최근 수정 시각 : 2020-03-13 02:34:56

0.999…=1

1. 개요2. 설명3. 간단한 증명(?)들4. 이에 대한 반박들5. 교육과정 속에서의 문제6. 무한소를 도입한 수 체계에서7. 남은 이야기8. 관련 링크9. 관련 문서

1. 개요

k=1910k=1\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} = 1

아주 오래 전부터 수많은 사람들에게 셀 수 없이 많은 착각을 불러일으킨 명제.

결론부터 말하자면 0.999=10.999\ldots=1맞다.

2. 설명

이 논제를 헷갈리는 이유는 정확한 용어의 정의 없이 직관만으로 논증하려 했기 때문이다. 가령 무한 소수라는 것을 점점 '다가가는' 수 같은 식의 임의로 움직인다는 개념을 집어넣거나 하는데 수학에 '움직이는 수'라는 개념은 없다. 대부분의 수학을 다루지 않는 일반인들은 고등학교에서 수박 겉핥기 식으로만 극한을 배우게 된다. 그래서 고등학교 수준에서는 해석학을 제대로 다룰 수가 없기 때문에 극한과 그 관련 개념들에 대해서 제대로 된 설명을 하지 않고 넘어가게 되면서 사람들의 혼란을 초래하게 된다. 심지어 교사들마저도 이에 대해 제대로 이해하지 못하고 잘못된 설명을 하는 경우가 아주 흔하다. 고로 이런 혼란이 일어난 것은 수학이라는 학문을 애매한 정도로 어설프게 가르친 교육과정의 잘못이 크다고 할 수 있다.[1]

다행히도 0.999… = 1이라는 사실은 수학적으로 아주 간단하게 증명할 수 있다. 대학교 기초 수준의 수학 지식이 있다면 이해하는 데에 무리는 없을 것이다.

0.999…같은 표기를 쓰기 전에 일단 '무한소수' 라는 것이 무엇인지를 알 필요가 있다. 정의는 간단하다. 수열 {an}nN\left\{ a_n \right\}_{n \in \mathbb N} 을 생각하자. 만약에 알아보고 싶은 무한소수가 0.999... 라고 한다면 a1=0.9,a2=0.99,a3=0.999,...a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999, ... 이 될 것이다. 무한소수라는 것은 이러한 수열의 극한으로써 정의된다.

극한에 대해서는 해당 항목에 자세히 설명이 되어 있으므로 관심이 있다면 참고하자. 간단히 설명하자면, ana_n의 극한이 a라는 것은 아무리 작은 양수 ϵ\epsilon를 제시하더라도, n을 충분히 크게 함으로써 aaana_n 사이의 거리를 ϵ\epsilon보다 작게 할 수 있다는 의미이다. 직관적으로도 이 정의는 우리가 일상적으로 말하는 '무한히 접근한다' 라는 표현과 일맥상통함을 이해할 수 있을 것이다. 이 정의를 만족하지 않는데 ana_naa로 무한히 접근하지 않을 방법이 있을까 고민해 본다면 명확하다.

첫 번째 문제는 {an}nN\left\{ a_n \right\}_{n \in \mathbb N}의 극한값이 존재할지에 대한 것이다. 두 번째 문제는 이 극한값이 무엇일지에 대한 문제이다. 다행히도, 임의의 무한소수에 대해 {an}\left\{ a_n \right\}의 극한값은 존재하고, 그 극한값은 이 수열의 상한(supremum), 풀어 쓰면 '모든 n에 대해 ana_n보다 크거나 같은 숫자의 집합에서 가장 작은 수' 와 같다.

