최근 수정 시각 : 2026-02-23 22:20:09

폰 노이만 대수


1. 개요2. 정의
2.1. C*-대수2.2. 작용소 위상2.3. 폰 노이만 대수

1. 개요

함수해석학에서 폰 노이만 대수(von Neumann algebras)는 힐베르트 공간의 유계작용소 대수의 부분 대수로서 항등 작용소를 포함하고 약한 작용소 위상(weak operator topology)에 닫혀 있는 *-대수이다. 이는 [math(C^*)]-대수의 특별한 경우이다.

폰 노이만 대수는 1930년대에 폰 노이만과 프렌시스 조지프 머리가 쓴 논문 "On ring of Operators"가 그 시초로 여겨지는 분야인 작용소 대수(operator algebras)에서 다뤄지는 중요한 주제로 필즈상 수상자인 알랭 콘, 존스가 이 분야의 전공자들이다. 특히, 알랭 콘은 작용소 대수의 더 심화된 주제인 비가환 기하학(Noncommutative Geometry)의 창시자 중 한 명으로 알려져 있다.

입문서적으로 볼 만한 책으론 Bruce Blackadar의 "Operator Algebras - theory of C* - algebras and von Neumann algebras -"와 쇼이치로 사카이의 "C* - algebras and W* - algebras", 혹은 John Ringrose와 Richard Kadison의 "Fundamentals of Operator algebras"가 있다. 그리고 마사미치 타케사키의 "Operator Algebras" 시리즈 3권이 있는데 이건 꽤 심화 서적으로 취급된다.

2. 정의

2.1. C*-대수

복소 대합 바나흐 대수 [math(A)]가 [math(C^*)]-조건,
[math(\|a^* a\|=\|a\|^2\quad\forall a\in A)]
를 시키면 [math(C^*)]-대수라 한다. 대합이란 다음을 만족시키는 사상 [math(*:A\to A)]이다.
  1. ([math(x)]*)* [math(=)][math(x)]
  2. ([math(x+y)])* [math(=)] [math(x)]*[math(+)][math(y)]*
  3. ([math(ax)])* [math(=)] [math(\bar{a})][math(x)]*
  4. ([math(xy)])* [math(=)] [math(y)]*[math(x)]*
C*-대수는 힐베르트 공간 [math(H)]의 유계작용소의 대수 [math(B(H))]의 일반화이다. 이때 [math(B(H))]의 대합은 작용소의 수반이다.

곱셈 항등원을 갖춘 대수를 단위 대수라 한다. 단위 바나흐 대수에 곱셈 항등원의 노름이 [math(1)]이 되도록 하는 노름을 정의할 수 있으며 이 노름은 기존 노름과 동치이다. 이때 복소수체는 바나흐 대수에 자연스럽게 매장되므로 곱셈 항등원을 [math(1)]로 표기한다. 비단위 C*-대수는 다음과 같이 자연스러운 단위화가 가능하다.

비단위 C*-대수 [math(A)]에 대하여 [math(A_1=A)][math(\bigoplus)][math(\mathbb{C})]에 다음 연산 구조를 부여한다.
  1. [math((x,v)(y,u)=(xy+ux+vu,vu))]
  2. [math((x,v))]*[math(=)]([math(x)]*,[math(\bar{v}))]
  3. [math(\parallel)][math((x,v))][math(\parallel)][math(=)][math(\sup\{\|ax+\alpha x\|:x\in A,\ \|x\|\le 1\})]
사상 [math(x\mapsto(x,0))]는 등거리 동형사상이고 [math((0,1))]은 [math(A)][math(\bigoplus)][math(\mathbb{C})]의 항등원이다. 또한 [math(A)]은 [math(A)][math(\bigoplus)][math(\mathbb{C})]의 아이디얼이며 [math(A_1/A)]는 일차원이다.

단위 복소 바나흐 대수의 원소 [math(x)]의 스펙트럼 [math(\sigma(x))]와 스펙트럼 반지름 [math(r(x))]는 각각 다음과 같다.
[math(\sigma(x))]=[math( \left\{\omega\in \mathbb{C} | x - \omega1\mathrm{\ is \ not \ invertible.}\right\})]
[math(r(x))][math(=)][math(\sup)][math(\left\{ \left\vert u \right\vert | u \in \sigma(x) \right\})]
복소 바나흐 대수의 스펙트럼은 공집합이 아닌 컴팩트 집합이며 바나흐 대수 [math(A)]와 [math(x,y \in A)]에 대하여 다음이 성립한다.
  1. [math(r(x) = \lim_{n \to \infty} \parallel x ^{n} \parallel ^{1/n} = \inf\parallel x ^{n} \parallel ^{1/n})]
  2. [math(f)]가 복소수 계수 다항식일때, [math(\sigma_{\tilde{A}}(f(x)) = f(\sigma_{A}(x)))]
  3. [math(\sigma_{A}(xy)\cup\left\{0\right\} = \sigma_{A}(yx)\cup\left\{0\right\})]
  4. [math(B)]가 [math(A)]의 바나흐 부분대수이고 [math(x\in B)]이면 [math(\sigma_{A}(x)\cup\left\{0\right\} \subseteq \sigma_{B}(y)\cup\left\{0\right\})]이다. 그리고 [math(\partial(\sigma_{B}(x))\cup\left\{0\right\} \subseteq \partial(\sigma_{A}(y))\cup\left\{0\right\})]이다. 여기서 [math(\partial)]은 [math(\mathbb{C})]에서 topological boundary이다.

