1. 개요
정적분 문서에 소개된 개념에 따른 예제를 이 문서에 기재하였다.2. 정적분의 정의
2.1. 예제 1
| [문제] [math(f(x)=x^2)]에 대하여 닫힌 구간 [math([0,\,1])]에서의 정적분을 정적분의 정의에 의하여 구하시오. |
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정적분의 정의에 따라
[math(\displaystyle \Delta x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n})]
[math(x_{k}=0+k \Delta x=\dfrac{k}{n})]
라 하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\,{\rm d}x&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}) \Delta x \\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right)\frac{1}{n} \\&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n} \right)^{2}\frac{1}{n} \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}} \\&=\frac{1}{3} \end{aligned} )]
3. 정적분의 계산
3.1. 예제 1
| [문제] [math(f(x)=x^2)]에 대하여 닫힌 구간 [math([0,\,1])]에서 정적분을 구하시오. |
- [풀이 보기]
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다음과 같이 미적분의 기본정리를 사용하여 계산할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\,{\rm d}x&=\biggl[ \dfrac{x^3}{3} \biggr]_{0}^{1} \\&=\frac{1}{3}-0 \\&=\frac{1}{3} \end{aligned} )]
4. 역함수의 정적분
고등학교 과정에 나오는 역함수의 정적분 문제는 역함수를 직접 구해서 정적분을 계산하는 것이 아니라 원래 함수의 그래프를 그린 뒤 면적의 합과 차 등으로 퍼즐을 맞추듯 푸는 것이다.4.1. 예제 1
| [문제] 함수 [math(f(x))]의 역함수가 [math(g(x))]이고, [math(f(0)=0)], [math(f(3)=7)]일 때, 정적분 [math(\displaystyle\int_0^3 f(x)\;{\rm d}x+\displaystyle\int_0^7 g(x)\;{\rm d}x)]의 값을 구하시오. |
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함수 [math(f(x))]가 점 [math((0,0))]과 [math((3,7))]을 지나고 역함수가 존재하므로 [math(f(x))]는 증가함수이다. 따라서 그래프의 개형은 위 그림과 같다.
[math(\displaystyle{\color{purple}\int_0^7 g(x)\;{\rm d}x})]와 빨간색 영역의 넓이는 같으며, [math(\displaystyle{\color{turquoise}\int_0^3 f(x)\;{\rm d}x})]는 초록색 영역이므로, 구하려는 값인 초록색 영역과 보라색 영역의 넓이의 합은 초록색 영역과 빨간색 영역의 넓이의 합과 같다. 이는 곧 직사각형의 넓이와 같으므로 [math(3 \cdot 7=21)]
사실 [math(f(x)=\dfrac{7}{3}x)]로 놓아버리면 그래프가 직선이 되어 굳이 정적분을 도입하지 않아도 삼각형의 넓이의 합으로도 풀 수 있다. 그러나 만약 풀이까지 써야 한다면 [math(f(x))]의 그래프가 무조건 직선이라는 보장이 없으므로 그런 풀이로는 제대로 된 점수를 받을 수 없다.
4.2. 예제 2
| [문제] 함수 [math(f(x)=x^3-3x^2+3x)]에 대하여 [math(\displaystyle\int_1^2 |f(x)-f^{-1}(x)|\;{\rm d}x)]의 값을 구하시오. |
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[math(f'(x)=3(x-1)^2)]이므로 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_1^2 |f(x)-f^{-1}(x)|\;{\rm d}x&=2\int_1^2 |f(x)-x|\;{\rm d}x\\&=2\int_1^2 \{x-f(x)\}\;{\rm d}x\\&=2\int_1^2 (-x^3+3x^2-2x)\;{\rm d}x\\&=2\biggr[-\dfrac{1}{4}x^4+x^3-x^2\biggr]^2_1\\&=2\left\{0-\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right\}\\&=\dfrac{1}{2}\end{aligned})]
한편, 위의 계산은 공식으로 다음과 같이 더욱 간단히 해결할 수 있다. 이 공식에 대해서는 다항함수/공식/넓이 참고.[math(\begin{aligned}2\int_1^2 (-x^3+3x^2-2x)\;{\rm d}x=2\left\{\dfrac{|1|}{4}(2-1)^4\right\}=\dfrac{1}{2}\end{aligned})]
4.3. 예제 3
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| 2012학년도 7월 나형 21번 |
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[math(f(1)=1)], [math(f(2)=9)]이므로 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같으며, 구하고자 하는 값은 파란색 영역의 넓이이다.[math(\displaystyle{\color{skyblue}\int_{f(1)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x}=2f(2)-{\color{limegreen}1f(1)}-{\color{red}\int_1^2 f(x)\; {\rm d}x})][math(\therefore\displaystyle{\color{skyblue}\int_{1}^{9}g(x)\;{\rm d}x}=2\cdot 9-{\color{limegreen}1\cdot 1}-{\color{red}\dfrac{17}{4}}={\color{skyblue}\dfrac{51}{4}})]
5. 무한급수를 정적분으로 나타내기
5.1. 예제 1
| 문제 1: [math(\displaystyle{\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(1+\displaystyle\frac{5k}{n}\right)^2\displaystyle\frac{5}{n}})]를 정적분의 꼴로 고치시오. |
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- 정적분의 정의를 상기하면서 식의 어떤 자리에 어떤 수나 문자가 있는지 따져 보면 된다.