이를 증명하기는 어렵지 않다. 일단 집합 {annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}이 상계(upper bound)를 가진다는 것을 보이자. 예를 들어 '10'은 임의의 ana_n보다 크므로 이 집합의 상계이다. 실수의 완비성에 의해 공집합이 아닌 실수의 부분집합에 상계가 존재한다면 상한(supremum)은 언제나 존재한다. 수학자들이 부등호를 적절하게 조절하여 임의의 집합에 대해서도 항상 존재할 수밖에 없도록 만든 개념이기에 그렇다. 이는 하한(infimum)도 마찬가지. 자세한 것은 https://en.wikipedia.org/wiki/Least-upper-bound_property를 참조

그 다음은 이 상한이 이 수열의 극한값이라는 것을 증명해야 한다. 단조 수렴 정리(Monotone Convergence Theorem)에 의하면, 임의의 수열이 위로 유계이고 증가하는 수열이라면 그 극한값이 존재하며 극한값은 그 수열의 상한과 같다.

이를 증명하기 위해 위 명제가 성립하지 않는다고 가정하자. 즉, {an}\left\{ a_n \right\}이 증가 수열이고, 위로 유계임에도 불구하고 {annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}의 상한 cc로 수렴하지 않는다고 가정해 보자. 그러면 극한의 정의에 의해 어떤 ϵ\epsilon이 존재하여 아무리 n을 키워도 ccana_n의 차이를 ϵ\epsilon보다 작게 만들 수 없어야만 한다. 하지만 그럴 경우, cc{annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}의 상한이라는 가정에 위배된다. 왜나하면 c0.5ϵc-0.5\epsilon라는 수는 cc보다 작으면서도 {an}\left\{ a_n \right\}의 상계가 될 수 있기 때문이다. 따라서 위 명제가 성립하므로, 수열 {an}\left\{ a_n \right\}의 극한값이 존재하며 그 값은 {annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}의 상한과 같다.

이제 모든 증명이 끝났다. an=1110n=0.9999\displaystyle a_n=1-\frac{1}{10^n}=0.999\cdots 9(9가 n개)라고 하자. 그러면 {annN}\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}의 상한은 1이다. 따라서 0.999… = 1이다.

3. 간단한 증명(?)들

사실 이 항목에서는 증명이 중요한 것이 아니라 정의가 본질적인 문제이다. 무한소수의 정의에 대한 어떠한 언급도 하지 않으면서 하는 증명이란 것은 모호한 사실을 얼핏 보기에 덜 모호해 보이는 사실(가령 1/3=0.333...)로 바꾸는 것인데 애매모호함은 그저 숨겨져 있을 뿐 그대로 남아있게 된다. 교육학적으로는 어떨지 모르겠으나 수학적으로는 설명이라고 할 것이 못 된다.
  • 1. 13=0.3333\displaystyle\frac{1}{3} = 0.3333\ldots 이다.
  • 2. 13×3=1\displaystyle\frac{1}{3}\times3 = 1 이다.
  • 3. 13×3=0.3333×3=0.9999\displaystyle\frac{1}{3}\times3=0.3333\ldots\times3 = 0.9999\ldots 이다.
  • 4. 따라서 0.9999=1\mathbf{0.9999\ldots = 1} 이다.

