1. 개요
함수해석학(函數解析學, functional analysis)은 해석학의 세부 분야로, 함수 공간과 작용소의 위상적·대수적 성질을 다룬다.[1] 미분방정식, 푸리에 해석, 양자역학 등의 연구가 심화됨에 따라 함수 공간과 그 위의 작용소의 성질을 논의하는 과정에서 발전하였으며, 오늘날 수학의 여러 분야에서 응용될 뿐만 아니라 물리학, 통계학, 금융공학, 인공지능 등 다양한 수학 외 분야에서 활용된다.함수해석학에서 주로 다루는 함수공간은 위상적 성질이 부여된 벡터 공간, 즉 위상벡터공간이다. 함수 사이의 덧셈 및 상수곱을 통해 벡터 공간을 이루는 함수 집합에 거리, 노름, 내적, 완비성 등 극한과 관련된 해석적 공리를 정의하고, 대수 연산과 해석 공리에 호환하는 위상을 부여하여 함수공간을 구성한다. 기초 선형대수학에서 다루는 유한차원 벡터공간과 달리, 함수해석학에서는 주로 무한차원 함수 공간을 다루며, 그 기수는 가산 또는 비가산일 수 있다.
작용소는 함수공간 사이의 변환이다. 함수해석학에서는 유계 선형 작용소 및 비유계 작용소 등 다양한 작용소의 성질을 규명한다. 특히 작용소의 불변 부분공간 문제는 함수해석학의 오랜 난제이다. 작용소의 집합은 작용소의 덧셈, 스칼라 곱, 합성 연산을 갖춰 결합 대수라고 하는 대수적 구조를 이룬다. 함수해석학에서는 작용소 대수를 일반화한 대수를 분류하고 그 성질을 규명한다. 이 과정에서 대수학의 이론이 적극적으로 활용된다.
2. 관련 용어
3. 관련 정리
4. 관련 인물
[1] 일각에서는 한국어 명칭이 오역이라는 주장을 한다. "Functional"이라는 단어가 형용사로 쓰이면 '함수의'라는 뜻이지만 명사로 쓰이면 '범함수'라는 별개의 대상을 의미한다. 표준중국어로는 泛函分析, 즉 "범함수 해석학"이라는 의미로 번역된다.