1. 개요
바나흐 대수(바나흐 代數, Banach algebra)는 결합 대수의 연산구조와 바나흐 공간의 위상 및 해석적 구조를 호환되게 갖춘 대수이다.2. 정의
2.1. 결합 대수
체 [math(\mathbb{K}\in\{\mathbb{R,\ C}\})] 위의 벡터 공간 [math(A)]가 벡터의 곱셈을 갖추고, 그 곱셈에 대하여 환을 이루면 [math(A)]를 [math(\mathbb{K})]-결합 대수라고 한다.2.2. 바나흐 대수
[math(\mathbb{K})]-결합 대수 [math(A)]가 노름 [math(\|\cdot\|:A\to[0,\ \infty))]에 대하여 바나흐 공간을 이루고 모든 [math(a,\ b\in A)]에 대하여 부등식[math(\|ab\|\le\|a\|\|b\|)]
를 만족시키면 [math(A)]를 [math(\mathbb{K})]-바나흐 대수라고 한다.2.3. 단위원과 가역원
[math(\mathbb{K})]-바나흐 대수 [math(A)]의 원소 [math(e)]가 모든 [math(a\in A)]에 대하여 등식 [math(ea=ae=a)]를 만족시키면 [math(e)]를 [math(A)]의 단위원(unit element)라 한다. 이때, 단위원의 크기는 [math(\|e\|=1)]로 둔다. 체 [math(\mathbb{K})]는 [math(\mathbb{K})]에서 [math(A)]로의 사상 [math(\alpha\mapsto \alpha e)]에 의해 [math(A)]로 자연스럽게 매장되므로 [math(A)]의 단위원을 [math(1)]로 표기한다. 바나흐 대수는 단위원을 갖지 않을 수 있으나, 단위원을 갖지 않는 바나흐 대수는 모두 자연스러운 단위화가 가능하다. 이에 따라 월터 루딘 등 일부 저자는 역원을 이용해 스펙트럼 정리 등을 다루기 위해 바나흐 대수의 정의에 단위원 존재성을 포함하기도 한다.단위원을 갖는 바나흐 대수 [math(A)]의 원소 [math(a)]에 대하여 [math(xa=1)]을 만족시키는, [math(A)]의 원소 [math(x)]가 존재하면 [math(a)]를 왼쪽 가역이라고 한다. 반대로 [math(ay=1)]을 만족시키는, [math(A)]의 원소 [math(y)]가 존재하면 [math(a)]를 오른쪽 가역이라고 한다. [math(xa=ay=1)]을 만족시키는, [math(A)]의 원소 [math(x, y)]가 모두 존재하면 [math(a)]를 가역이라고 한다. [math(a)]가 가역인 경우 [math(xa=ax=1)]을 만족시키는, [math(A)]의 원소 [math(x)]는 유일하며 이를 [math(a^{-1})]로 표기한다. 왼쪽 가역, 오른쪽 가역, 가역인, [math(A)]의 원소들의 집합을 각각 [math(G_l(A))], [math(G_r(A))], [math(G(A))]로 표기한다.
2.4. 스펙트럼
단위원이 있는 [math(\mathbb{K})]-바나흐 대수 [math(A)]의 원소 [math(a)]에 대하여 [math(\mathbb{K})]의 부분 집합[math(\sigma(a)=\{\alpha\in\mathbb{K}:\cancel\exists (a-\alpha1)^{-1}\})]
을 [math(a)]의 스펙트럼(spectrum)이라고 한다. 또 스펙트럼의 여집합 [math(\begin{aligned}\rho(a)&=\mathbb{K}\setminus \sigma(a)\\
&=\{\alpha\in\mathbb{K}:\exists (a-\alpha1)^{-1}\}\end{aligned})]
를 [math(a)]의 분해 집합(resolvent set)이라고 한다.&=\{\alpha\in\mathbb{K}:\exists (a-\alpha1)^{-1}\}\end{aligned})]
복소 바나흐 대수 [math(A)]의 원소 [math(a)]에 대하여
[math(r(a)=\sup\{|\alpha|:\alpha\in\sigma(a)\})]
를 [math(a)]의 스펙트럼 반지름(spectral radius)이라 한다.2.5. 준동형사상
[math(\mathbb{K})]-바나흐 대수 [math(A, B)]에 대하여 선형사상 [math(h:A\to B)]가 항등적으로 [math(0)]이 아니고 모든 [math(a, b\in A)]에 대하여[math(h(ab)=h(a)h(b))]
를 만족시키면 [math(h)]를 준동형사상(homomorphism)이라고 한다. 즉, 바나흐 대수의 준동형사상은 벡터공간의 덧셈, 스칼라곱 구조와 대수의 곱셈 구조를 보존하는 사상이다. [math(A)]의 준동형사상 [math(h)]가 모든 [math(a\in A)]에 대하여[math(\|h(a)\|=\|a\|)]
를 만족시키면 [math(h)]를 등거리사상(isometric)이라고 한다.3. 구성
3.1. 단위 대수화