만약 이 항목에 관하여 누군가가 자신에게 물어온다면 이러한 증명을 보여주는 것이 아니라 그저 무한소수의 정의는 무엇인지 생각해 보았냐고 되물어 봐 주는 게 낫다.
  • a=0.999a = 0.999\cdots로 두면 10a=9.99910a = 9.999\cdots 이때, 10aa=9a=9.9990.999=910a - a = 9a = 9.999\cdots- 0.999\cdots = 9 이므로, a=1a = 1
    이는 중학교 수학책에도 나오는 증명이다.
  • 0.999…는 순환소수 0.9˙0.\dot{9} 를 다르게 쓴 것뿐이다. 이 순환소수를 유리화하면 9101=99\displaystyle\frac{9}{10-1} = \frac{9}{9}이므로 1이 된다.
  • (귀류법) 0.9990.999\cdots11이 다르다고 하자.
    실수의 삼분법(trichotomy)[2]에 의하여 0.9˙>10.\dot{9}>1이거나 0.9˙<10.\dot{9}<1 중 하나이다. 일단 0.9˙>10.\dot{9}>1은 성립하지 않는다. 왜냐하면 0.9˙>10.\dot{9}>1이라면 0.9˙0.\dot{9}의 정수 부분이 1보다는 크거나 같아야 하는데 이는 모순. 0.9˙<10.\dot{9}<1라면 실수의 조밀성에 의하여 0.9˙<a<10.\dot{9}<a<1인 어떤 실수 aa가 존재한다. a:=0.a1a2a3 (ai{0,1,2,,9})a:=0.a_1a_2a_3\ldots \ (a_i \in \left\{ 0,1,2,\ldots,9 \right\})라 하자. 0.999<0.a1a2a30.999\cdots < 0.a_1a_2a_3\cdots인데 a1a_10,1,2,,80,1,2,\ldots,8중 하나라면 0.9˙>a0.\dot{9}>a이므로 모순. 따라서 a1=9a_1=9이다. 같은 방법을 계속 반복하면 임의의 자연수 nn에 대하여 an=9a_n=9가 된다. 따라서 a=0.9˙a=0.\dot{9}이므로 모순. 0.9˙>1, 0.9˙<10.\dot{9}>1,\ 0.\dot{9}<1의 두 가지 경우에 대하여 모순이므로 결과적으로 0.9˙=10.\dot{9}=1이다.
  • 모든 자연수 nn에 대하여 0<n<10n0<n<10^n이므로 0<110n<1n\displaystyle 0<\frac{1}{10^n}<\frac{1}{n}이 성립한다. 실수의 아르키메데스 성질에 의해 수열 {1n}\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}은 0으로 수렴하므로, 샌드위치 정리에 의해 수열 {110n}\displaystyle \left\{\frac{1}{10^n}\right\}도 0으로 수렴한다. 그러면 극한의 성질에 따라 limn(1110n)=1\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)=1
  • 1÷3×3=1×13×3=1×33=11\div 3\times 3= 1\times\displaystyle\frac{1}{3}\times3=1\times\displaystyle\frac{3}{3}=1이 되는데,
    1÷3×3=0.333×3=0.9991\div 3\times 3=0.333\ldots\times3=0.999\ldots이므로, 1×13×3=1÷3×3=0.999=11\times\displaystyle\frac{1}{3}\times3=1\div 3\times 3=0.999\ldots=1가 된다.
  • 19\displaystyle\frac{1}{9}는 0.111... 이고 29\displaystyle\frac{2}{9}는 0.222.. 이므로 99\displaystyle\frac{9}{9} 0.999.. 이다. 이때, 99\displaystyle\frac{9}{9}는 1과 같으므로 0.999…=1 성립이 된다.
  • 0.999…= 910\displaystyle\frac{9}{10} x 11110\displaystyle\frac{1}{1-\frac{1}{10}} = 910\displaystyle\frac{9}{10} x 19/10\displaystyle\frac{1}{9/10} = 910\displaystyle\frac{9}{10} x 109\displaystyle\frac{10}{9} = 1이므로 0.999..=1이다.
  • 엡실론 - 델타 논법을 이용하면, 보다 확실해지는데, {an}=10.1n\left \{ a_{n} \right \} = 1-0.1^{n}이라고 수열을 정의하자. 이 수열은 0.9,0.99,0.999,...0.9, 0.99, 0.999, ...식으로 끝 없이 이어진다. 이제, 이 수열의 극한을 1이라 가정하고, 엡실론 - 델타 논법에 따라 전개하자. 임의의 양의 실수 ϵ>0\epsilon>0에 대해서, k>Nk>Nk\forall k에 대하여, ak1<ϵ\left|a_k-1\right|<\epsilon을 만족하는 임의의 자연수 NN이 존재한다. 이는 {an}=10.1n\left \{ a_{n} \right \} = 1-0.1^{n}이라고 수열을 정의했기 때문에, ak1=0.1k\left|a_k-1\right|=0.1^{k}가 되기 때문인데, N=log0.1ϵ=log10ϵN=\lfloor\log_{0.1}\epsilon\rfloor=-\lceil\log_{10}\epsilon\rceil로 잡으면, kN+1>log0.1ϵN=log0.1ϵk\geq N+1>\log_{0.1}\epsilon\geq N=\lfloor\log_{0.1}\epsilon\rfloor이 되어, 0.1k0.1N+1<0.1log0.1ϵ=ϵ<10N0.1^{k}\leq 0.1^{N+1}< 0.1^{\log_{0.1}\epsilon}=\epsilon<10^{N}이 성립한다. 즉, 어떤 ϵ>0\epsilon>0을 잡아도, 그보다 오차를 줄일 수 있는 NN을 정의할 수 있어서, 이 수열의 극한값은 1이 된다.[3]

