \rangle)]
양변에 복소 공액을 취하면,
[math(\displaystyle \langle \hat{a} n | =\langle n-1 | C_{n}^{\ast} )]
이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \langle n | \hat{a}^{\dagger} =\langle n-1 | C_{n}^{\ast} )]
이 결과를 맨 처음 식의 ket-vector에 곱하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle n | \hat{a}^{\dagger} \hat{a}| n \rangle&=\langle n-1 | C_{n}^{\ast}C_{n} | n-1 \rangle \\ \langle n | \hat{N}| n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle n-1 | n-1 \rangle \\ n \langle n | n \rangle&=\left| C_{n} \right|^{2}\langle n-1 | n-1 \rangle \end{aligned})]
고유함수의 직교성에 의해
[math(\displaystyle n=\left| C_{n} \right|^{2} \, \rightarrow \, C_{n}=\sqrt{n} )]
이상에서
[math(\displaystyle \hat{a}| n \rangle=\sqrt{n} | n-1 \rangle )]
임을 알 수 있다. 생성 연산자도 똑같은 논법으로 증명할 수 있다. 다만, 이것을 증명할 때는 두 연산자의 교환자 관계를 이용해야 할 것이다. 이에 생성 연산자는
[math(\displaystyle \hat{a}^{\dagger}| n \rangle=\sqrt{n+1} | n+1 \rangle )]
임을 쉽게 증명할 수 있다.

이번에는 우리가 최저 상태를 [math(n=0)]으로 둔 것에 대한 타당성을 검증해보도록 하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} n&=\langle n | \hat{N}| n \rangle \\ &=\langle n | \hat{a}^{\dagger} \hat{a}| n \rangle \\ &=(\langle \hat{a} n |)( \hat{a}| n \rangle) \\ &=( \hat{a}| n \rangle)^{\ast}( \hat{a}| n \rangle) \end{aligned} )]
따라서 위의 결과는 [math(n)]이 0 이상의 양의 실수만 될 수 있다는 것만을 보여준다. 따라서 우리가 최저 상태로 택한 [math(n=0)]은 타당하다는 것을 알 수 있다.

2.5. 불확정성 원리 검증

불확정성 원리에 따르면,
[math(\displaystyle \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} )]
를 만족해야 한다. 이것을 검증하기 위해 우리는
[math(\displaystyle \Delta x \equiv \sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^{2}} \qquad \qquad \Delta p \equiv \sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^{2}} )]
임을 이용하면 된다.

[math(\langle x \rangle)]와 [math(\langle p \rangle)]는 비교적 쉽게 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x \rangle&=\langle n |\hat{x}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left|\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right|n \right \rangle \\ &=0 \\ \langle p \rangle&=\langle n |\hat{p}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left|\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right|n \right \rangle \\ &=0 \end{aligned} )]
소멸·생성 연산자와 고유함수의 직교성을 이해했다면, 연산을 하지 않더라도 쉽게 위의 결과를 받아들일 수 있다. 소멸·생성 연산자는 상태를 올리거나 내려준다고 했다. 그런데 위와 같은 연산에서는 결국 다른 상태끼리의 고유함수 내적 연산만이 남게 되고, 결국 이것은 0이 될 수밖에 없는 것이다.

이제 [math(\langle x^{2} \rangle)]을 구하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle&=\langle n |\hat{x}^{2}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left| \left(\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right)^{2} \right|n \right \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \end{aligned} )]
따라서 항은 총 4개로 분리될 것이다. 그런데 1, 4항은 서로 다른 상태끼리의 고유함수의 내적이 포함되므로 연산에 기여하지 않는다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle x^{2} \rangle &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+1)+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \\ &=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-1 |n \rangle \\&=\frac{1}{2\beta^{2}}\langle n |2\hat{N}+1 |n \rangle \\ &=\frac{\hbar}{m \omega} \left( n+\frac{1}{2} \right) \end{aligned} )]
가 된다.