단위원을 갖지 않는 [math(\mathbb{K})]-바나흐 대수 [math(A)]에 대하여 [math(\dim A_1 /A=1)]을 만족시키는 단위 바나흐 대수 [math(A_1)]이 존재한다.| 증명 [math(\mathbb{K})]-벡터 공간 [math(A_1=A\times\mathbb{K})]에 벡터곱 [math((a,\ \alpha)(b,\ \beta)\mapsto(ab+\alpha b + \beta a,\ \alpha\beta))] 를 부여하면 [math(A_1)]은 대수이다. 또 [math(\|(a,\ \alpha)\|_1=\|a\|+|\alpha|)]라 하면 [math(\|\cdot\|_1)]은 대수 [math(A_1)]의 노름이며 임의의 코시열이 수렴하여 [math(A_1)]는 바나흐 공간이고,{{{#!wiki style="margin: 1.5em 1.5em ; text-align: center" [math(\begin{aligned} &\|(a,\alpha)(b,\beta)\|_1\\ &=\|(ab+\beta a+\alpha b,\alpha\beta)\|_1\\ &=\|ab+\beta a +\alpha b\|+|\alpha\beta|\\ &\le \|a\|\|b\|+|\beta|\|a\|+|\alpha|\|b\|+|\alpha | \beta|\\ &=\|(a,\alpha)\|_1\|(b,\beta)\|_1 \end{aligned})] }}}이므로 바나흐 대수이다. 이때, [math((0,1)\in A_1)]는 단위원이다. 두 바나흐 대수 [math(A, A_1)] 사이의 사상 [math(L:A\to A_1)], [math(a\mapsto(a,0))]는 선형사상이고 상과 역상이 각각 [math(A, A_1)]의 열의 수렴성을 보존하므로 [math(A)]에서 [math(A_1)]로의 등거리 동형사상이다. 또 [math(\ker L=\{0\})]이므로 [math(\dim A_1 /A=1)]이다. |
3.2. 복소 대수화
3.3. 합 바나흐 대수
바나흐 대수족 [math(\{A_i:i\in I\})]와 [math(1\le p \le\infty)]에 대하여 집합 [math(A)]를 [math(A=\prod_{i\in I}A_i)]라 하고, 범함수 [math(\|\cdot\|_\infty:A\to[0,\infty])]를[math( \|a\|_\infty=\sup_{i\in I}\|a_i\|_i)]
라 하자. [math(\displaystyle\oplus_\infty A_i:=\left\{a\in A:\|a\|_\infty<\infty\right\}\\
\displaystyle\oplus_0 A_i:=\left\{a\in A:|\{i:\|a(i)\|_i\ge\epsilon\}|<\infty\forall \epsilon>0\right\})]
라 하면 [math(\oplus_\infty A_i)]와 [math(\oplus_0 A_i)]는 노름 [math(\|\cdot\|_\infty)]를 갖춘 바나흐 대수이다.\displaystyle\oplus_0 A_i:=\left\{a\in A:|\{i:\|a(i)\|_i\ge\epsilon\}|<\infty\forall \epsilon>0\right\})]
3.4. 몫 바나흐 대수
바나흐 대수 [math(A)]와 [math(A)]의 닫힌 진 아이디얼 [math(M)]에 대하여 몫 집합 [math(A/M)]에 곱셈 [math((a+M)(b+M)=ab+M)]을 정의하면 [math(A/M)]은 몫 노름 [math(\|a+M\|=\inf\{\|a+b\|:b\in M\})]을 갖춘 바나흐 대수이다. 이때 [math(A)]가 단위원 [math(1)]을 가진 바나흐 대수이면 [math(A/M)]도 단위원 [math(1+M)]을 갖는다.4. 성질
4.1. 연산의 성질
4.1.1. 곱셈의 연속성
바나흐 대수 [math(A)]의 곱셈 연산은 [math(A\times A)]에서 [math(A)]로의 연속사상이다. [math(\{(a_n, b_n)\})]을 [math((a,b))]로 수렴하는, [math(A\times A)]의 열이라 하면[math(\begin{aligned}
&\|a_nb_n-ab\|
\\&=\|a_nb_n-ab_n+ab_n-ab\|\\
&\le \|a_n-a\|\|b_n\|+\|a\|\|b_n-b\|\\
&\to 0
\end{aligned})]
이므로 [math(\{a_nb_n\})]은 [math(A)]의 수렴하는 열이기 때문이다.&\|a_nb_n-ab\|
\\&=\|a_nb_n-ab_n+ab_n-ab\|\\
&\le \|a_n-a\|\|b_n\|+\|a\|\|b_n-b\|\\
&\to 0
\end{aligned})]
바나흐 대수의 정의에서 부등식 [math(\|ab\|\le\|a\|\|b\|)]는 곱셈의 연속성으로 대체할 수 있다. 즉, 바나흐 공간 [math(X)]가 [math(X)] 위에서 정의된 곱셈 연산에 대하여 결합 대수를 이루고, [math(X)] 위의 곱셈 연산이 바나흐 공간의 노름 위상에서 좌, 우측으로 모두 연속이면 [math(X)]는 바나흐 대수이다.