사실 계산기로 1÷3×3=1을 보여주면 된다
애초에 0.999... = 9/9다.
간단하게 납득시키고 싶다면, 1에서 0.999…를 빼서 뭐가 남느냐고 물어보자 0.000…1[4]

4. 이에 대한 반박들

물론 이에 대한 반박은 단순히 인터넷 꾸준글 수준이 아니라 역사적이라고 해도 될 만큼 오래 있었다.
  • "0.9990.999\cdots11한없이 다가가는 수이지 11이 안 된다."[5][6][7]
  • 0.9990.999\cdots 가 1과 같다면 10.9991 - 0.999\cdots == 00이 성립되어야 한다.되는데요
  • 0.9990.999\cdots 가 1과 같다면 이의 제곱도 1이여야 한다.

조금 더 그럴싸한 반박으로는 다음과 같은 것이 있다. "S={xx<1}S = \{x|x<1\}이라 하자. 0.90.9SS의 원소이다. 0.990.99 역시 SS의 원소이다. 0.999...90.999...9(99kk개)가 SS의 원소일 때, 0.9990.999\ldots(99k+1k+1개) 역시 SS의 원소이다. 따라서 0.9990.999\ldots 역시 SS의 원소일 수밖에 없다."라는 것이다. 당연하지만 틀린 증명인데, 왜냐하면 이 논리는 모든 자연수 nn에 대해 유한소수 0.99990.999\ldots9(99nn개)가 SS의 원소임을 말해줄 뿐이고, SS가 실수에서 닫힌 집합[closed set]이 아니기 때문이다. 어떤 집합이 닫혔다는 SS의 원소로 이루어진 임의의 수렴하는 수열 {an}\{a_n\}에 대해 그 극한값이 SS의 원소라는 것으로 정의된다. 이런 정의가 있다는 것은 당연하지만 모든 실수의 부분집합이 닫힌 집합인 것은 아님을 암시한다. 임의의 자연수 nn에 대해 0.99990.999\ldots9(99nn개)가 SS의 원소이더라도 0.9990.999\ldots는 그렇지 않을 수도 있는 것이다.

5. 교육과정 속에서의 문제

한국 중등교과의 순환소수 도입에서 0.999...=1의 문제는 현재 의도적으로 회피되어 있다. 교육부 및 평가원의 2015 개정 교육과정 고시[8]에는 대놓고 "유한소수를 순환소수로 나타내는 것은 다루지 않는다."라고 교수학습 유의사항에 명시되어 있다. 유한소수를 순환소수로 나타낼 수 있는 경우는 0.999...=1이 본질적으로 유일하기 때문에, 이건 누가 봐도 이 문제를 저격한 것이다. 그 다음 항목이 바로 "순환소수를 분수로 고치는 것은 순환소수가 유리수임을 이해할 수 있는 정도로 다룬다"이다.

순환소수의 개념이 상당히 느슨하게 다루어지고 있지만, 소수가 나오는 수준을 생각하면 이게 맞다. 초등교과에서 제기된 소수의 나눗셈에 대한 의문을[9] 조금이나마 풀어주면서 한편으로는 실수에 대한 도입 역할로서 무한소수를 소개하는 정도에 그쳐야 하는데, 이런 상황에서 극한이니 뭐니를 들여오는 순간 바로 수포자 양산의 지름길이 되는 것이다. 0.999...=1에 대한 오해를 엄밀한 정의의 부재로 돌리는 것은 지나치게 무리한 요구이다.

