대칭함수

디랙 델타 함수를 정의하는 기반이 되는 함수들 중 [math(\boldsymbol{y})]축 대칭함수(짝함수)들의 예시

1. 개요

2. 정의

[math(f(x)>f(-x))]	[math(f(x)<f(-x))]
오차함수	브링 근호

3. 특수한 대칭함수

3.1. 홀함수

• [math(mathrm{sgn}(x))]
• [math(sin(x))], [math(tan(x))], [math(cot(x))], [math(csc(x))]
• [math(arcsin(x))], [math(arctan(x))], [math(mathrm{arccot}(x))], [math(mathrm{arccsc}(x))]
• [math(sinh(x))], [math(tanh(x))], [math(coth(x))], [math(mathrm{csch}(x))]
• [math(mathrm{arsinh}(x))], [math(mathrm{artanh}(x))], [math(mathrm{arcoth}(x))], [math(mathrm{arcsch}(x))]
• [math(mathrm{Si}(x))]
• [math(mathrm{Shi}(x))]
• [math(S(x))], [math(C(x))]
• [math(P_{2n+1}(x))](단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)
• [math(H_{2n+1}(x))](단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)
• [math(mathrm{erf}(x))]
• [math(mathrm{erfi}(x))]
• [math(mathrm{gd}(x))], [math(mathrm{igd}(x))]
• [math(mathrm{BR}(x))]
• [math(F(phi_{k))], [math(E(phi}k))]

3.2. 짝함수

• [math(c)]
• [math(|x|)]
• [math(cos(x))], [math(sec(x))]
• [math(dfrac{sin x}x)]
• [math(cosh(x))], [math(mathrm{sech}(x))]
• [math((Re circ mathrm{Ci})(x))][iπ]
• [math((Re circ mathrm{Chi})(x))][iπ]
• [math((Re circ mathrm{Log})(x))][iπ]
• [math(displaystyle pm sqrt{r^2-x^2}+b)]
• [math(displaystyle pm sqrt{b^{2}-frac{b^{2}x^{2}}{a^{2} }}+y_{0})]
• [math(displaystyle e^{-x^2})]
• [math(delta(x))]
• [math(P_{2n}(x))] (단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)
• [math(H_{2n}(x))] (단, [math(n)]은 0 이상의 짝수)
• [math(bold{1}_{mathbb Z}(x))], [math(bold{1}_{mathbb Q}(x))], [math(bold{1}_{mathbb I}(x))], [math(bold{1}_{mathbb R}(x))]
• [math(mathrm{tri}(x))]
• [math(mathrm{rect}(x))]
• [math(Psi(x))]