마지막으로, [math(\langle p^{2} \rangle)]을 구해보도록 하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \langle p^{2} \rangle&=\langle n |\hat{p}^{2}|n \rangle \\ &=\left \langle n \left| \left(\frac{m \omega}{i}\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{\sqrt{2} \beta} \right)^{2} \right|n \right \rangle \\ &=- \frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}-\hat{a}\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} |n \rangle \\ &=\frac{m^{2} \omega^{2}}{2\beta^{2}}\langle n | \hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a} |n \rangle \end{aligned} )]
이런 꼴은 이미 [math(\langle x^{2} \rangle)]을 계산하면서 보았던 꼴이다. 따라서
[math(\displaystyle \langle p^{2} \rangle=m \omega \hbar \left( n+\frac{1}{2} \right) )]

이상에서
[math(\displaystyle \Delta x=\sqrt{\frac{\hbar}{m \omega} \left( n+\frac{1}{2} \right)} \qquad \qquad \Delta p=\sqrt{m \omega \hbar \left( n+\frac{1}{2} \right)} )]
이고,
[math(\displaystyle \Delta x \Delta p=\hbar \left( n+\frac{1}{2} \right) \geq \frac{\hbar}{2} )]
이므로 불확정성 원리를 만족한다는 것을 알 수 있다.

2.6. 평균값

이번엔 양자 조화 진동자의 평균 에너지 [math(\langle E \rangle)]에 대해 논해보자.
[math(\displaystyle \langle E \rangle=\langle T \rangle+\langle V \rangle )]
이때, [math(\langle T \rangle)]는 운동 에너지 평균값, [math(\langle V \rangle)]는 퍼텐셜 에너지 평균값이다. 각각의 평균값은 아래와 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \langle T \rangle=\frac{\langle p^{2} \rangle}{2m} \qquad \qquad \langle V \rangle=\frac{1}{2}k\langle x^{2} \rangle=\frac{1}{2}m \omega^{2} \langle x^{2} \rangle )]
그런데, [math(\langle x^{2} \rangle)], [math(\langle p^{2} \rangle)]는 위에서 각각 구하였다. 따라서 그 결과를 이용하면,
[math(\displaystyle \langle T \rangle= \langle V \rangle=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) )]
임을 알 수 있다. 따라서 운동 에너지 및 퍼텐셜 에너지의 평균값은 동일하다. 이상에서
[math(\displaystyle \langle E \rangle=2\langle T \rangle=2\langle V \rangle )]
이 성립함에 따라 맨 위에서 구했던 결과
[math(\displaystyle \langle E \rangle=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) )]
를 얻는다.

2.7. 대응 원리

양자역학적 결론에서 양자수가 극히 커짐에 따라 고전역학적 결과에 접근해가서 대응되게 되는 것을 대응원리(Correspondence principle)라 한다. 이제부터 양자 조화 진동자의 대응원리를 알아보고자 한다.

양자역학적으로 입자가 [math(x)], [math(x+dx)] 사이에서 발견될 확률 [math(P_{\mathrm{QM}})]은 알다시피, 고유함수의 절댓값 제곱으로 주어진다. 즉,
[math(\displaystyle P_{\mathrm{QM}}=\left| \varphi(x) \right|^{2} )]
그렇다면, 고전적으로 [math(x)], [math(x+dx)] 사이에서 입자가 발견될 확률 [math(P_{\mathrm{CM}})]은 얼마인가? 이제부터 이것이 포인트가 될 것이다. 고전적으로 해당 확률은 운동의 주기 [math(T)]과 극히 짧은 시간 간격 [math(dt)]의 비로 보았다. 즉,
[math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}\,dx=\frac{dt}{T} )]
이 된다. 이때, [math(T=2\pi/\omega)]가 되므로 윗 식은
[math(\displaystyle \frac{dt}{T}=\frac{2\pi}{\omega}\,dt )]
으로 쓸 수 있다. 연쇄 법칙에 의하여,
[math(\displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,dt=\frac{\omega}{2\pi}\,\frac{dt}{dx}dx=\frac{2\pi}{\omega}\frac{1}{\dot{x}}dx)]
으로 쓸 수 있다. [math(\dot{x}\equiv dx/dt)]로 속도를 의미한다. 우리는 이미 진폭 [math(x_{0})]인 조화진동자의 변위와 속도는 다음과 같이 주어짐을 안다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=x_{0}\sin{\omega t} \\ \dot{x}&=x_{0}\omega \cos{\omega t} \end{aligned})]
이때, 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \dot{x}=\omega \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}} )]
이상에서
[math(\displaystyle \frac{\omega}{2\pi}\,\frac{dt}{dx}dx=\frac{2\pi}{\omega}\frac{1}{\dot{x}}dx=\frac{1}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}}}\,dx )]
로 쓸 수 있고, 이상의 결과를 종합하면,
[math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}}} )]
로 쓸 수 있다. [math(A)]를 붙인 이유는 아직 우리가 규격화를 해주지 않았기 때문이다.
[math(\displaystyle \int_{-x_{0}}^{x_{0}}\frac{A}{2\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}}}\,dx=1 \, \rightarrow \, A=2 )]
이상에서 우리가 찾는 고전적인 확률은
[math(\displaystyle P_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{\pi \sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}}} )]
임을 알 수 있다.