여기에서, [math(x_k)]가 [math(x)]로 변하고 [math(\Delta x)]가 [math({\rm d}x)]가 된다는 점을 상기해야 한다. [math(\Delta x)]란 본디 [math(\displaystyle\frac{b-a}{n})]의 꼴이므로 문제의 식에서는 [math(\displaystyle\frac{5}{n})]라고 할 수 있다. 그러면 [math(x_k=a+\displaystyle\frac{b-a}{n}k=1+\frac{5k}{n})]가 된다. 따라서 문제의 식에 있는 [math(\left(\displaystyle 1+\frac{5k}{n}\right)^2)]을 그대로 [math(\displaystyle x^2)]으로 바꿔서 쓰면 된다.
이제 위끝과 아래끝을 결정할 차례이다. 앞서 말했듯이 [math(x_0=a)], [math(x_n=b)]이므로 [math(a=1+\dfrac{5⋅0}{n}=1)], [math(b=1+\dfrac{5⋅n}{n}=6)]이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면
[math(\displaystyle\int_1^6 x^2\,{\rm d}x)]
한편 대학 과정의 스틸체스 적분을 사용하면 의외로 쉬워지는데, 적분구간을 [math(mathbb N)], 미분계수를 [math({\rm d}\lfloor x\rfloor)]로 두고 본래 식 그대로 꼬라박으면 된다.[1] 문제 출제자 입장에선 무슨 지거리야 싶겠지만, 저런 꼴의 적분은 해석적 정수론에서 많이 쓰므로 나름대로 일리는 있다.[2]
5.2. 예제 2
| 문제 2: [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{n+4k}{n}\right)\dfrac{1}{n})]을 정적분의 꼴로 고치시오. |
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[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{n+4k}{n}\right)\dfrac{1}{n})]
[math(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{1}{n})]
문제 1에서는 [math(\left(1+\dfrac{5k}{n}\right)^2\dfrac{5}{n})] 식으로, [math(\dfrac{5}{n})]가 두 번 보였기 때문에 그대로 [math(\Delta x=\dfrac{5}{n})]로 놓으면 [math(x_k)]까지 순조롭게 정해졌었다. 그러나 문제 2는 [math(f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{1}{n})] 식으로, [math(\dfrac{4}{n})]도 보이고 [math(\dfrac{1}{n})]도 보인다. 이 경우 둘의 수를 통일해야 문제 1과 같이 정적분의 꼴로 바꿀 수가 있을 것이다. 그러면 [math(\dfrac{4}{n})]로 통일할까, [math(\dfrac{1}{n})]로 통일할까? 당연히 [math(\dfrac{4}{n})]로 통일해야 한다. 그러는 편이 비교도 안 되게 쉽기 때문이다.