4.1.2. 가역원의 성질
단위원 [math(1)]을 갖는 바나흐 대수 [math(A)]에 대하여 [math(G(A))]는 곱셈 연산에 관해 군을 이룬다.단위원을 갖는 바나흐 대수에서 등비 급수의 수렴성이 일반화된다. [math(A)]의 원소 [math(a)]가 [math({\|a-1\|<1})]을 만족시키면 [math(a)]는 가역이며, [math(a^{-1}=\sum_{n=0}^\infty (1-a)^n)]이다.
| 증명 [math(x=1-a)]라 하면 [math(\|x\|=r<1)]이다. 바나흐 대수의 정의에 의해, [math(\|y^n\|\le\|y\|^n\le r^n)]이고 따라서 급수 [math(y=\sum_{n=0}^\infty x^n)]는 [math(A)]에서 수렴한다. [math(y_n=\sum_{k=0}^n x^n)]이라 하면 [math(y_n(1-x)=1-x^{n+1})]이고, [math(n\to\infty)]에 따라 [math(x^{n+1}\to 0)]이므로 [math(y(1-x)=1)]이다. 같은 방법으로 [math((1-x)y=1)]이다. 따라서 [math(a=1-x)]는 가역이고 그 역원은 [math(y=\sum_{n=0}^\infty (1-a)^n)]이다. |
[math(G(A),\ G_l(A),\ G_r(A))]은 [math(A)]의 열린 집합이며, [math(G(A))] 위의 사상 [math(a\mapsto a^{-1})]은 [math(G(A))]의 위상 동형 사상이다.
| 증명 [math(G_l)]의 원소 [math(a_0)]에 대하여 [math(b_0)]를 [math(b_0a_0=1)]을 만족시키는, [math(G)]의 원소라 하자. [math(\|a-a_0\|<\|b_0\|^{-1})] 인 임의의 [math(a)]에 대하여[math(\|b_0a-1\|<1)] 이므로 [math(x=b_0a)]는 왼쪽 가역원이다. 이때, [math(b=x^{-1}b_0)]는 [math(xa=1)]을 만족시켜 [math(a)]는 왼쪽 가역원으로[math(B(a_0,\|b_0\|^{-1})\subseteq G_l)] 이다. 따라서 [math(G_l)]은 [math(A)]의 열린 집합이다. 같은 방법으로 [math(G_r)]도 [math(A)]의 열린 집합이고 [math(G=G_l\cap G_r)]이므로 [math(G)]는 [math(A)]의 열린 집합이다.[math(G)]의 사상 [math(a\mapsto a^{-1})]가 [math(G)]의 열의 수렴성을 보존함을 보인다. [math(G)]의 열 [math(\{a_n\})]이 [math(1)]로 수렴한다고 하자. 임의의 양수 [math(\epsilon)]에 대하여 부등식 [math({\delta/(1-\delta)<\max\{\epsilon, 1\}})]을 만족시키는 양수 [math(\delta)]를 선택하면 [math({\|a_n -1\|<\delta})]일 때 [math(\displaystyle a_n^{-1}=\sum_{k=0}^\infty (1-a_n)^k=1+\sum_{k=1}^\infty(1-a_n)^k)] 이므로[math(\displaystyle\begin{aligned} 이다. 따라서 [math(n\to\infty)]에 따라 [math(a_n^{-1}\to 1)]이다. [math(G)]의 원소 [math(a)]에 대하여 [math(\{a_n\})]을 [math(a)]로 수렴하는, [math(G)]의 열이라 하면 [math(a^{-1}a\to 1)]이다. 이때 [math({a_n^{-1}a=(a^{-1}a_n)^{-1}\to1})]이므로 [math(a_n^{-1}=a_n^{-1}aa^{-1}\to a^{-1})]이다. 따라서 사상 [math(a\mapsto a^{-1})]은 연속이다. 또한 사상 [math(a\mapsto a^{-1})]은 자기 자신을 연속인 역사상으로 가지므로 [math(G(A))]의 위상 동형 사상이다.\|a_n^{-1}-1\|&=\left\|\sum_{k=1}^\infty(1-a_n)^k\right\|\\ &\le \sum_{k=1}^\infty \|1-a_n\|^k\\ &<\frac{\delta}{1-\delta}<\epsilon\end{aligned})] |
4.2. 스펙트럼의 성질
[math(\mathbb{R})]-바나흐 대수에서 어떤 원소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다. 실수체 [math(\mathbb{R})] 위의 이차정사각행렬 [math(A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix})]에 대하여 [math(\det(A-\alpha I)=\alpha^2 +1)]이므로 [math(A)]의 스펙트럼은 실수체에서 공집합이다. 그러나 바나흐 대수가 복소수체 [math(\mathbb{C})] 위에서 정의된 경우 스펙트럼의 존재가 보장된다. 단위 [math(\mathbb{C})]-바나흐 대수 [math(A)]와 [math(A)]의 각 원소 [math(a)]에 대하여 [math(a)]의 스펙트럼 [math(\sigma(a))]는 [math(\mathbb{C})]의 컴팩트 부분집합이고 공집합이 아니다.| 증명 복소수 [math(\alpha)]에 대하여 [math(|\alpha|>\|a\|)]이면 [math((1-\alpha^{-1}a))]는 가역원이므로 [math(\alpha)]는 [math(\sigma(a))]에 속하지 않는다. 따라서 [math(\sigma(a))]는 복소수체의 유계집합이다. 함수 [math(g:\mathbb{C}\to A)]를 [math(g(\alpha)=\alpha1-a)]라 하면 [math(g)]는 연속이다. 열린 집합 [math(G(A))]의 연속 함수 [math(g)]에 의한 역상 [math(g^{-1}(G(A)))]는 분해 집합 [math(\rho(a))]와 같으므로 [math(\rho(a))]는 열린 집합이고 따라서 스펙트럼 [math(\sigma(a))]는 닫힌 집합이다. 즉, 스펙트럼 [math(\sigma(a))]는 복소수체의 유계 닫힌 집합으로, 컴팩트 부분집합이다. 