아래의 그림은 [math(n=50)]일 때의 [math(P_{\mathrm{QM}})]과 [math(P_{\mathrm{CM}})]을 같이 나타낸 것이다. 아래의 그림처럼 양자수가 높아지면, 고전적인 확률과 같은 경향을 띠면서 따라간다는 것을 알 수 있다.

파일:나무_양자조화진동자_대응원리.png

3. 급수해 해법

퍼텐셜이
[math(\displaystyle V(x)=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}m \omega^{2}x^{2} )]
의 꼴인 경우 양자 조화 진동자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은
[math(\displaystyle \hat{H}\varphi=E \varphi )]
에서
[math(\displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2} \varphi}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m \omega^{2}x^{2} \varphi =E\varphi )]
가 된다. 다음과 같이 변수를 무차원화 시키면,
[math(\displaystyle x \equiv \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}\,\xi \qquad \qquad \epsilon \equiv \frac{2E}{\hbar \omega} )]
이것을 방정식에 대입하면, 아래와 같이 간단한 꼴로 주어지게 된다.
[math(\displaystyle \frac{d^{2} \varphi}{d\xi^{2}}+(\epsilon-\xi^{2})\varphi=0 )]
이제 우리는 기본적으로 이 방정식의 해의 꼴을 찾기 위해 점근해를 찾고자 한다. [math(\xi \gg 1)] 영역에서 위의 방정식은
[math(\displaystyle \frac{d^{2} \varphi}{d\xi^{2}}-\xi^{2}\varphi=0 )]
으로 주어지고, 이 방정식의 해는
[math(\displaystyle \varphi(\xi) \sim \exp{\left(\pm \frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
으로 주어진다. 그런데, 양자 조화 진동자는 퍼텐셜에 속박된 경우이므로 고유함수는 규격화가 가능해야 한다. 따라서 지수가 양인 해는 [math(\xi \gg 1)] 영역에서 발산하므로 적절한 해가 되지 못한다. 따라서
[math(\displaystyle \varphi(\xi) \sim \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
가 물리적으로 적절한 해이다. 따라서 우리는 해의 꼴을 다음과 같은 형태로 가정할 수 있다.
[math(\displaystyle \varphi(\xi) \sim H(\xi) \exp{\left(- \frac{\xi^{2}}{2} \right)} )]
[math(H(xi))]는 아직 정체가 밝혀지지 않은 [math(\xi)]에 관한 함수이다. 이것을 본래의 방정식에 넣으면,
[math(\displaystyle \frac{d^{2}H(\xi)}{d \xi^{2}}-2\xi \frac{dH(\xi)}{d \xi}+( \epsilon-1)H(\xi)=0 )]
의 방정식이 나오게 된다. 우리는 찾는 함수 [math(H(\xi))]를 다음과 같은 형태로 가정하자.
[math(\displaystyle H(\xi) \equiv \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\xi^{n} )]
이것을 위 방정식에 대입하면,
[math(\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_{n}\xi^{n-2}-2 \xi \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k-1}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0 )]
좌변의 제 1항에 대해 [math(k \to k+2)]로 하면,
[math(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k-2)a_{k+2}\xi^{k}-2 \sum_{k=1}^{\infty} ka_{k}\xi^{k}+( \epsilon-1)\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\xi^{k}=0 )]
따라서 같은 차수에 대한 계수를 조사해보면, 아래를 얻는다.
[math(\displaystyle a_{k+2}=\frac{2k+1-\epsilon}{(k+1)(k+2)}a_{k} )]
따라서 모든 [math(a_{k})]는 [math(a_{0})], [math(a_{1})]으로 표기할 수 있고, 이를 이용하면,
[math(\displaystyle H(\xi)=a_{0}\left[ 1+\frac{1-\epsilon}{2}\xi^{2}+\frac{(5-\epsilon)(1-\epsilon)}{24}\xi^{4}+\cdots \right]+a_{1} \left[ \xi+\frac{3-\epsilon}{6}\xi^{3}+\frac{(7-\epsilon)(3-\epsilon)}{120}\xi^{5}+\cdots \right] )]
으로 쓸 수 있다. 그런데 위 급수 또한 [math(\xi \gg 1)] 영역에서 발산한다. 따라서 우리가 [math(k=n)]일 때, 급수의 항이 더 더해지지 않고, 끊어지게 할 수 있다면, 급수는 발산하지 않고, 다항식으로 남을 수 있다. 해당 조건은
[math(\displaystyle a_{n+2}=\frac{2n+1-\epsilon}{(n+1)(n+2)}a_{n}=0 )]
을 만족시키면 된다. 단, [math(a_{n} \neq 0)]이다. 따라서
[math(\displaystyle \epsilon_{n}=2n+1 \quad (n=0,\,1,\,2,\,3,\cdots) )]
임을 알 수 있다. 따라서 이 조건일 때, 미분 방정식은
[math(\displaystyle \frac{d^{2}H(\xi)}{d \xi^{2}}-2\xi \frac{dH(\xi)}{d \xi}+2nH(\xi)=0 )]
이므로 이 방정식을 만족하는 해는 에르미트 다항식 [math(H_{n}(\xi))]이다. 따라서 우리는 대수적 기법과 동일하게 고유함수, 고윳값을 아래와 같이 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n}&=\sqrt{\frac{1}{2^{n}n! \sqrt{\pi}}}H_{n}(\xi)\exp{\left( -\frac{\xi^{2}}{2} \right)} \\ E_{n}&=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \qquad (n=0,\,1,\,2,\,\cdots) \end{aligned} )]