2.2. 작용소 위상

[math(B(H))]위의 다음과 같이 정의된 함수[math(g_{\xi} : B(H) \longrightarrow H)]를 생각하자.([math(\xi \in H)])
[math(g_{\xi}(T)=T\xi)] , [math( T \in B(H))]
이때 모든 [math(\xi \in H)]대하여 함수 [math(g_{\xi}(T))]가 연속인, [math(B(H))]위의 coarsest한 위상을 줄 수 있는데, 이것을 강한 작용소 위상(strong operator topology, SOT)이라고 한다.
그러므로 강한 작용소 위상에서 [math(T_{0} \in B(H))]를 포함한 기본 열린집합은 다음과 같은 형식이다.

[math(U_{\xi_{1},...,\xi_{m};\epsilon_{1},...,\epsilon_{m}})][math(=)]{ [math(T \in B(H) \mid \lVert T\xi_{k} - T_{0}\xi_{k} \rVert<\epsilon_{k})] for all [math( k= 1,...,m)] }

특히 { [math(T_{k})] }가 모든 [math(\xi \in H)]에 대하여 [math( T \in B(H))]가 존재해서 [math(\lim_{k}\lVert T_{k} \xi - T\xi \rVert=0)]일때 [math(T)] 는 강한 작용소 위상에서 { [math(T_{k})] }의 극한이라고 한다.(여기서 "[math(T)]가 { [math(T_{k})] }의 극한"이라는 의미는 모든 SOT - 열린집합에 대해 자연수 [math(n_{0})]가 존재하여 [math(k \ge n_{0})]인 모든 [math(k)]에 대해 [math(T_{k} \in U)]가 성립함을 의미한다.)

이제 약한 작용소 위상(weak operator topology)을 정의하자.

[math(B(H))] 위의 다음과 같이 정의된 함수 [math(f_{\xi, \eta} : B(H) \longrightarrow \mathbb{C})]를 생각하자.([math(\xi, \eta \in H)])
[math(f_{\xi, \eta}(T)=\left\langle T\xi,\eta \right\rangle)] , [math( T \in B(H))]
이때 모든 [math(\xi,\eta \in H×H)]에 대하여 함수 [math(f_{\xi, \eta}(T))]가 연속인, [math(B(H))]위의 coarsest한 위상을 약한 작용소 위상이라고 한다.

2.3. 폰 노이만 대수

작용소의 *-대수(*-algebra)란, 덧셈, 곱셈, 스칼라 곱 adjoint 연산에 닫혀 있는 [math(A \subseteq B(H))]이다.
만약 *-대수 [math(A)]가 [math(B(H))]의 강한 작용소 위상에 닫혀있으면 [math(A)]를 폰 노이만 대수라고 부른다.

[math(\mathfrak{C} \subseteq B(H))]가 비지 않았다고 하자. 이때,

[math( \mathfrak{C'}= \left\{ y \in B(H) \mid sy=ys \text{ for all } y \in B(H) \right\} )]

이것을 commutant라 부른다. 이 집합은 모든 [math(s \in \mathfrak{C})]에 대하여 [math(s)]*[math(\in \mathfrak{C})]라면, [math(\mathfrak{C'})]이 [math(B(H))]의 약한 작용소 위상에 닫힌 unital C*-대수임을 보일 수 있다.

다음은 폰 노이만 대수이론의 핵심이 되는 정리를 소개한다.
여기서 증명은 생략하겠다.
Theorem. (double commutant theorem)
[math(\mathfrak{C} \subseteq B(H))]이 unital한 C*-대수라 하자. 그러면 다음은 서로 동치이다.
1. [math(M''=M)]
1. [math(M)]은 폰 노이만 대수이다.

만약 [math(\sigma)] - strongly* closed인 경우는 다음과 같다.
Theorem. (double commutant theorem)
[math(M)]이 힐베르트 공간 [math(H)]의 작용소들의 *-대수라 하자. 만약 [math(M)]이 [math(\sigma)] - strongly* closed인 경우,
1. [math(M)]의 가장 큰 사영 [math(e)]가 존재하고, 이는 [math(H)]에서 [ [math(MH)] ]로의 전사인 사영이다. 또 모든 [math(x \in M)]에 관해 다음이 성립한다.
"[math(x=xe=ex)]"
1. [math(M)]의 double commutant인 [math(M'')]는 [math(x+ \alpha 1)]의 형태인 모든 작용소들의 집합이다. ([math(x \in M, \alpha \in \mathbb{C} )]) 따라서 만약 [math(M)]이 nondegenerate하면 [math(M)]은 폰 노이만 대수이다. 즉,
"[math(M''=M)]"

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