1. 개요
Vitali set / 비탈리 集合 / (이탈리아어)Insieme di Vitali이탈리아의 수학자인 주세페 비탈리가 고안한 르베그 불가측 집합이다.
2. 상세
[math(E)]를 양의 르베그측도를 갖는 [math(\mathbb{R})]의 임의의 유계 부분집합이라고 하고, [math(E)]에 동치관계 [math(\sim)]를 아래와 같이 정의하자.[math(x\sim y \iff x-y \in \mathbb{Q})]
그러면, 선택공리에 의해서, 각 동치류에서 대표 원소를 1개씩 뽑을 수 있다. 이렇게 뽑은 대표 원소들의 집합을 [math(V)]라고 하자. 그러면, [math(V)]는 르베그 불가측 집합이다.2.1. 증명
서로 다른 임의의 [math(q_{1})], [math(q_{2}\in\mathbb{Q})]에 대해 [math((V+q_{1})\cap (V+q_{2})=\varnothing)]인 것에 주목하자. 집합 [math(E)]가 유계이므로,[math(V \subset E \subset [-a,a])]
인 양수 [math(a)]가 존재한다. [math(I=[-2a,2a]\cap \mathbb{Q})]라고 하자. 그러면, 임의의 [math(x\in E)]에 대해서, 적당한 유리수 [math(q\in I)]가 존재해서, [math(x\in V+q)]이 성립한다. 즉,[math(E\subset \displaystyle\bigcup _{q\in I}(V+q))].
이제, [math(V)]가 르베그 가측집합이라고 가정하면 르베그 측도의 이동불변성에 의하여 [math(V+q)]도 가측이고, [math(m(V+q)=m(V))]가 성립하여,[math(m(E)\leq m\left(\displaystyle\bigcup_{q\in I}(V+q)\right)= \displaystyle\sum_{q\in I } m(V+q) =\sum_{n=1}^{\infty}m(V))]
이다. 그런데, [math(\cup_{q\in I}(V+q))]는 유계이므로, [math(0<m(\cup_{q\in I}(V+q))<\infty)]인데, [math(\sum_{n=1}^{\infty}m(V)<\infty)]이려면, [math(m(V)=0)]이여야 하므로, 모순이다.