[math(\displaystyle\frac{1}{4}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(1+\dfrac{4k}{n}\right)\dfrac{4}{n})]
와 같이 [math(\dfrac{1}{4})]이라는 상수를 앞으로 넘겨주기만 하면 끝이다. 계속 계산하면
문제 1과 같이, [math(\Delta x=\dfrac{4}{n})]로 놓을 수 있고, [math(x_k=1+\dfrac{4k}{n})]가 된다. [math(a=x_0=1)], [math(b=x_n=5)]이다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면
[math(\displaystyle\frac{1}{4}\int_1^5 f(x) \,{\rm d}x)]
5.3. 예제 3
| 문제 3: [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{2k^3}{n^4}\right))]의 값을 정적분을 이용하여 구하시오. |
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[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{2k^3}{n^4}\right))]
[math(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)^3⋅\dfrac{2}{n})]
문제 2와 마찬가지로 수를 통일해 주어야 한다. [math(\dfrac{1}{n})]과 [math(\dfrac{2}{n})]가 보이는데, 상수 [math(2)]를 앞으로 넘겨서 [math(\dfrac{1}{n})]로 통일하자.
[math(=2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)^3⋅\dfrac{1}{n})]
[math(a)]의 값을 찾을 수 있겠는가? [math(\dfrac{k}{n})] 바로 앞에는 [math(\boldsymbol {0+})]가 생략되어 있는 것으로 보면 [math(a=0)]임을 알 수 있다. [math(b-a=1)]이므로 [math(b=1)]이고 [math(\Delta x=\dfrac{1}{n})]이다. 그러면 자연스럽게 [math(x_k=\dfrac{k}{n})]가 된다. 따라서 정적분의 꼴로 고치면
[math(2\displaystyle\int_0^1 x^3 \,{\rm d}x)]
이를 계산하면
[math(2\left[\dfrac{1}{4}x^4\right]_0^1)]
[math(=2(\dfrac{1}{4}-0))]
[math(=\dfrac{1}{2})]
5.4. 예제 4
2020학년도 9월 평가원 모의고사 수학 나형 19번에 아주 색다른 형태가 출제되어 객관식 문제임에도 정답률이 36%에 불과했다. 다음 식을 정적분의 꼴로 고쳐서 답을 구해 보자.- 【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】
- [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac1{n+k}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{\cfrac1n}{1+\cfrac{k}{n}}f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)\\&=\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(x)}{1+x}\;{\rm d}x\\&=\int_0^1 4x^3\;{\rm d}x\\&=1\end{aligned})]
사실 이 문제를 푸는 편법이 있는데, 대학수학능력시험/수학 영역/여담 참고.
5.5. 예제 5
때때로 이런 문제도 나온다. 정적분의 정의에 등장하는 [math(\sum)]가 보이지 않는다.| 문제 4: [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^3+(n+2)^3+\cdots+(2n)^3}{1^3+2^3+\cdots+n^3})]의 값을 정적분을 이용하여 구하시오. |
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- 당황할 것 없이, [math(\sum)]로 식을 다시 나타내면 된다.
[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n (n+k)^3}{\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n (n+k)^3}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k^3})]
사실 이 상태로는 정적분으로 나타낼 수가 없다. 앞서 문제를 풀어 보았듯이, [math(\dfrac{b-a}{n}k)]와 [math(\dfrac{b-a}{n})]의 꼴이 나와야 [math(\Delta x)]나 [math(x_k)]를 정하기 쉬우므로 그에 맞게 식을 변형해 보자. 분모와 분자를 [math(n^4)]으로 나누는 것이다.
