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수열의 극한

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1. 개요2. 설명
2.1. 수렴하는 경우2.2. 발산하는 경우
3. 예시4. 코시열5. 기타

1. 개요

Limit of a sequence

무한 수열 [math(\{a_n\})]에 대하여, [math(n)]이 무한히 커지는 상황에서 일반항 [math(a_n)]이 [math(L)]에 한없이 가까워지면 수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]에 수렴한다고 하며, 다음과 같이 나타낸다.
[math(\lim\limits_{n \to \infty}a_n= L)]
이것을 수열의 극한이라 한다.

2. 설명

2.1. 수렴하는 경우

함수의 극한을 엄밀하게 정의할 때 [math(varepsilontext-delta)] 논법을 사용하여 나타냈듯, 수열의 극한 또한 [math(\varepsilon\text-N)] 논법으로 정의된다.

수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]로 수렴함은 다음과 동치이다. 아래 표현에서 [math(\forall{\cdot})]은 'for all[1] [math(\cdot)]'(모든/임의의 [math(\cdot)]에 대하여), [math(\exist{\cdot})]는 'there exists[2] [math(\cdot)]'([math(\cdot)]이 존재한다)를 의미하는 기호이다.
[math(\forall \varepsilon>0\,(\exists N\in\N\,(\forall n\in\N\,(n \ge N \Longrightarrow |a_n - L| < \varepsilon)\,)\,))][3]
비형식적 언어로 다시 적으면 다음과 같다.
임의의 양수 [math(\varepsilon)]과 자연수 [math(n)]에 대하여 '[math(n\ge N)]이면, 항상 [math(|a_n-L|<\varepsilon)]'이 성립하게 되는 자연수 [math(N)]이 존재한다.

위 논법으로 풀면 [math(N)]은 주어진 양수 [math(\varepsilon)]의 값에 따라 변하므로, [math(N)]이 [math(\varepsilon)]에 의존한다는 뜻에서 [math(N(\varepsilon))]과 같이 함수처럼 표현하기도 한다.

수열 [math(\{a_n\})]이 [math(L)]로 수렴한다는 것은, 아무리 [math(\varepsilon)]을 작게 잡아도 [math(a_n)]이 구간 [math((L-\varepsilon,\,L+\varepsilon))]에 포함된다는 것을 의미한다. 아직 무슨 뜻인지 모르겠으면, [math(varepsilontext-delta)] 논법 문서를 참고하자.

2.2. 발산하는 경우

수열 [math(\{a_n\})]이 [math(n\to\infty)]일 때 [math(a_n\to\pm\infty)]로 발산함은 다음과 동치이다.
[math(\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}a_n &= \infty &&\Longleftrightarrow &\forall K\in \R\,(\exists N\in\N\,(\forall n\in\N\,(n \ge N \Longrightarrow a_n > K)\,)\,) \\
\lim_{n\to\infty}a_n &= -\infty &&\Longleftrightarrow &\forall K\in \R\,(\exists N\in\N\,(\forall n\in\N\,(n \ge N \Longrightarrow a_n < K)\,)\,) \end{aligned})][4]
각각 풀어 쓰면
[math(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \infty)]: 임의의 실수 [math(K)]와 자연수 [math(n)]에 대하여 '[math(n\ge N)]이면, 항상 [math(a_n>K)]'이 성립하게 되는 자연수 [math(N)]이 존재한다.

[math(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = -\infty)]: 임의의 실수 [math(K)]와 자연수 [math(n)]에 대하여 '[math(n\ge N)]이면, 항상 [math(a_n<K)]'이 성립하게 되는 자연수 [math(N)]이 존재한다.
이다.

3. 예시

[math(\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac n{2n+1} = \dfrac12 \quad \cdots \, {\small(\ast)})]
임을 [math(\varepsilon\text-N)] 논법으로 증명해보자.

임의의 양수 [math(\varepsilon)]에 대하여
[math(n\ge N \Longrightarrow \biggl|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12\biggr|<\varepsilon)]
이 성립하는 자연수 [math(N)]이 존재함을 보이면 충분하다. 식을 변형하여
[math(\biggl| \dfrac n{2n+1}-\dfrac12 \biggr| = \dfrac12\dfrac1{2n+1})]
이므로 필요 조건의 부등식은
[math(\dfrac12\dfrac1{2n+1}<\varepsilon)]
따라서 [math(n)]에 대하여 정리하면
[math(n>\dfrac1{4 \varepsilon}-\dfrac12)]
따라서 자연수 [math(N)]은 가장 간단한 형태로서 이 식에 최소 정수 함수를 씌운
[math(N(\varepsilon) = {\left\lceil\dfrac1{4\varepsilon} - \dfrac12\right\rceil})]
으로 항상 존재함을 알 수 있다.[5]