함수 [math(f:\rho(a)\to G(A))]를 [math(f(\alpha)=(\alpha1-a)^{-1})] 로 정의하자. [math(\sigma(a))]가 [math(\mathbb{C})]의 컴팩트 집합이므로 [math(\rho(a))]는 [math(\mathbb{C})]의 공집합이 아닌 열린 집합이고 따라서 [math(\alpha\in \rho(a))]와 [math(\alpha+h\in\rho(a))]가 되도록 하는 [math(0)]이 아닌 복소수 [math(h)]가 존재한다.[math(x=\alpha+h-a, y=\alpha-a)] 라 하면 등식 [math(x^{-1}-y^{-1}=x^{-1}(y-x)y^{-1})]에 의해[math(\begin{aligned} 이다. [math(h\to 0)]에 따라 [math((\alpha+h-a)^{-1}\to(\alpha-a)^{-1})]이므로&\frac{f(\alpha+h)-f(\alpha)}{h}\\ &=\frac{(\alpha+h-a)^{-1}(-h)(\alpha-a)^{-1}}{h}\\ &=-(\alpha+h-a)^{-1}(\alpha -a )^{-1} \end{aligned})] [math(f'(\alpha)=-(\alpha1-a)^{-2})] 이다. [math(f')]은 연속 함수이므로 [math(f)]는 [math(\rho(a))]위에서 해석적이다. [math(|z|>\|a\|)]인 복소수 [math(z)]에 대하여 [math(1-z^{-1}a)]은 가역이므로[math(f(z)=z^{-1}(1-z^{-1}a)^{-1})] 이고, [math(z\to\infty)]에 따라서 [math(f(z)\to 0)]이다. [math(\rho(a)=\mathbb{C})]일 경우 리우빌의 정리에 의해 [math(f)]는 상수함수이다. [math(f'\ne0)]이므로 이는 모순이고 따라서 [math(\rho(a)\ne\mathbb{C})]로, [math(\sigma(a))]는 공집합이 아니다. |
단위 [math(\mathbb{C})]-바나흐 대수의 원소 [math(a)]의 스펙트럼 반지름 [math(r(a))]은 다음과 같다.
[math(\displaystyle r(a)=\lim_{n\to\infty}\|a^n\|^{\frac{1}{n}})]
| 증명 집합 [math(D=\{z\in\mathbb{C}:z=0 \text{ or } z^{-1}\in\rho(a)\})]라 하자. 함수 [math(f:D\to A)]를 [math(f(z)=\begin{cases}0,&z=0\\(z^{-1}-a)^{-1},&z\ne0\end{cases})] 로 정의한다. [math(z\to\infty)]에 따라 [math((z^{-1}-a)^{-1}\to 0)]이므로 [math(f)]는 [math(D)]에서 해석적이고, 따라서 거듭제곱 급수 표현을 갖는다. 가역원의 노이만 급수 전개 표현에 따라 [math(|z|<\|a\|^{-1})]일 때 [math(f)]의 거듭제곱 급수 표현은[math(\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{(z^{-1})^{n+1}}=z\sum_{n=0}^\infty z^na^n)] 이다. 이 거듭제곱 급수의 수렴 반지름을 [math(R)]이라 하면[math(R=\operatorname{dist}(0, \partial G)=\operatorname{dist}(0,\sigma(a)^{-1}))] 이다. 따라서[math(R=\inf\{|\alpha|:\alpha^{-1}\in\sigma(a)\}=r(a)^{-1})] 이다. 또한 거듭제곱 급수의 수렴 반지름 [math(R)]에 대하여 [math(R^{-1}=\limsup\|a^n\|^{\frac{1}{n}})]이므로[math(r(a)=\limsup \|a^n\|^{\frac{1}{n}})] 이다. 복소수 [math(\alpha)]와 양의 정수 [math(n)]에 대하여[math(\begin{aligned} 이므로 [math(\alpha^n -a^n)]이 가역이면 [math(\alpha-a)]도 가역이다. [math(\alpha)]가 [math(a)]의 스펙트럼에 속하면 [math(\alpha^n-a^n)]은 모든 양의 정수 [math(n)]에 대하여 비가역으로 [math(|\alpha|^n \le \|a^n\|)]이고, 따라서&\alpha^n-a^n\\ &=(\alpha-a)(\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})\\ &=(\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})(\alpha-a) \end{aligned})] [math(r(a)\le \liminf\|a^n\|^{\frac{1}{n}}\le\limsup\|a^n\|^{\frac{1}{n}})] 이다. 이때, [math(r(a)=\limsup \|a^n\|^{\frac{1}{n}})]이므로 [math(r(a)=\lim_{n\to\infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}})]이다. |
4.2.1. 스펙트럼 사상 정리
단위 [math(\mathbb{C})]-바나흐 대수 [math(A)]의 원소 [math(a)]에 대하여 [math(\operatorname{Hol}(a))]를 [math(\sigma(a))] 근방에서 해석적인 모든 함수의 집합이라 하자. [math(f\in \operatorname{Hol}(a))]에 대하여 다음이 성립한다.[math(\sigma(f(a))=f(\sigma(a)))]
4.3. 구조적 성질
4.3.1. 겔판트-마주르 정리
나눗셈 환인 단위 복소 바나흐 대수는 복소수 대수 [math(\mathbb{C})]와 동형이다.| 증명 단위 [math(\mathbb{C})]-복소 바나흐 대수 [math(A)]의 임의의 원소 [math(a)]와 [math(x)]의 스펙트럼 [math(\sigma(x))]의 임의의 복소수 [math(\alpha)]에 대하여 [math(\alpha1-a)]가 비가역이고 [math(A)]가 나눗셈환이므로 [math(\alpha1-a=0)]이다. 즉, [math(a=\alpha1)]로, 단위원의 복소수곱이다. 따라서 [math(A)]는 복소수 대수 [math(\mathbb{C})]와 동형이다. |
이 성질을 밝혀낸 아즈라일 겔판트과 스타니스와프 마주르의 이름을 따왔다.
