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1. 개요
解析的整數論 / Analytic Number Theory정수론을 연구하는 데 미적분학, 복소해석학, 조화해석학 등을 이용하는 정수론의 한 분야. 처음 보는 사람은 도대체 어떻게 하는 건지 신기할 수도 있지만, 막상 하다보면 그냥 계산의 천국이라고 느껴진다. 하지만 확실히 신기한 결과들이 많이 나오기는 한다.
존 더비셔의 리만 가설등의 책을 통해서 꽤나 많이 알려져 있는데, 그에 비해 연구하기도 어렵고 연구하는 사람도 적은 편. 그럴 수밖에 없는 게 주로 연구할 분야가 제타함수, 골드바흐 추측, 소수 사이의 간격 등 난제 관련된 경우가 대부분이라 문제 하나 잘 풀면 필즈상 혹은 아벨상 직행이라고 봐도 무방하다.
2. 역사
해석적 정수론은 위대한 수학자 레온하르트 오일러가 바젤 문제[2]를 해결하면서부터 시작되었다[3]. 오일러는 바젤 문제에 등장하는 수식을 n승인 경우로 확장시켜서 생각하게 되었고, 이와 같이 일반화된 개념이 제타 함수이다.이후에 또다른 위대한 수학자 베른하르트 리만은 <주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여> (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe) 라는 논문에서 제타 함수의 정의역을 확장하여 다루었고, 제타 함수에 대한 연구는 수학계의 화두가 되었다. 리만은 제타 함수와 소수 계량 함수 (주어진 수보다 작은 소수의 개수를 표현하는 함수) 의 관계를 증명하고, 그의 스승인 가우스가 제시한 추측인 소수 추측 (소수 정리의 옛 이름) [4][5] 에 있어서, 이를 증명하는 방법을 제시하는 동시에 개수를 훨씬 정확하게(사실상 같게) 구하는 방법을 제시했다. 이 중에서 특히 두 번째로 직결되는 것이 바로 수학계 최고의 떡밥인 리만 가설이다.
리만 가설은 소수 정리의 증명을 위한 보조 정리 정도로만 제시되었으나, 이것이 참이라는 것을 증명하는 일은 너무나도 어려웠다. 결국 소수 정리는 리만 가설 없이, 리만 가설과 굉장히 비슷하지만 더 포괄적이고 약한 사실을 증명하면서 그에 기반하여 증명되었다.
처음에는 소수 정리의 증명을 위해 필요한 사소한 보조 정리 정도로만 여겨졌던 리만 가설은 차츰 그 자체로 주목을 받게 되었다. 그 이유는 리만 가설이 사실일 경우, 수많은 중요 결과들이 자동으로 도출된다는 것이 밝혀졌기 때문이다. 리만 가설이 참일 경우에 수많은 사실들이 자동으로 해결되어 다른 수학 난제들이 아주 간단하게 해결된다는 것을 보인 이는 독일의 수학자 에드문트 란다우였다. 또한 란다우는 빅-O 표기법 (Big-O notation) 이라는 점근 표기법을 대중화시켰으며, 이와 같은 해석학적 사고 방식으로 정수론 문제들을 다룰 수 있다는 리만의 아이디어를 더 널리 보급시켰다.
한편, 영국의 수학자 G. H. 하디는 란다우의 책을 통해 리만 가설이 중요한 문제라는 사실을 알게 되었고, 리만 가설이 참일 가능성이 굉장히 높다는 결과를 얻어낸다. 즉, 리만 가설을 만족시키는 제타 함수의 비자명 복소 근이 무한히 많다는 사실을 보인 것이다. 하지만 이것은 제타 함수의 "모든" 비자명 복소 근이 리만 가설을 만족시킨다는 것은 아니었다. 이 이후로도 다양한 도전과 진전들이 있었으나 리만 가설은 아직도 해결되지 않은 상태이다. 그러나 리만 가설과 별개로, 리만 가설을 증명하려는 시도의 과정에서 해석적 정수론이라는 분야 자체가 크게 발달하게 되었다.
해석적 정수론은 대개 복소해석학을 사용한다. 복소수의 범위에서 다루는 것이 훨씬 더 간편하기 때문이다. 하지만 같은 정리를 복소수를 다루지 않고 증명하는 방법도 있는데, 이를 '초등적 증명'이라 한다. 초등적 증명은 더 단순한 도구만을 사용하게 되지만, 대부분 복소수를 사용할 때보다 훨씬 더 어렵다. 소수 정리 역시 초등적 증명이 만들어지는 것은 사실상 불가능할 것이라는 예측이 대부분이었다. 그런데, 아틀레 셀버그와 에르되시 팔이 그 증명을 독립적으로 발견했다.[6]
해석적 정수론의 또다른 난제인 골드바흐 추측도 많이 연구되었는데, 대표적으로 소련 수학자 이반 비노그라도프 (Ivan Vinogradov) 는 "충분히 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타내어진다"는 사실을 증명했고, 중국 수학자 첸징룬은 "충분히 큰 모든 짝수는 소수와 유사 소수의 합으로 나타내어진다"는 사실을 증명했다. 참고로 첸징룬은 저 정리를 1966년 증명했지만 중국에서 문화대혁명이 일어났기 때문에 1973년에야 발표했다. 현재 Harald Helfgott 에 의해 모든 홀수가 세 소수의 합으로 나타내어진다는 것이 증명됐다.