[math(=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\cfrac{(n+k)^3}{n^4}} }{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\cfrac{k^3}{n^4}} }=\dfrac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(1+\cfrac{k}{n}\right)^3⋅\cfrac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \left(\cfrac{k}{n}\right)^3⋅\cfrac{1}{n}})]
[math(=\dfrac{\displaystyle\int_1^2 x^3 \,{\rm d}x}{\displaystyle\int_0^1 x^3 \,{\rm d}x}=\dfrac{\displaystyle\left[\cfrac{1}{4}x^4\right]_1^2}{\displaystyle\left[\cfrac{1}{4}x^4\right]_0^1})]
[math(=\dfrac{4-\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{4}-0})]
[math(=15)]
5.6. 예제 6
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| 2013년 10월 B형 20번 |
- 【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】
- ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac{2k}n\right)-f\left(\dfrac{2k-2}n\right)\right\}\dfrac kn&=\lim_{n\to\infty}\dfrac12\sum_{k=1}^n\left\{f\left(\dfrac2nk\right)-f\left(\dfrac2n(k-1)\right)\right\}\dfrac2nk\\&=\dfrac12\int_{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)\;{\rm d}x\\&=\dfrac12\left(1\times 2-\int_0^2 f(x)\;{\rm d}x\right)\\&=\dfrac12\left(2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac78\end{aligned})] ||
5.7. 심화
| [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{(2n)!}{n!}\right)^\frac 1{n\ln n})] |
- [풀이]
- ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023>
6. 정적분으로 정의된 함수
6.1. 오개념: 정적분으로 정의된 함수의 변수
정적분으로 정의된 함수에는 문자가 두 개 이상 나오다 보니 정적분의 개념을 정확히 모르면 무엇이 상수이고 무엇이 변수인지 헷갈리기 십상이다.| 문제: 다음 중 다른 하나는? |
| 1. [math(y=\displaystyle\int_1^x tf(t)\,{\rm d}t)] 2. [math(y=\displaystyle\int_1^x af(a)\,{\rm d}a)] 3. [math(y=\displaystyle\int_1^x xf(x)\,{\rm d}t)] |
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- 1번은 함수 [math(y=tf(t))][3]를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 2번은 함수 [math(y=af(a))]라는 함수를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 3번 역시 마찬가지로 함수 [math(y=xf(x))]를 1부터 [math(x)]까지 정적분한 값을 뜻한다. 그러나 3번이 1번 및 2번과 다른 점은, 문자 [math(x)]가 상수라는 것이다! 잘 이해가 안 되면 다음 그래프를 보자.
여기에서 첫째 그래프와 둘째 그래프를 보면, 모든 것이 똑같고 가로축의 변수를 표기한 문자만이 다르다. 가로축의 변수를 무슨 문자로 쓸 것인지는 완전히 임의적인 것이기에, [math(a)]로 쓰든 [math(t)]로 쓰든 '꽦'으로 쓰든 하등 문제는 없고, 실질적인 계산에서도 문자만 달라질 뿐, 그 달라진 문자가 계산에 전혀 영향을 주지 않는다. 그러나 셋째 그래프는 이야기가 다르다. 그래프의 함수식이, 가로축의 변수 [math(t)]에 관한 식이 아니고 아예 새로운 문자 [math(x)]에 관한 식이기에 이는 상수함수이다. [math(x=1)]이면 [math(y=f(1))]을 1부터 1까지 정적분한 값을 구하고, [math(x=100)]이면 [math(y=100f(100))]을 1부터 100까지 정적분한 값을 구하는 것이다. 상수함수는 [math(x)]축과 평행하므로, 정적분으로 구하고자 하는 도형은 항상 직사각형이 된다. 따라서 [math(y=\displaystyle\int_1^x xf(x)\,{\rm d}t)]는 [math(y=x(x-1)f(x))]나 다름없다.
| 문제: 다음 함수는 무엇에 관한 함수인가? |
| 1. [math(y=\displaystyle\int_1^x tf(t)\,{\rm d}t)] 2. [math(y=\displaystyle\int_1^x af(a)\,{\rm d}a)] 3. [math(y=\displaystyle\int_1^x xf(x)\,{\rm d}t)] |
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- 이 역시 그래프를 보며 생각해 보자.
세 그래프 모두, [math(x)]의 값에 따라 빨간색 부분의 넓이([math(y)]값)이 달라지므로, 곧 정적분의 값도 달라짐을 알 수 있을 것이다. 따라서 1번, 2번, 3번 함수 모두 [math(\boldsymbol x)]에 관한 함수이다. [math(t)]니 [math(a)]니 다른 문자들이 같이 등장해도 [math(t)]에 관한 함수, [math(a)]에 관한 함수로 착각하면 절대 안 된다.
아직도 헷갈린다면 미적분의 기본정리의 내용을 생각해 보자. 앞서 말했듯이 [math(\displaystyle\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_a^x f(t) \,{\rm d}t=f(x))]이다.
정적분으로 정의된 저 함수를 [math(\boldsymbol x)]에 관해 미분했더니 [math(\boldsymbol x)]에 관한 함수가 나오지 않는가. 그러므로 좌변의 함수는 [math(t)]에 관한 함수가 결코 아니고, [math(x)]에 관한 함수라는 식으로 이해하면 까먹지 않을 것이다. 그러나 이렇게 되는 이유가 뭐냐고 물어보면 결국 위의 설명을 이해하고 있어야 제대로 대답할 수 있다. 다시 말해서 이렇게만 공부하지 말고, 위의 설명을 이해하는 것이 훨씬 중요하다는 말이다.