4.3.2. 준동형사상의 성질
복소 대수 [math(A)]의 선형범함수 [math(h)]가 준동형사상일 때, [math(h)]를 복소 준동형사상(complex homomorphism)이라고 한다. 단위원을 갖춘 복소 바나흐 대수 [math(A)]의 복소 준동형사상 [math(h)]에 대하여 다음이 성립한다.- [math(h(1)=1)]
- 모든 [math(a\in G(a))]에 대하여 [math(h(a)\ne0)]
- [math(\|h\|=1)]
- [math(h)]는 연속이다.
| 증명 a. [math(h)]는 항등적으로 [math(0)]이 아니므로 어떤 [math(b\in A)]에 대하여 [math(h(b)\ne0)]이다. [math(h(b)=h(b1)=h(b)h(1)\ne0)] 에서 [math(h(1)=1)]이다.b. [math(a\in G(A))]에 대하여 [math(h(a)h(a^{-1})=h(aa^{-1})=h(e)=1)] 이므로 [math(h(a^{-1})\ne0)]이다.c. [math(\|a\|<1)]인 임의의 [math(a\in A)]에 대하여 [math(\alpha\in\mathbb{C})]가 [math(|\alpha|> 1)]이라 하자. [math(1-\alpha^{-1}a)]는 가역이므로 [math(h(1-\alpha^{-1}a)=1-\alpha^{-1}h(a)\ne 0)] 에서 [math(h(ax)\ne\alpha)]이다. 즉, [math(|h(a)|\le1)]이다. 또 [math(h(1)=1)]이므로 [math(\|h\|=1)]이다.d. [math(A)]의 원소 [math(a_0)]와 임의의 양수 [math(\epsilon)]에 대하여 [math(\delta<\max\{\epsilon, 1\})]인 양수 [math(\delta)]를 선택하자. [math({\|a_0-a\|<\delta})]이면 [math({\|\delta^{-1}(a_0-a)\|<1})]이므로 [math({|h(\delta^{-1}(a_0-a))|<1})]이고 [math( 에서 [math({|h(a_0)-h(a)|<\delta\le\epsilon})]이므로 [math(h)]는 연속이다.\begin{aligned} d'. [math(h)]의 연속성은 겔판트-마주르 정리를 이용해 보일 수도 있다. 준동형사상 [math(h)]의 핵 [math(\ker h)]는 바나흐 대수 [math(A)]의 극대 아이디얼로 닫힌집합이고, 몫대수 [math(A/\ker h)]는 나눗셈환이다. 따라서 겔판트-마주르 정리에 의해 [math(A/\ker h)]는 복소수체 [math(\mathbb{C})]와 동형이다. 준동형사상 [math(h)]는 자연사상 [math(\pi:A\to A/\ker h)]와 동형사상 [math(\phi:A/\ker h \to \mathbb{C})]에 대하여 [math(h=\pi\circ\phi)]이고 두 사상 [math(\pi,\ \phi)]는 모두 연속사상이므로 [math(h)]도 연속사상이다. |
[math((a_1,a_2,\ldots)(b_1,b_2,\ldots)=(a_1b_1,a_2b_2,\ldots))]
을 부여하면 [math(l^\infty)] 공간은 바나흐 대수이며, 단위원은 [math((1,1,\ldots))]이다. 실수 전체의 집합 [math(\mathbb{R})]에서 [math(l^\infty)] 공간으로의 사상 [math(h)]를 [math(h(x)=(x,0,\ldots))]로 정의하면. [math(h)]는 대수 준동형사상이다. 이때 [math(h(1)=(1,0,\ldots))]이므로 [math(h)]는 단위성을 갖지 않는다. 대수 준동형사상이 전사인 경우 단위성이 성립한다. 두 단위 대수 [math(A, B)] 사이의 전사 대수 준동형사상 [math(h:A\to B)]과 임의의 [math(b\in B)]에 대하여 [math(h(a)=b)]인 [math(a\in A)]가 존재하고,
[math(\begin{aligned}
h(a)&=h(a 1_A)=h(a)h(1_A)\\
&=h(1_A a)=h(1_A)h(a)\\
&=b\end{aligned})]
이다. [math(b)]는 [math(B)]의 임의의 원소이므로 [math(h(1_A)=1_B)]이다.h(a)&=h(a 1_A)=h(a)h(1_A)\\
&=h(1_A a)=h(1_A)h(a)\\
&=b\end{aligned})]
복소 준동형사상의 단위성과 가역원의 상이 [math(0)]이 아닌 성질은 복소 단위 바나흐 대수의 선형 범함수가 복소 준동형사상일 조건이기도 하다. 이를 Gleason-Kahane-Żelazko 정리라고 한다.