4. 여담

양자 조화 진동자는 해석적으로 정확하게 풀리면서도 실제 물리적 상황을 이해하는 데 대단히 유용한 시스템이다. 예를 들어, 1차원 공간에서의 일반적인 퍼텐셜 V(x)V(x)을 생각할 때, 이 퍼텐셜의 극소값 주변[3]에서 테일러 전개를 하면,
[math(\displaystyle V(x) \simeq V(x_{0})+\frac{V''(x_{0})}{2}(x-x_{0})^2 + O(x^3) )]
로 표현이 가능해서, 국소적으로 일반적인 퍼텐셜에서 극소점 부근의 물리를 단순 조화 진동자 문제로 근사시킬 수 있는 경우가 많다. 대표적으로 여러 개의 자유 보존은 여러개의 양자 조화 진동자와 같이 행동한다.

양자 조화 진동자의 해법과 이론은 모두 고체 물리학에서 등장하게 된다. 대표적인 예로 고체의 격자 진동의 에너지 양자 포논을 분석할 때 쓰이게 된다.

5. 관련 문서


[1] 이것은 나중에 생성 및 소멸 연산자의 고윳값을 구하면서 한 번 더 다루도록 하겠다.[2] 사실 위 그림에서 각각 그어진 [math(x)]축과 평행한 직선은 입자가 가질 수 있는 에너지를 나타낸다. 이 에너지와 퍼텐셜의 교점이 전환점이며, 자세한 것은 퍼텐셜 에너지 문서를 참조하라.[3] 다른 말로, 어떤 점 x0x_{0} 인근에서, V(x0)=0,V(x0)>0V'(x_{0})=0, V''(x_{0})>0

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