4. 성질

• [math(k)] × 홀함수 = 홀함수, [math(k)] × 짝함수 = 짝함수
• [math(ko_1(-x) = k(-o_1(x)) = -ko_1(x))]이므로 [math(ko_1(x))]는 홀함수이다.
• [math(ke_1(-x) = k(e_1(x)) = ke_1(x))]이므로 [math(ke_1(x))]는 짝함수이다.
• 홀함수, 짝함수에서 [math(x)]를 모두 [math(kx)]로 바꾼 함수는 각각 홀함수, 짝함수
• [math(o_1(k(-x)) = o_1(-kx) = -o_1(kx))]이므로 [math(o_1(kx))]는 홀함수이다.
• [math(e_1(k(-x)) = e_1(-kx) = e_1(kx))]이므로 [math(e_1(kx))]는 짝함수이다.
• 임의의 함수에서 [math(x)]를 모두 [math(|x|)]로 바꾼 함수는 짝함수[7]
• 이 함수에 [math(x)] 대신 [math(-x)]를 넣어도 [math(|x|=|-x|)]이므로 그 값이 같아지기 때문이다.
• [math(f(x))]가 홀함수, 짝함수이면 [math(f(-x))]도 각각 홀함수, 짝함수
• [math(o_1(-(-x)) = o_1(x) = -o_1(-x))]이므로 [math(o_1(-x))]는 홀함수이다.
• [math(e_1(-(-x)) = e_1(x) = e_1(-x))]이므로 [math(e_1(-x))]는 짝함수이다.
• 또는 [math(f(x), f(-x))]가 서로 y축 대칭이라는 것을 생각할 수도 있다.
• 홀함수 + 홀함수 = 홀함수, 홀함수 - 홀함수 = 홀함수, 짝함수 + 짝함수 = 짝함수, 짝함수 - 짝함수 = 짝함수
• [math(o_1(-x)+o_2(-x) = (-o_1(x))+(-o_2(x)) = -(o_1(x)+o_2(x)))]이므로 [math(o_1(x)+o_2(x))]는 홀함수이다.
• [math(o_1(-x)-o_2(-x) = (-o_1(x))-(-o_2(x)) = (-o_1(x))+o_2(x) = -(o_1(x)-o_2(x)))]이므로 [math(o_1(x)-o_2(x))]는 홀함수이다.
• [math(e_1(-x)+e_2(-x) = (e_1(x))+(e_2(x)) = e_1(x)+e_2(x))]이므로 [math(e_1(x)+e_2(x))]는 짝함수이다.
• [math(e_1(-x)-e_2(-x) = (e_1(x))-(e_2(x)) = e_1(x)-e_2(x))]이므로 [math(e_1(x)-e_2(x))]는 짝함수이다.
• 홀함수 - 홀함수 = 홀함수, 짝함수 - 짝함수 = 짝함수의 경우 홀함수 + (-1 × 홀함수) = 홀함수, 짝함수 + (-1 × 짝함수) = 짝함수를 이용하여 더 간단히 증명할 수도 있다.
• [math(k)] × 홀함수 + [math(j)] × 홀함수 = 홀함수, [math(k)] × 짝함수 + [math(j)] × 짝함수 = 짝함수. 즉 홀함수, 짝함수끼리의 선형 결합도 각각 홀함수, 짝함수가 됨을 의미한다.
• [math(k)] × 홀함수 + [math(j)] × 홀함수 = 홀함수 + 홀함수 = 홀함수
• [math(k)] × 짝함수 + [math(j)] × 짝함수 = 짝함수 + 짝함수 = 짝함수
• 홀함수 × 홀함수 = 짝함수, 홀함수 ÷ 홀함수 = 짝함수
• [math(o_1(-x)o_2(-x) = (-o_1(x))\times(-o_2(x)) = o_1(x)o_2(x))]이므로 [math(o_1(x)o_2(x))]는 짝함수이다.
• [math(o_1(-x)/o_2(-x) = (-o_1(x))/(-o_2(x)) = o_1(x)/o_2(x))]이므로 [math(o_1(x)/o_2(x))]는 짝함수이다.
• 홀함수 × 짝함수 = 홀함수, 홀함수 ÷ 짝함수 = 홀함수, 짝함수 ÷ 홀함수 = 홀함수
• [math(o_1(-x)e_1(-x) = -o_1(x)\times e_1(x) = -o_1(x)e_1(x))]이므로 [math(o_1(x)e_1(x))]는 홀함수이다.
• [math(o_1(-x)/e_1(-x) = -o_1(x)/e_1(x) = -(o_1(x)/e_1(x)))]이므로 [math(o_1(x)/e_1(x))]는 홀함수이다.
• [math(e_1(-x)/o_1(-x) = e_1(x)/(-o_1(x)) = -(e_1(x)/o_1(x)))]이므로 [math(e_1(x)/o_1(x))]는 홀함수이다.
• 짝함수 × 짝함수 = 짝함수, 짝함수 ÷ 짝함수 = 짝함수
• [math(e_1(-x)e_2(-x) = (e_1(x))\times(e_2(x)) = e_1(x)e_2(x))]이므로 [math(e_1(x)e_2(x))]는 짝함수이다.
• [math(e_1(-x)/e_2(-x) = (e_1(x))/(e_2(x)) = e_1(x)/e_2(x))]이므로 [math(e_1(x)/e_2(x))]는 짝함수이다.
• 여러 개의 홀함수와 짝함수의 곱의 경우, 홀함수를 곱한 횟수가 짝수이면 짝함수, 홀수이면 홀함수가 된다.
• 이 곱을 홀함수 × ... × 홀함수 × 짝함수 × ... × 짝함수로 나타낼 때 다음과 같다.
• 홀함수 × ... × 홀함수 부분은 홀함수 × 홀함수 = 짝함수, 짝함수 × 홀함수 = 홀함수이므로 곱해진 홀함수의 개수가 홀수 개이면 홀함수, 짝수 개이면 짝함수가 된다.
• 짝함수 × ... × 짝함수 부분은 짝함수 × 짝함수 = 짝함수이므로 짝함수이다.
• 따라서 홀함수가 홀수 번 곱해진 경우 최종적으로 홀함수 × 짝함수 = 홀함수이고, 짝수 번 곱해진 경우 최종적으로 짝함수 × 짝함수 = 짝함수가 된다.
• 이것을 응용하면 짝함수의 거듭제곱은 무조건 짝함수이고, 홀함수의 경우 홀수 번 거듭제곱은 홀함수, 짝수 번 거듭제곱은 짝함수임을 알 수 있다.

