1. 개요
함수해석학에서 범함수 미적분학(functional calculus, 汎函數 微積分學)은 작용소에 함수를 적용하는 이론이다. 예를 들어, 유클리드 평면의 작용소 [math(A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix})]와 함수 [math({f(x)=x^2+1})]에 대하여 [math({f(A)=A^2+I=\begin{bmatrix}2&4\\0&2\end{bmatrix}})]로 정의할 수 있다. 범함수 미적분학은 이같은 과정을 일반적인 대수 위에서 다루는 것이다. 바나흐 대수의 스펙트럼 이론을 다룰 때 범함수 미적분학이 유용하게 활용된다.2. 정의
범함수 미적분학의 일반적인 정의는 저자와 분야에 따라 차이가 있다. 공통적으로 작용소 [math(a)]에 대하여 함수 [math(f)]의 함숫값을 정의한다는 점에서 함수 [math(f)]와 [math(f(a))]로 정의된 작용소 사이의 연속 단위 대수 동형 사상으로 본다. 즉, 범함수 미적분은 체 [math(\mathbb{K\in\{R,C\}})] 위의 단위 위상 대수 [math(A)]와 체 [math(\mathbb{K})] 위의 단위 함수 대수 [math(F)]에 대하여 연속 단위 대수 동형 사상 [math(\Phi:F\to A)]이다.3. 종류
작용소가 정의된 공간, 작용소의 종류, 적용하는 함수의 종류에 따라 다양한 범함수 미적분학 이론이 있다. 다음은 몇 가지 예시다.- 리스-던포드 범함수 미적분학(Riesz-Dunford functional calculus): 복소 바나흐 공간의 유계 작용소에 해석함수를 적용한다.
- [math(X)]를 [math(\mathbb{C})]-바나흐 공간, [math(G)]를 복소평면의 열린 집합이라 하자. 함수 [math(f:G\to X)]에 대하여 극한 [math(\lim_{h\to 0} h^{-1}[f(z+h)-h(z)])]가 존재하면 이 극한을 [math(f)]의 도함수라고 하며, 도함수가 연속일 경우 [math(f)]를 해석적이라 한다. 이는 [math(f)]의 급수전개가 가능함과 동치다.
- [math(G)] 내부의 잴 수 있는 곡선 [math(\gamma)], [math(\gamma)]의 근방에서 정의된 [math(X)] 연속함수 [math(f)]에 대하여 [math([0,1])]의 분할을 [math(\{t_0, t_1, \ldots, t_n\})]이라 할 때, 합 [math(\sum_{k=1}^n[\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1}) ]f(\gamma(t_k)))]의 극한을 [math(\int_\gamma f)]로 정의한다.
- 단위 [math(\mathbb{C})]-바나흐 대수 [math(A)]의 원소 [math(a)]에 대하여 복소 평면의 열린집합 [math(G)]가 [math(a)]의 스펙트럼 [math(\sigma(a))]를 포함할 때, 해석 함수 [math(f:G\to\mathbb{C})]에 대하여 [math(f(a))]는 [math(\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f(z)(z-a)^{-1}dz)]로 정의한다.
- 연속 범함수 미적분학(Continuous functional calculus): [math(C^*)]-대수의 정규 원소에 연속 함수를 적용한다.
- 보렐 범함수 미적분학(Borel functional calculus): 힐베르트 공간의 정규 작용소에 보렐 가측 함수를 적용한다.