0.999...를 도입하기 위해서는 어떠한 식으로든 수준 외의 내용이 필요하기 때문에, 이 내용을 빼는 것은 일선 현장에서도 지속적으로 제안되었던 내용이다. 중2 과정에서 순환소수를 구해내는 과정은 세로셈이 전부인데, 0.999...는 이 세로셈으로 얻어낼 수 없는 유일한 숫자이다. 즉 0.999...를 언급하려면 의도적으로 피하고 있는 극한에 대한 이야기를 어쨌든 꺼내야 한다. 정확히 설명하지 못할 바에야 아예 배제하는 이 방식이 어찌 보면 중학교 수준에서 취할 수 있는 합리적인 수순이라 할 수 있다. 고교과정으로 가면 극한을 정의는 못 해도 언급은 할 수 있으니까 미완적이지만 해결되는 부분이니까.

문제는 이 0.999...의 존재를 생각하지 않으면서 오개념이 발생하는 위험이다. 대부분의 사람들이 극한의 정의에만 매몰되어 0.999...=1에 불편함을 느끼는 심리적인 이유를 간과하는데, 바로 소수의 표현이 유일하다는 고정관념이다. 사실 0.999...=1을 보면 바로 '어 생각해보니 그러네'라는 소리가 나오긴 하지만, 이 점을 생각하지 않는다면 이건 0.999...=1을 알고 있는 사람도, 심지어 수학 전공자들도 가끔씩 착각하는 오개념이다. 또한 저 식은 유한소수 표현이랑 순환소수 표현이 같아질 수 있다는 것을 의미하기도 한다. 즉 유한소수와 순환소수는 칼같이 나누어 질 수 있는 게 아니고, 실수의 하위분류는 더더욱 아니다. 수의 표현과 수의 차이를 엄밀히 구분하지 못하는 것은 추상성이 충분히 발달하지 못한 초/중등 과정에서 흔히 발생하는 오개념 중 하나이다. 하지만 0.999...=1은 상기한 오개념들의 '유일한' 반례이기 때문에, 이것만 없으면 모든 실수를 소수표현으로 유일하게 나타내고, 유한소수/순환소수의 분류 기준을 엄밀히 세우는 것이 그럴듯해 보이는 착각을 준다. 이런 상황에서 기존의 고정관념을 지키고자 한다면 0.999...=1을 부정하기 위해 이상한 논리를 만들어내게 되는 것이다.

즉 유한소수와 순환소수를 수의 '표현'이 아니라 '수' 자체로 간주하는 사고방식, 십진표현의 유일성에 대한 정확하지 못한 언급, 유리수를 유한소수와 순환소수로 분류한다는 뉘앙스를 주는 서술방식 이들 모두가 0.999...=1에 대한 오해에 기여한다고 볼 수 있다. 이상적인 중등 수학교사라면 항상 0.999...를 염두에 두며 오해의 소지가 있는 이런 표현들을 피하면서도, 한편으로는 수준 밖 내용을 끌어들이지 않기 위해 0.999...에 대한 언급 자체를 되도록 피해야 하며, 만약 혹시 모를 학생이 0.999...를 물어본다면 학생의 수준 내에서 정확하게 설명해 줄 수 있어야 한다. 물론 현실에서는 그런 거 깔끔하게 씹는 참고서가 넘쳐난다.