4.1. 합성함수

• [math((o_1 \circ e_1)(-x) = o_1(e_1(-x)) = o_1(e_1(x)) = (o_1 \circ e_1)(x))]이므로 [math((o_1 \circ e_1)(x))]는 짝함수이다. [math((e_1 \circ o_1)(x))]도 마찬가지.
• [math((o_1 \circ o_2)(-x) = o_1(o_2(-x)) = o_1(-o_2(x)) = -o_1(o_2(x)) = -(o_1 \circ o_2)(x))]이므로 [math((o_1 \circ o_2)(x))]는 홀함수이다.

• [math((f \circ e_1)(-x) = f(e_1(-x)) = f(e_1(x)) = (f \circ e_1)(x))]이므로 [math((f \circ e_1)(x))]는 짝함수이다.
• 예를 들어 [math(f(x)=x+1, e_1(x)=x^2)]일 때 다음과 같다.
• [math((f \circ e_1)(-x) = f(e_1(-x)) = f((-x)^2) = f(x^2) = f(e_1(x)) = (f \circ e_1)(x))]이므로 [math((f \circ e_1)(x))]는 짝함수이다.
• [math((e_1 \circ f)(-x) = e_1(f(-x)) = e_1(-x+1) = (-x+1)^2 = x^2-2x+1)]이고 [math((e_1 \circ f)(x) = e_1(f(x)) = e_1(x+1) = (x+1)^2 = x^2+2x+1)]이므로 [math((e_1 \circ f)(-x) \ne (e_1 \circ f)(x))]이다. 따라서 [math((e_1 \circ f)(x))]는 짝함수가 아니다.

• 예를 들어 [math(f(x)=x+1, o_1(x)=x^3)]일 때, [math((f \circ o_1)(-x) = f(o_1(-x)) = f((-x)^3) = f(-x^3) = -x^3+1)]이고 [math((f \circ o_1)(x) = f(o_1(x)) = f(x^3) = x^3+1)]이므로 [math((f \circ o_1)(-x) \ne -(f \circ o_1)(x))]이다. 따라서 [math((f \circ o_1)(x))]는 홀함수가 아니다. [math((o_1 \circ f)(-x) = o_1(f(-x)) = o_1(-x+1) = -x^3+3x^2-3x+1)]이므로 [math((o_1 \circ f)(x))] 역시 홀함수가 아니다.