(Gleason-Kahane-Żelazko 정리) 복소 단위 바나흐 대수 [math(A)]의 선형 범함수 [math(f:A\to\mathbb{C})]가 [math(f(1)=1)]이고 [math(A)]의 모든 가역원 [math(x)]에 대하여 [math(f(x)\ne 0)]이면 [math(A)]의 임의의 두 원소 [math(a, b)]에 대하여 [math(f(ab)=f(a)f(b))]이다.
| 증명 자연수 [math(n)]과 복소수 [math(t)]에 대하여 [math(f(t(1-a)^n))]은 [math(t)]에 대한 [math(n)]차 다항식이다. [math(|t|>\|a\|)]이면 [math(\|t^-1a\|<1)]이므로 [math(t^{-1}(t1-a))]는 가역이다. 따라서 각 자연수 [math(n)]에 대하여 [math((t1-a)^n)]은 가역이고, [math(f((t1-a)^n)\ne0)]이다. 따라서 다항식 [math(f(t(1-a)^n))]의 [math(n)]개의 근 [math(\alpha_1,\ldots , \alpha_n)]의 크기는 모두 [math(\|a\|)] 이하이다. [math(\begin{aligned}&\{nf(a)\}^2 -n(n-1)f(a^2)\\ 이므로&=\left\{\sum_{j=1}^n \alpha_j\right\}^2-\sum_{j,k=1(j \ne k)}^n \alpha_j\alpha_k\\ &= \sum_{j=1}^n \alpha^2_j \end{aligned})] [math(|\{nf(a)\}^2 -n(n-1)f(a^2)|\le n\|a\|^2)] 이고, 양변을 [math(n^2)]으로 나누면 [math(n\to\infty)]일 때[math(f(a^2)=\{f(a)\}^2)] 이다. 위 등식에서 [math(a)]를 [math(a+b)]로 치환하면[math(f(ab+ba)=2f(a)f(b))] 이다. 이때 [math(A)]가 가환 대수인 경우 [math(f(ab)=f(a)f(b))]를 얻는다.[math(A)]가 가환 대수가 아닌 경우 [math(f(ab)\ne f(a)f(b))]를 만족시키는, [math(A)]의 두 원소 [math(a, b)]가 존재한다고 가정한다. 두 상수 [math(\alpha, \beta(\alpha\ne0))]에 대하여 [math(\begin{aligned}f((\alpha a +\beta 1)b)&=\alpha f(ab)+\beta f(b)\\ 이다. 따라서 두 상수 [math(\alpha, \beta)]를 연립방정식&\ne \alpha f(a) f(b) +\beta f(b)\\ &=f(\alpha a +\beta1)f(b) \end{aligned})] [math(\begin{cases} 의 해로 선택하여 [math(t=\alpha a+\beta 1)]로 두면 [math(f(t)=0, f(tb)=1, f(bt)=-1)]이다. 여기서 [math(s=btb)]라 하면 [math(f(t)f(s)=0)]이다. 반면 [math(f(t^2)=\{f(t)\}^2, f(ts+st)=2f(t)f(s))]에서f(a)\alpha+\beta=0\\ f(ab)\alpha+f(b)\beta=0 \end{cases})] [math(\begin{aligned} 로 모순이다.2f(t)f(s)&=f(ts+st)\\ &=f((ts)^2)+f((st)^2)\\ &=\{f(tb)\}^2+\{f(bt)\}^2\\ &=2 \end{aligned})] |
4.4. 겔판트 표현
가환 단위 복소 바나흐 대수 [math(A)]는 컴팩트 하우스도르프 공간 위에서 정의된 연속함수 대수와 대수 준동형이다.가환 단위 복소 바나흐 대수 [math(A)]에 대하여 [math(0)]이 아닌 복소 준동형사상 [math(h:A\to\mathbb{C})]를 [math(A)]의 지표(character)라고 한다. [math(\mathcal{M}_A)]를 [math(A)]의 지표의 집합이라고 하면 [math(\mathcal{M}_A)]는 바나흐 대수 [math(A)]의 쌍대공간 [math(A^*)]의 부분집합으로, [math(\mathrm{wk^*})] 위상에 대하여 컴팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 컴팩트 하우스도르프 공간 [math(\mathcal{M}_A)]를 [math(A)]의 극대 아이디얼 공간(maximal ideal space)이라고 한다. 대수의 지표와 극대아이디얼은 표준적인 일대일 대응을 이루므로 [math(\mathcal{M}_A)]는 [math(A)]의 극대 아이디얼의 집합으로 파악할 수 있다.