6. 무한소를 도입한 수 체계에서

사람들이 헷갈려 하는것 중 하나로, 무한소를 고려하면 0.99910.999\cdots\neq 1일것 같아 보이지만, 그렇지 않다. 예를 들어서, 무한소의 개념을 허용한, 비표준 해석학에서도 0.999...=1이다. 왜냐하면 무한소수 자체가 실수를 표기하는 한 방법이기 때문이다. 다만, 초실수 중에는 1에 무한히 가깝지만, 1보다는 작은 수가 존재하는데, 예를 들어서 수열 an=0.9+0.09+0.009++(0.1)n9a_{n}=0.9+0.09+0.009+\cdots+(0.1)^{n}9에 대응하는 초실수가 존재해서[10] 이 수는 1은 아니지만, 1과의 차가 임의의 양의 실수보다 작다. 이 수를 (an)U(a_{n})_{U}라고 하면, 임의의 1보다 작은 실수 xx에 대하여
x<(an)U<0.9999=1x<(a_{n})_{U}< 0.9999\cdots=1
이다. '직관적'으로 움직이는 수(?)라던지 하는 것은 0.999...가 아니라 (i=1n910i)U\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^{i}}\right)_{U} 였던 것. 이것은 어디까지나 정의의 문제이다.

물론, 수학은 자유롭기 때문에[11] 자기 혼자 0.999...를 (i=1n910i)U\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{9}{10^{i}}\right)_{U}을 나타내는 표기법으로 삼을수도 있을 것이다. 그러나, 표기의 일관성을 고려하면, 수많은 이름 없는 무리수들의 표기법을 잃어버리게 된다. 예를 들어서, 0.2394959949290392020450.239495994929039202045\cdots라는 무한 소수는 수열 (0.2,0.23,0.239.0.2394,0.23949,)(0.2,0.23,0.239.0.2394,0.23949,\cdots)에 대응 하는, 실수가 아닌[12], 초실수가 될 터인데, 그렇다면 기존의 0.2394959949290392020450.239495994929039202045\cdots가 나타내고 있던 무리수는 무슨 방법으로 표현해낼지가 문제가 된다. 극한을 이용해서
limn(0.2,0.23,0.239.0.2394,0.23949,)\lim\limits_{n\to\infty}(0.2,0.23,0.239.0.2394,0.23949,\cdots)
라고 표현할수 있겠지만, 초실수체라는 복잡한 개념 때문에, 더 쉽고 더 자주 사용하는 실수를 번거롭게 표기해야할 이유가 전혀 없다.

7. 남은 이야기

다시 강조하지만 0.999…=1이라는 것은 1+1=2이라는 사실만큼이나 반박이나 논란의 여지도 없는 엄연한 수학적 사실이다. 그럼에도 불구하고 언뜻 보기에 너무나 오해하기 쉬운 모습 때문인지, 현재까지도 인터넷 등지에서는 게시판이나 포럼에서는 격렬한 논란을 일으켜 불바다로 만드는 떡밥으로 언급된다. 북미에서 인터넷이 보급되면서 시작해 지금까지도 한 번 판 터지면 양쪽에서 그야말로 입에서 거품을 무는 장관이 펼쳐진다. 블리자드 배틀넷에서 하루가 멀다하고 이 주제를 가지고 싸움이 나자 2004년 블리자드에서 공식으로 0.999=10.999\ldots=1이 옳습니다하고 공지한 적이 있다.

이는 중등수학에서 '순환하는 무한소수의 분수꼴 표현'과 고등수학에서 '극한값을 이용한 무한소수의 합 구하기'를 철저하다 못해 훈련하듯 배우는 대한민국도 예외는 아니라 디시인사이드 수학 갤러리의 공지글, 나무위키의 0.999…=1 문서 등에 그 고충이 묻어나고 있다.[13] 특히 수갤에서는 워낙 자주 올라온 꾸준글이어서 금지 떡밥으로 지정되어 공지에 오르는 등 수갤러들이 얼마나 이 문제로 오랫동안 지겹도록 시달리고 있는지 알 수 있다.

한국에서도 유명한 수학 귀신에서도 주인공 로베르트가 0.9990.999\ldots에는 마지막 99가 없으니 11이 아니라는 의문을 던지고 테플로탁슬을 매우 빡치게 한다. 책의 77쪽 참고.