• 예를 들어 [math((f \circ o_1 \circ e_1 \circ o_2)(-x) = f(o_1(e_1(o_2(-x)))) = f(o_1(e_1(-o_2(x)))) = f(o_1(e_1(o_2(x)))) = (f \circ o_1 \circ e_1 \circ o_2)(x))]이므로 [math((f \circ o_1 \circ e_1 \circ o_2)(x))]는 짝함수이다.

4.2. 미적분

4.2.1. 정적분

• 홀함수 : [math(\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0)]
• 짝함수 : [math(\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,\mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x) \,\mathrm{d}x = 2 \int_{-a}^0 f(x) \,\mathrm{d}x)]

4.3. 역함수

• 홀함수의 역함수도 홀함수이며 이는 물론 원래 함수와 직선 [math(y=x)]에 대하여 대칭이다.
• [math(y = o_1(x), -y = o_1(-x))]에서 [math(o_1)]의 역함수를 [math(o_1^{-1})]이라 하면 [math(o_1^{-1}(-x) = -y, o_1^{-1}(x) = y)]이므로 [math(o_1^{-1}(-x) = -o_1^{-1}(x))]가 성립한다. 따라서 [math(o_1^{-1}(x))]는 홀함수이다.
• 짝함수의 역함수는 [math(x)]축을 기준으로 선대칭을 이루는 음함수가 된다.

[풀이]

----
[math(f(x))]는 홀함수, [math(g(x))]는 짝함수이므로 [math(h(x)=f(x)g(x))]는 홀함수이다. 이에 따라 [math(h'(x))]는 짝함수이다. 결국 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_{-3}^3(x+5)h'(x)\,{\rm d}x&=\int_{-3}^3xh'(x)\,{\rm d}x+5\int_{-3}^3h'(x)\,{\rm d}x\\&=\int_{-3}^3xh'(x)\,{\rm d}x+10\int_0^3h'(x)\,{\rm d}x\\&=0+10\left[h(x)\right]_0^3=10\\\\\therefore\left[h(x)\right]_0^3&=1\end{aligned})]

두 번째 등식은 [math(h'(x))]가 짝함수이므로

[math(\displaystyle\int_{-3}^0h'(x)\,{\rm d}x=\displaystyle\int_0^3h'(x)\,{\rm d}x)]

인 데서 성립하는 것이다. [math(h(x))]는 홀함수이므로 [math(h(0)=0)]에서

[math(\left[h(x)\right]_0^3=h(3)-h(0)=h(3)=1)]

5. 여러 가지 함수에서

5.1. 다항함수 및 역함수

• 짝수차항만으로 구성된 함수 [math(a_1(-x)^{2n}+a_2(-x)^{2n-2}+...+a_n(-x)^2+a_{n+1} = a_1x^{2n}+a_2x^{2n-2}+...+a_nx^2+a_{n+1})]이므로 짝함수이다. 또는 짝함수인 1과 [math(x^2)]의 실수배 및 거듭제곱의 합이므로 짝함수라고 할 수도 있다.
• 홀수차항만으로 구성된 함수 [math(a_1(-x)^{2n-1}+a_2(-x)^{2n-3}+...+a_{n-1}(-x)^3+a_n(-x) = -a_1x^{2n-1}-a_2x^{2n-3}-...-a_{n-1}x^3-a_nx = -(a_1x^{2n-1}+a_2x^{2n-3}+...+a_{n-1}x^3+a_nx))]이므로 홀함수이다. 또는 홀함수인 [math(x)]와 그것을 홀수 번 거듭제곱한 것의 합이므로 홀함수라고 할 수도 있다.

