1. 개요
Basel problem바젤 문제는 이탈리아 수학자 Pietro Mengoli가 제시한 수열의 합 문제이다. 이름 '바젤 문제'는 이 문제를 오랫동안 공략한 야코프 베르누이가 근무하였던 바젤 대학교에서 유래하였다.
2. 문제
| [ 문제 ] Pietro Mengoli(1650)[1] 무한급수 [math(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2})]의 값을 닫힌 형식으로 구하시오. |
3. 분석
비슷하지만 훨씬 쉬운 문제로,- [math(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty\biggl(\frac1n-\frac1{n+1}\biggr)=1)]
- [math(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^2-1}=\sum_{n=2}^\infty\frac1{(n-1)(n+1)}=\sum_{n=2}^\infty\frac12\biggl(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\biggr)=\frac34)]
- [math(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2-1/4}=\sum_{n=1}^\infty\frac4{(2n-1)(2n+1)}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac2{2n-1}-\frac2{2n+1}\right)=2)]
이 문제로부터 시작하여, 수학자들은 제타 함수 [math(\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s})]을 정의하여 그 성질을 연구하기 시작했고 여기서 나온 유명한 가설이 리만 가설이다. 이 리만 가설은 단순해 보이는 외형과 달리, 가설의 창시자인 베른하르트 리만의 타계 이후 200여 년이 지난 지금까지도 풀릴 기미조차 안 보이는 희대의 난제.
3.1. 곱의 꼴
오일러는 무한합의 닫힌 형식을 구한 것에서 더 나아가 소수를 이용한 무한곱의 꼴로 변형하기도 했다.
4. 풀이
[ 풀이 1 ] 레온하르트 오일러의 풀이(1734)[3][4]
|
[ 풀이 2 ] 푸리에 급수를 이용한 풀이
|
[ 풀이 3 ] 오귀스탱루이 코시의 풀이
|
[ 풀이 4 ] 3Blue1Brown이 소개한 풀이[7][8]
|
[1] 야코프 베르누이가 제안한 문제로 알려져 있는데, 사실은 그 이전부터 유명했다.[2] 바젤 문제는 저기서 [math(s=2)]인 경우이다.[3] 오일러의 아이디어는 현대 수학을 기준으로 완전한 풀이라 말하기에는 조금 부족한 면이 있다. 이는 오일러가 상당한 직관주의자였음에 기인한다.[4] 엄밀한 증명을 위해서는 복소해석학의 내용, 특히 바이어슈트라스 분해 정리가 필요하다.[5] 이 부분을 엄밀한 논증 없이 넘어갔다. 후대 수학자들이 테일러 급수등을 활용하여 정당화 하였다.[6] 마지막 등식은 허수 부분을 같다고 놓은 것이다.[7] 공간기하를 접목시킨 방법으로 풀었다.[8] 해당 풀이의 원 출처는 2010년에 작성된 Jonathan Wästlund의 논문 'Summing inverse squares by euclidean geometry'이다. #[9] 이렇게 그려진 수선은 반드시 큰 원의 중심을 지나게 된다[10] 모든 자연수의 합에서 모든 짝수의 합을 구하려면 [math(\dfrac14)]를 곱하면 되고, 모든 자연수의 합은 모든 짝수의 합+모든 홀수의 합이므로 모든 홀수의 합을 구하려면 [math(1-\dfrac14=\dfrac34)]을 곱해야 한다. 홀수→자연수는 이 식의 역이므로 [math(\dfrac43)]