| 증명 각 [math(h\in \mathcal{M}_A)]에 대하여 [math(\|h\|=1)]이므로 [math(\mathcal{M}_A\subset \mathrm{ball}\ A^*)]이다. 바나흐-앨러오글루 정리에 의해 [math(\mathrm{ball}\ A^*)]는 컴팩트 하우스도르프 공간이므로 [math(\mathcal{M}_A)]가 닫힌집합임을 보이는 것으로 충분하다. 그물 [math(\{h_i\})]가 [math(h\in\mathrm{ball}\ A^*)]로 [math(\mathrm{wk}^*)]-수렴한다고 하자. [math(a,\ b\in A)]에 대하여 [math( 이므로 [math(h\in \mathcal{M}_A)]이다.\begin{aligned} h(ab)&=\lim_i h_i(ab)\\ &=\lim_i h_i(a)h_i(b)\\ &=h(a)h(b) \end{aligned} )] |
[math(A)]의 원소 [math(a)]에 대하여 범함수
[math(\hat{a}:\mathcal{M}_A\to\mathbb{C},\ \hat{a}(h)=h(a))]
를 [math(a)]의 겔판트 변환(Gelfand transform)이라고 한다. 겔판트 변환은 [math(\mathcal{M}_A)] 위의 연속사상이고 [math(A)]에서 연속함수 공간 [math(C(\mathcal{M}_A))]으로의 사상 [math(a\mapsto \hat{a})]는 연속 대수 준동형사상이며, 작용소 노름은 [math(1)]이다. 이 연속 대수 준동형사상[math(
\hat{\ }:A\to C(\mathcal{M}_A),\ a\mapsto\hat{a})]
을 가환 단위 복소 바나흐 대수 [math(A)]의 겔판트 표현(겔판트 변환, Gelfand representation, Gelfand transformation)이라고 한다.\hat{\ }:A\to C(\mathcal{M}_A),\ a\mapsto\hat{a})]
| 증명 [math(\mathcal{M}_A)]에서 그물 [math(\{h_i\})]가 [math(h)]로 수렴하면 [math(\{h_i\})]는 [math(A^*)]에서 [math(h)]로 [math(\mathrm{wk^*})] 수렴한다. 따라서 각 [math(a\in A)]에 대하여 [math(\hat{a}(h_i)=h_i(a)\to h(a)=\hat{a}(h))] 으로, [math(\hat{a})]는 [math(\mathcal{M}_A)] 위의 연속사상이다.각 [math(a,\ b\in A)]에 대하여 [math( \widehat{ab}(h)=h(ab) =h(a)h(b)=\hat{a}(h)\hat{b}(h) )]이고 [math(\alpha\in\mathbb{C})]에 대하여 [math(\widehat{\alpha a + b}(h)=h(\alpha a+b)=\alpha h(a)+h(b)=\alpha\hat{a}(h)+\hat{b}(h))]이므로 [math(\hat{\ })]는 대수 준동형사상이다. 각 [math(h\in\mathcal{M}_A)]의 작용소 노름은 [math(1)]이므로 [math(a\in A)]에 대하여 [math(|\hat{a}(h)|=|h(a)|\le\|a\|)]이다. 따라서 [math(\|\hat{a}\|_\infty\le \|a\|)]로 [math(\hat{\ })]는 연속이다. 또한 [math(\hat{1}=1)]이므로 [math(\|\hat{\ }\|=1)]이다. |
[math(\displaystyle\bigcap \{M:M\text{은 }A\text{의 극대아이디얼}\})]
이다. [math(\hat{a}=0)]이므로 임의의 [math(h\in\mathcal{M}_A)]에 대하여 [math(\hat{a}(h)=h(a)=0)]이고 이는 [math(a\in \cap_{h\in \mathcal{M}_A}\ker\ h)]를 뜻한다. 이때 각 [math(\ker\ h)]는 [math(A)]의 극대아이디얼과 일대일 대응이므로 [math(\cap_{h\in \mathcal{M}_A}\ker\ h)]는 [math(A)]의 모든 극대 아이디얼의 교집합과 같다. 겔판트 표현의 핵을 [math(A)]의 근기(radical)라 하고 [math(\mathrm{rad}\ A)]로 표기한다.일반적인 바나흐 대수의 겔판트 표현은 단사, 전사, 거리동형, 위상동형 등의 성질을 보장하지 않는다.