• '홀함수 × 홀함수 = 짝함수'와 같이 홀함수와 짝함수의 곱에서 곱해지는 홀함수의 개수가 홀수이면 홀함수, 0을 포함한 짝수이면 짝함수 : [math(y=x^{a_1}, ..., y=x^{a_n})]이 있다고 할 때, 이들의 곱은 지수법칙에 의해 [math(y=x^{a_1+a_2+...+a_n})]이 된다. 이때 곱해지는 홀함수의 개수는 [math(a_1, a_2, ..., a_n)] 중 홀수인 것의 개수와 같으므로, 홀수 개이면 [math(a_1+a_2+...+a_n)]의 값이 홀수가 되어 홀함수, 짝수 개이면 그 값이 짝수가 되어 짝함수가 된다.
• 홀함수끼리 합성하면 홀함수가 되고, 합성되는 함수 중 짝함수가 있으면 짝함수 : 마찬가지로 [math(y=x^{a_1}, ..., y=x^{a_n})]을 모두 합성하면 [math(y=x^{a_1...a_n})]이 되는데, 이들 함수가 모두 홀함수이면 [math(a_1...a_n)] 역시 홀수이므로 홀함수가 되고, 짝함수가 1개라도 있으면 [math(a_1...a_n)] 역시 짝수가 되므로 짝함수가 된다.

5.2. 삼각함수

• [math(a\times \sin(bx+n\pi), a\times \tan(bx+n\pi/2))] 꼴의 함수는 홀함수이다. 상수항 [math(d)]를 더하면 원점 대신 [math((0, d))]에 대해서 대칭이 된다.
• [math(a\times \sin(b(-x)+n\pi) = a\times \sin(-bx+n\pi) = -a\times \sin(bx-n\pi) = -a\times \sin(bx-n\pi+2n\pi) = -a\times \sin(bx+n\pi))]가 성립한다. 여기서 [math(2n\pi)]의 값은 사인함수의 주기인 [math(2\pi)]의 배수이므로 더하거나 빼도 무방하다.
• [math(a\times \tan(b(-x)+n\pi/2) = a\times \tan(-bx+n\pi/2) = -a\times \tan(bx-n\pi/2) = -a\times \tan(bx-n\pi/2+n\pi) = -a\times \tan(bx+n\pi/2))]가 성립한다. 여기서 [math(n\pi)]의 값은 탄젠트함수의 주기인 [math(\pi)]의 배수이므로 더하거나 빼도 무방하다.
• [math(a\times \cos(bx+n\pi)+d)] 꼴의 함수는 짝함수이다. 상수항을 더하면 홀함수가 아니게 되는 사인, 탄젠트함수와 달리 상수항을 더해도 여전히 짝함수이다.
• [math(a\times \cos(b(-x)+n\pi)+d = a\times \cos(-bx+n\pi)+d = a\times \cos(bx-n\pi)+d = a\times \cos(bx-n\pi+2n\pi)+d = a\times \cos(bx+n\pi)+d)]가 성립한다. 여기서 [math(2n\pi)]의 값은 코사인함수의 주기인 [math(2\pi)]의 배수이므로 더하거나 빼도 무방하다.
• 역수꼴 함수 [math(a\times \csc(bx+n\pi), a\times \cot(bx+n\pi/2))] 꼴의 함수는 홀함수이고, [math(a\times \sec(bx+n\pi)+d)] 꼴의 함수는 짝함수이다.
• [math({\rm sinc}(x) = \sin(x)/x)]는 홀함수÷홀함수 꼴이므로 짝함수이고, 그 역도함수인 [math({\rm Si}(x))]는 홀함수이다.
• [math(\cos(x)/x)]는 짝함수÷홀함수 꼴이므로 홀함수이고, 그 역도함수인 [math({\rm Ci}(x))]의 실수부는 짝함수이다.
• [math(\sin(x^2))], [math(\cos(x^2))]는 각각 홀함수[math(\circ)]짝함수, 짝함수[math(\circ)]짝함수 꼴이므로 짝함수이고, 그 역도함수인 [math(S(x))], [math(C(x))]는 홀함수이다.
• [math(\sec(x))]는 짝함수이므로 그 역도함수인 [math({\rm igd}(x))]는 홀함수이다.

6. 짝함수나 홀함수가 아닌 대칭함수

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