최근 수정 시각 : 2024-03-12 13:14:03

월리스 곱


해석학·미적분학
Analysis · Calculus
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1. 개요2. 증명

1. 개요

Wallis product

월리스 곱은 영국의 성직자이자 수학자인 존 월리스(John Wallis)가 1656년에 정립한 식으로, 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\prod_{n=1}^\infty \frac{4n^2}{4n^2-1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{2\times2}{1\times3} \times \frac{4\times4}{3\times5} \times \cdots \times \frac{2n\times2n}{(2n-1)\times(2n+1)} \\
&= \frac\pi2
\end{aligned} )]

2. 증명

사인 함수의 무한곱 표현[1]으로부터 시작한다.
[math(\displaystyle
\sin(\pi z) = \pi z \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac{z^2}{n^2} \biggr)
)]
양 변을 [math(\pi z)]로 나누자.
[math(\displaystyle
\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac{z^2}{n^2} \biggr)
)]
여기에 [math(z=\dfrac12)]을 대입하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \frac2\pi &= \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac1{4n^2} \biggr) \\
&= \prod_{n=1}^\infty \biggl( \frac{4n^2-1}{4n^2} \biggr)
\end{aligned} )]
양 변에 역수를 취하면 증명이 완료된다.
[math(\displaystyle
\frac\pi2 = \prod_{n=1}^\infty \biggl( \frac{4n^2}{4n^2-1} \biggr)
)]

[1] 바이어슈트라스 분해 정리로부터 유도된다.