최소 정수 함수의 성질에 따라
[math(n\ge N(\varepsilon) \ge \dfrac1{4\varepsilon}-\dfrac12)]
이며, 이 식을 변형하면,
[math(2(2n+1) \ge 4N(\varepsilon)+2 \ge \dfrac1\varepsilon)]
이고, 따라서
[math(\dfrac1{2(2n+1)} = \biggl|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12 \biggr| \le \dfrac1{4N(\varepsilon)+2} \le \varepsilon)]
가 얻어진다. 위 부등식은 등호가 빠진
[math(\biggl|\dfrac n{2n+1}-\dfrac12 \biggr| < \varepsilon)]
을 포함하므로 필요 조건의 부등식이 항상 참이 됨을 알 수 있다. 이상에서 식 [math(\small(\ast))]가 증명되었다.

4. 코시열

대학 해석학 수준이 되면, 수열의 수렴성보다 엄밀한 조건으로 수열의 코시 수열 (Cauchy sequence) 성질을 배우게 되는데, 코시 수열은 아래와 같이 정의된다.
수열 [math(\{a_n\})]이 존재한다고 하자. 그렇다면, 이 수열이 코시 수열일 조건은 임의의 양의 실수 [math(\varepsilon)]에 대하여 이에 대응하는 적당한 자연수 [math(N)]이 존재하여 [math(n)], [math(m>N)]을 만족하는 자연수 [math(m)], [math(n)]에 대하여 다음 성질을 만족하는 수열이다.
[math(d(a_n,\,a_m) < \varepsilon)]
여기서 [math(d)]는 거리 함수이며, 유클리드 공간에서는 두 수의 차의 절댓값이 된다.

수렴성은 특정한 하나의 점을 상정하고 수열이 그리로 가까워진다는 성질이지만, 코시 수열은 목표점이 상정되지 않은 상태에서 그저 수열의 항들이 서로 가까워진다는 성질이다.

일반적인 유클리드 공간 내라면 코시 수열이 곧 수렴성이지만, 일반 거리 공간이 되면 코시 수열 성질이 반드시 수렴하지는 않는다. 예컨대 일반적인 거리를 거리함수로 갖는 유리수 집합에서는 수렴하지 않는 코시 수열을 잡을 수 있다. 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... 은 유리수 집합에서의 코시 수열의 한 예지만, 이 수열의 극한인 원주율은 유리수 집합의 원소가 아니다.

어떤 공간에서 임의의 코시 수열이 수렴한다면 완비성을 갖췄다고 한다. 유클리드 공간은 완비 거리 공간이다.

5. 기타


[1] All의 첫머리 글자를 기호화한 것.[2] Exists의 첫머리 글자를 기호화한 것.[3] 다른 버전으로는 쉼표와 [math(\sf s.t.)](such that … = …를 만족하는)을 조합한
[math(\forall \varepsilon>0,\,\exists N\in\N\textsf{ s.t. }\forall n\in\N,\,n \ge N \Longrightarrow |a_n - L| < \varepsilon)]
이 있다.[4] 이 역시 쉼표와 [math(\sf s.t.)]을 조합한
[math(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \infty \Longleftrightarrow \forall K\in\R,\,\exists N\in\N\textsf{ s.t. }\forall n\in\N,\,n \ge N \Longrightarrow a_n > K \\ \lim\limits_{n\to\infty}a_n = -\infty \Longleftrightarrow \forall K\in\R,\,\exists N\in\N\textsf{ s.t. }\forall n\in\N,\,n \ge N \Longrightarrow a_n < K)]
로 나타내기도 한다.[5] 여기서 [math(N(\varepsilon))]은 부등식을 만족하기만 하면 되기 때문에 단 하나로 정해지는 게 아니다. 가령 [math(N(\varepsilon))]의 [math(\varepsilon)]에 [math(\varepsilon/2)]를 대입한 [math({\biggl\lceil\cfrac1{2\varepsilon}-\cfrac12\biggr\rceil})]를 [math(N(\varepsilon))]이라고 놓고 같은 방법으로 식을 전개하면 [math(\cfrac1{2(2n+1)}\le\cfrac\varepsilon2)]가 얻어지므로 주어진 명제는
[math(\qquad n \ge N(\varepsilon) \Longrightarrow \biggl|\cfrac n{2n+1}-\cfrac12\biggr|\le\cfrac\varepsilon2<\varepsilon)]
으로 여전히 참이다.


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