- 겔판트 표현이 단사가 아닌 경우
[math(\mathbb{C})]-행렬 대수 [math(M_2(\mathbb{C}))]의 부분대수
{{{#!wiki style="margin: 1.5em 1.5em ; text-align: center"
[math(A_1=\displaystyle\left\{\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\0&\alpha\end{bmatrix}:\alpha,\ \beta\in\mathbb{C}\right\})]}}}는 행렬 노름과 단위원을 갖춘 가환 복소 단위 바나흐 대수이다. [math(A_1)]의 극대 아이디얼은
{{{#!wiki style="margin: 1.5em 1.5em ; text-align: center"
[math(M=\left\{\begin{bmatrix}0&\beta\\0&0\end{bmatrix}:\beta\in\mathbb{C}\right\})]}}}이 유일하므로 [math(\operatorname{rad}A_1=M\ne\left\{0\right\})]이다. 따라서 [math(A_1)]의 겔판트 표현은 단사가 아니다. - 겔판트 표현이 전사가 아닌 경우
[math(\mathbb{C})]-함수 대수 [math(A_2=C^1[0,\ 1])]은 노름 [math(\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty)]를 갖춘 가환 복소 단위 바나흐 대수이다. [math(A_2)]의 지표는 모두 [math(\phi_a(f)=f(a),\ a\in [0,\ 1])] 꼴이므로 [math(A_2)]의 극대 아이디얼은 [math(M_a=\{f\in A_2:f(a)=0\})]이다. 따라서 [math(\mathcal{M}_{A_2})]는 [math([0, 1])]와 위상동형이고 [math(A_2)]의 겔판트 표현의 공역은 [math(C[0,\ 1])]이다. 이때 [math(f\in A_2)]의 겔판트 변환 [math(\hat{f})]와 [math(a\in[0,\ 1])]에 대하여 [math(\hat{f}(a)=\hat{f}(\phi_a)=\phi_a(f)=f(a))]이므로 [math(A_2)]의 겔판트 표현의 상은 [math(C^1[0,\ 1]\subsetneq C[0,\ 1])]이다. 즉, [math(A_2)]의 겔판트 표현은 전사가 아니다. - 겔판트 표현이 거리동형이 아닌 경우
[math(A_2=C^1[0,\ 1])]는 노름 [math(\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty)]를 갖추었으나 [math(A_2)]의 겔판트 변환의 공역 [math(C[0,\ 1])]은 균등 노름 [math(\|f\|_\infty)]을 갖춘 대수다. 이 두 노름은 동일한 거리를 유도하지 않으므로 [math(A_2)]의 겔판트 표현은 거리동형이 아니다. - 겔판트 표현이 위상동형이 아닌 경우
전단사가 아닌 겔판트 표현은 자명하게 위상동형사상이 아니다.
겔판트 표현은 스펙트럼을 보존하며, 스펙트럼과 관련된 성질을 갖는다. 가환 단위 복소 바나흐 대수 [math(A)]의 겔판트 변환에 대하여 다음이 성립한다.
- [math(a\in A)]가 가역원일 필요충분조건은 [math(\hat{a}\in C(\mathcal{M}_A))]가 가역원인 것이다.
- [math(a\in A)]에 대하여 [math(\sigma_A(a)=\hat{a}(\mathcal{M}_A)=\sigma_{C(\mathcal{M}_A)}(\hat{a}))]
- [math(\|\hat{a}\|_\infty=\lim_{n\to\infty}\|a^n\|^{1/n})]
- [math(A)]의 겔판트 표현이 거리 동형일 필요충분조건은 [math(\|a\|^2=\|a^2\|)]이다.
| 증명 a. [math(a\in A)]가 가역이면 [math(a^{-1}\in A)]에 대하여 [math(\hat{a}\hat{a^{-1}}=\widehat{aa^{-1}}=1)]이다. 반대로 [math(a)]가 비가역이라 가정하면 [math(a)]를 포함하는 극대 아이디얼 [math(M)]이 존재한다. 즉, [math(\ker{\phi}=M)]인 [math(\phi\in\mathcal{M}(A))]가 존재한다. [math(\hat{a}(\phi)=\phi(a)=0)]이므로 [math(\hat{a})]는 [math(C(\mathcal{M_A}))]의 가역원이 아니다. b. [math(\alpha\in\sigma(a)\Leftrightarrow a-\alpha1\notin G(A)\Leftrightarrow\hat{a}-\alpha1\notin G(C(\mathcal{M}_A)\Leftrightarrow \hat{a}\in \sigma_{C(\mathcal{M}_A)}(\hat{a})))] |
5. 예시
- 바나흐 공간 [math(X)] 위의 유계 작용소 공간 [math(\mathcal{B}(X))]는 합성 연산을 벡터곱으로 갖춘 바나흐 대수이다. 이때, 항등 작용소 [math(1)]은 [math(\mathcal{B}(X))]의 단위원이다.
- 바나흐 공간 [math(X)] 위의 컴팩트 작용소 공간 [math(\mathcal{B_0}(X))]는 유계 작용소 공간 [math(\mathcal{B}(X))]의 아이디얼인 바나흐 대수이다. [math(X)]의 차원이 무한한 경우 [math(X)]의 단위구는 컴팩트 집합이 아니므로 항등 작용소는 [math(\mathcal{B_0}(X))]에 속하지 않고, 따라서 [math(\mathcal{B_0}(X))]는 단위원을 갖지 않는다.
- 컴팩트 집합 [math(X)] 위의 연속함수 공간 [math(C(X))]에 대하여 함수의 곱셈을 [math((fg)(x)=f(x)g(x))]로 정의하면 [math(C(X))]는 단위원을 갖는 가환 바나흐 대수이다.
- 국소 컴팩트 위상군 [math(G)]가 왼쪽 하르 측도를 갖추었을 때, [math(L^1(G))] 공간은 합성곱을 곱셈으로 하는 바나흐 [math(^*)]-대수이다.