1. 개요
무한 수열 [math(\{a_n\})]에 대하여 [math(n)]이 무한히 커지는 상황에서 [math(a_n)]이 [math(L)]에 한없이 가까워지면 [math(\lim\limits_{n\to\infty}a_n= L)]이라 한다. 이를 수열의 극한이라고 한다.2. 상세
엄밀하게는 수열의 극한도 [math(varepsilontext-delta)] 논법으로 정의된다. 단 이 경우 독립 변수 [math(n)]이 특정 값으로 수렴하지 않고 발산하기 때문에 [math(\delta)]를 쓰지 않고 '충분히 큰 수'라는 의미로 [math(N)], [math(M)]등으로 나타내기에 [math(\varepsilon\text-N)] 논법이라고 하기도 한다. 수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]로 수렴한다는 것의 정의는 다음과 같다.임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여, ' [math(n > N)]이면 항상 [math(|a_n-L|<\varepsilon)]'이 성립하게 되는 자연수 [math(N)]이 존재한다.
위 논법으로 풀면 [math(N)]은 주어진 양수 [math(\varepsilon)]의 값에 따라 변하므로, [math(N)]이 [math(\varepsilon)]에 의존한다는 뜻에서 [math(N(\varepsilon))]과 같이 함수처럼 표현하기도 한다.
수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]로 수렴한다는 것은, 아무리 [math(\varepsilon)]을 작게 잡아도 [math(a_n)]이 구간 [math((L-\varepsilon,\,L+\varepsilon))]에 포함된다는 것을 의미한다. 아직 무슨 뜻인지 모르겠으면, 아래 함수의 극한에서 [math(\varepsilon\text-\delta)] 논법을 참고하자.
예를 들어 [math(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac n{2n+1}=\dfrac12)]임을 보이자. 임의의 양수 [math(\varepsilon>0)]에 대해, [math(n>N \Rightarrow \left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|<\varepsilon)]이 성립하는 [math(N)]이 존재함을 보이면 충분하다. 이때 [math(\left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|=\dfrac12\dfrac1{|2n+1|} = \dfrac12{\left(\dfrac1{2n+1}\right)})]이므로 필요조건의 부등식은 [math(\dfrac12{\left(\dfrac1{2n+1}\right)}<\varepsilon)]임을 알 수 있다. 이를 [math(n)]에 대해 정리하면 [math(n>\dfrac1{4\varepsilon} - \dfrac12)]이므로 자연수 [math(N)]은 가장 간단한 형태로서 이 식에 천장함수를 씌운 값 [math(N(\varepsilon) = \left\lceil\dfrac1{4\varepsilon} - \dfrac12\right\rceil)]으로 항상 존재함을 알 수 있다.[1] 천장함수의 성질에 따라 [math(n>N(\varepsilon) \ge \dfrac1{4\varepsilon}-\dfrac12)]이며 다음과 같이 식을 변형하면 [math(4n+2 = 2(2n+1) > 4N(\varepsilon) + 2 \ge \dfrac1\varepsilon \Rightarrow \dfrac1{2(2n+1)} = \left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|< \dfrac1{4N(\varepsilon)+2} \le \varepsilon)], 즉 [math(\left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|<\varepsilon)]으로 필요조건의 부등식이 항상 참이 됨을 확인할 수 있다. 따라서 [math(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac n{2n+1}=\dfrac12)]이다.
이 부분은 2015 개정 교육과정에서 미적분으로 넘어가 자연계 지망자(舊 이과생)만 배우는 내용이 되었다.
대학 해석학 수준이 되면 수열의 수렴성보다 엄밀한 조건으로 수열의 코시 수열 성질을 배우게 되는데, 코시 수열은 다음과 같이 정의된다.
수열 [math(a_n)]이 존재한다고 하자. 그렇다면 이 수열이 코시 수열일 조건은 임의의 양의 실수 [math(\epsilon)]에 대하여, 이에 대응하는 적당한 자연수 [math(N)]가 존재하여 [math(n,\,m > N)]을 만족하는 자연수 [math(n,\,m)]에 대하여 다음 성질을 만족하는 수열이다.
[math(d(a_n,\,a_m)<\epsilon)]
(단, [math(d)]는 거리함수. 유클리드 공간에서는 두 수의 차의 절댓값이 된다.)
[math(d(a_n,\,a_m)<\epsilon)]
(단, [math(d)]는 거리함수. 유클리드 공간에서는 두 수의 차의 절댓값이 된다.)
일반적인 유클리드 공간 내라면 수렴성 = 코시 수열 성질이지만, 일반 거리 공간이 되면 코시 수열 성질과 수렴성이 꼭 일치하는 건 아니다. 거리 공간이 완비성을 지니게 되면 코시 수열의 수렴성이 보장되며 반대로 말해서, 코시 수열이 수렴하게 되면, 이 코시 수열이 전제된 거리공간은 완비 거리 공간(complete metric space)이 된다.
3. 활용
- [math(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n)]이 수렴하면 [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0)]이다. (역은 성립하지 않음에 주의하자. 이는 수렴하는 급수라면 반드시 성립해야 하는 필요조건이다.)
[1] 여기서 [math(N(\varepsilon))]은 부등식을 만족하기만 하면 되기 때문에 단 하나로 정해지는 게 아니다. 가령 [math(N(\varepsilon))]의 [math(\varepsilon)]에 [math(\dfrac\varepsilon2)]를 대입한 [math(\left\lceil\dfrac1{2\varepsilon}-\dfrac12\right\rceil)]를 [math(N(\varepsilon))]이라고 놓고 같은 방법으로 식을 전개하면 [math(\dfrac1{2(2n+1)}<\dfrac\varepsilon2)]가 얻어지므로 주어진 명제는 '[math(n>N(\varepsilon) \Rightarrow \left|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\right|<\dfrac\varepsilon2<\varepsilon)]'으로 여전히 참이다.