수학과 전혀 상관없을 법하지만 격투만화인 그래플러 바키의 등장인물 오로치 돗포의 회상씬에서 등장하기도 했다. 0.999...의 마지막 9를 찾기 위해 노력했지만 결국엔 0.999...=1임을 인정한다.

월드 오브 워크래프트의 공격대 던전 울두아르에서 '고대 기록관 자료 원반' 퀘스트를 수행하면 알갈론이 아제로스를 분석한 후 신호 오메가를 보낼 확률은 99.99…%의 순환소수라고 한다.

8. 관련 링크

9. 관련 문서



[1] 물론 그렇다고 대학수준의 해석학을 고교 과정으로 끌고 오기에는 무리가 있다. 이과에게도 무리인데 문과에게는 말이 필요 없다.[2] 임의의 두 실수 a,ba, b에 대해서는 a=b,a<b,a>ba = b, a < b, a > b 중 하나만 성립한다.[3] x\lceil x \rceil은 천장함수, x\lfloor x \rfloor은 바닥함수라고 하며, 각각의 정의는 다음과 같다.
x=max{nZ:nx}\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb Z\colon n\le x\}
x=min{nZ:nx}\lceil x\rceil=\min\{n\in\mathbb Z\colon n\ge x\}
바닥함수는 흔히 말하는 가우스 기호와 같은 함수로, 소수점 아래를 버리는 함수이며, 천장함수는 반대로 소수점 아래를 정수로 올리는 함수다.
[4] 위의 증명을 아주아주 직관적으로 따른 설명이다. 관련 이론, 정리, 증명은 몽땅 건너뛰어서 수학적 가치는 없지만, 일상에서 이것에 의문을 가지는 사람들은 대체로 0.999…는 1과 뭔가 달라보인다는 직관에 따르는 것인지라 0.000...이 0이라는 사실은 비교적 쉽게 받아들이기 때문에 의외로 잘 먹힌다. 물론 좀 고집이 세거나 생각 좀 한다고 생각하는 사람들은 아래처럼 더 반박하기도 하지만.[5] 다시 한 번 강조하지만 다가가는 수 따위는 존재하지 않는다. 숫자 1이 1.0001도 0.9999도 아닌 정확한 1인 것처럼 0.9990.999\cdots는 엄연히 고정된 수이고 그 값은 매우 정확히 1이다. 값이 고정된 "숫자"임에도 생김새 때문에 매우 많은 사람들이 '다가간다'고 착각하고 있다.[6] 저 논리대로 하면 1은 1.000001.00000\cdots이므로, 11한없이 다가가는 수가 되어 11이 안 된다[7] 극한에서 다가간다는 표현을 쓰는것은, x값, 함수값 또는 수열의 항 등이 점점 어떤 값에 가까운 값을 갖게 된다는 의미이지, 특정한 숫자 자체가 움직인다는 뜻은 아니다.[8] 여기서 확인 가능. 수학과는 별책 8[9] 초등 6학년까지의 소수의 나눗셈에서는 유한자리까지만 계산하고 나머지는 근사값 처리하고, 무한한 자리수를 언급하는 것은 금지된다.[10] 유리수에서 실수를 구성할 때, 유리수 코시 수열을 이용하는 것 처럼 실수열을 이용하여 실수에서 초실수를 만들어 낼 수 있다.[11] 그러나 자유에는 책임이 뒤따르고, 이 경우에는 1≠ 0.999... 라면 0.999...는 도대체 뭔지 엄밀하게 정의해줄 의무가 뒤따른다.[12] ultrapower construction에 의한 방법에서 어떤 수열이 어떤 실수 r에 대응되려면, 적어도 그 수열의 무한개의 항이 r이여야 한다. 이 경우에는 소수n번째 이하의 자리에서 모두 0 (즉, 유한소수) 이 아닌 이상은 불가능하다.[13] 당장 이 문서의 역사 항목만 봐도 꽤 최근까지 격렬한 수정전쟁이 일어난 것을 목격할 수 있을 것이다.