6.2. 예제
정적분으로 정의된 함수가 등장하는 문제 중 가장 기본적이다.| 문제: [math(\displaystyle \boldsymbol {f(x)=2x^3+3x^2+4x+\int_{0}^2 f(x) \,{\bold d}x})]일 때, [math(\boldsymbol {f(2)})]의 값을 구하시오. |
- 【 정답 및 해설 (펼치기 · 접기) 】
- [math(f(2))]의 값을 구하려면 먼저 [math(f(x))]를 알아야 하는데, [math(f(x))]를 알려면 [math(\displaystyle \int_0^2 f(x) \,{\rm d}x)]의 값을 알아야 한다. 그런데 [math(\displaystyle \int_0^2 f(x) \,{\rm d}x)]의 값을 알려면 [math(f(x))]를 알아야 한다! 이런 무한 루프를 극복하는 테크닉은 다음과 같다.
먼저 [math(\displaystyle\boldsymbol{\int_0^2 f(x) \,{\rm d}x = k})]로 놓는다. 정적분이니 특정 상수 값이 될 것이므로, 그 값을 일단 [math(k)]로 놓는 것이다.
그러면 [math(f(x)=2x^3+3x^2+4x+k)]가 된다.
[math(f(x))]의 부정적분을 [math(F(x))]라고 하면, [math(F(x) = \dfrac12 x^4+x^3+2x^2+kx)]이다.
[math(\displaystyle \int_0^2 f(x) \,{\rm d}x = F(2)-F(0) = \frac12\cdot2^4+2^3+2\cdot2^2+2k=2k+24)]
[math(\therefore k=2k+24, k=-24)]
[math(\therefore f(x)=2x^3+3x^2+4x-24, f(2)=12)]
좀 더 어렵게는 다음과 같이 함수를 두 개 다루는 문제도 나온다.
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| 2013학년도 사관학교 문과 15번 |
- [풀이 보기]
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똑같은 방법으로 먼저 다음과 같이 쓰면 된다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1\{f(t)+g(t)\}\,{\rm d}t&=a\\\displaystyle\int_0^1\{f(t)-g(t)\}\,{\rm d}t&=b\end{aligned})]
그러면 [math(f(x)=2x+a)]이고 [math(g(x)=3x^2+b)]이므로 다음과 같이 [math(a)]와 [math(b)]에 관한 방정식이 나오므로 정답을 구할 수 있다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1\{f(t)+g(t)\}\,{\rm d}t&=\int_0^1(2t+a+3t^2+b)\,{\rm d}t\\&=\left[t^3+t^2+(a+b)t\right]_0^1\\&=a+b+2=a\\\therefore b&=-2\\\\\int_0^1\{f(t)-g(t)\}\,{\rm d}t&=\int_0^1(2t+a-3t^2-b)\,{\rm d}t\\&=\left[-t^3+t^2+(a-b)t\right]_0^1\\&=a-b=b\\\therefore a&=-4\\\\\therefore f(x)&=2x-4,\,g(x)=3x^2\\f(1)+g(2)&=-2+10=8\end{aligned})]
[1] 예컨대 예제 1의 식은 [math(\displaystyle \int_{\mathbb N} \left(1+\frac{5k}{n}\right)^2 \frac{5}{n}\,{\rm d}\lfloor n\rfloor)]가 된다. 식에 [math(k)]가 그대로 남아있는데, 저 [math(k)]에 소수 같은 특정 수를 대입해서 '정적분으로 정의된 함수'로 써먹는 식이다.[2] 멀리 갈 것도 없이 제타 함수가 저런 꼴이다.[3] 사실 꼭 종속 변수를 [math(y)]로 써야 할 이유는 없다! [math(y=tf(t))]이든 [math(a=tf(t))]이든 쓰는 사람 마음이며 수학적으로 전혀 틀린 게 아니다. 그러나 관습적 표기를 따라서 종속 변수를 [math(y)]로 쓰기로 한다.