최근에는 쌍둥이 소수 추측이 많이 연구되고 있는데, 중국 수학자 장이탕 (Zhang Yitang) 은 "차가 7천만[7]보다 작은 소수의 쌍은 무한히 많다" 는 사실을 증명했고, 이 증명 덕분에 테렌스 타오를 비롯한 많은 해석적 정수론 학자들이 소수 사이 간격에 대한 연구에 매진하고 있다고 한다.
3. 특징
대수적 정수론보다는 진입장벽이 낮다. 대수학을 꽤나 많이 공부해야 시작할 수 있는 대수적 정수론과는 달리 미적분학, 정수론, 학부 수준 복소해석학을 보고 나면 해석적 정수론에 입문하기에 부족함은 없다. 그러나 입문이 용이하다는말이지 해석적 정수론이 쉽다는 말은 아니다. 오히려 해석적 정수론은 굉장히 어려운 분야에 속한다.더 어려운 문제를 다룰 때마다 동원되는 복소해석학의 툴은 점점 더 어려워지며, 이해를 위해 알아야 하는 해석학의 툴도 복소해석학을 넘어 실해석학, 조화해석학, 함수해석학 등의 분야에 이르기까지 점점 더 폭발적으로 늘어난다. 분야에 따라 확률론, 조합론은 물론이고 세부분야에 상관없이 조금만 더 공부하다보면 유체론, 표현론, 대수기하학 등 아예 대수적 정수론을 따로 배워야하며,[8] 그외에도 지금도 활발한 연구가 진행되는 해석학 및 대수학 분야의 최전선에 이르기까지 현대수학 전반에 걸쳐 넓고 깊은 토대를 갖출 것을 요구한다. 예를 들어 프린스턴 대학교에서 학부에서 대학원까지 해석학 강의에 쓰려고 저술된 푸리에-복소-실-함수해석 4부작에 걸친 크고 아름다운 프린스턴 렉처 시리즈는 해석적 정수론을 기본 테마로 삼고 쓰인 시리즈인데, 이 시리즈의 저자 Elias Stein 교수는 원래 조화해석학 전공자이며 그의 지도를 받고 해석적 정수론 연구에 뛰어든 테렌스 타오 같은 후학들 역시 비슷한 연관 분야를 전공했으며 함수해석학이나 편미분방정식론 같은 해석학의 다른 최전선 연구분야에서도 활발히 활동하고 있다. 사실상 해석적 정수론을 공부하기 위해서는 해석학은 물론이고 대수학의 연구주제도 가급적 많이 알아둬야 한다는 말이다. 이 정도의 공부는 대학원 공부 몇년 정도로 쌓을 수 있는 지식이 아니기에 박사학위 취득 이후에도 연구원이나 교수 생활을 하면서 끊임없이 여러 방향의 최신 연구성과를 따라가야만 한다. 이런 다른 분야를 알아야 하는 흐름은 현대 수학에서의 전반적 특징이지만, 해석적 정수론은 분명히 해석학과 정수론이라는 학부 시절에는 서로 전혀 상관없어보이던 분야가 융합된 것이다보니 타 분야에 대한 지식이 더 많이, 절실하게 필요하다.
4. 세부 분야
- 승법적 정수론(Multiplicative Number Theory)
곱셈 위에서 정수의 여러 성질들을 연구한다. 예컨대 정수가 커질 수록 소인수들이 평균 몇개인지, 특정 승법적 수론함수의 합이 어떻게 행동하는지 등등. 애초에 소수라는 개념 자체가 승법(곱셈)의 정의에서 유도되는 것이니, 리만이 제시한 방법들과 리만 가설로부터, 아래에 나올 가법적 정수론보다 일차적으로는 결과들이 직결된다고 볼 수 있겠다.
- 가법적 정수론(Additive Number Theory)
어떤 꼴의 자연수를 어떤 꼴의 자연수들의 합으로 나타낼 수 있는지, 방법은 몇 가지인지 등을 연구하는 것. 골드바흐 추측, 웨어링의 문제[9] 등이 있다. 사실 이상하게도, 생각해 보면 우리는 쉬워보이는 덧셈보다는 적어도 그보다는 약간 어려워 보이는 곱셈에 관해 더 잘 알고 있음을 깨닫는다. 위에서 설명했듯, 소수라는 것이 곱셈에 의한 정의이니만큼 그 위에 덧셈을 추가한 문제가 어려워지는 것은 당연지사라 볼 수도 있겠다.
위의 두 정수론 분야는 사실 뚜렷히 나뉘어지는 것은 아니다. 특정 승법 함수의 합도 어떤 면에서는 가법이며, 웨어링의 문제 같은 경우도 승법적 성질을 갖고 있다. 굳이 문제가 승법적인가 가법적인가로 불리는 것은 그 문제의 대표적 성질에 따른 것이지, 가법적이라 불리는 문제가 승법적 접근으로 풀릴 수도 있고, 승법적이라 불리는 문제가 가법적으로 풀릴 수도 있다. 그 두 가지 성질에 관해 동시에 많은 것을 알려주는 것이 바로 리만 가설이다.
- Sieve Theory
어떤 집합에서 특별한 조건을 만족하는 수들을 골라내는 방법을 연구하는 것. 한국어로 직역하면 '체론'이지만 대수학의 '체론'(Field Theory)과 헷갈려서인지 '체론'으로 번역하는 경우는 없는 듯 하다.거름망 이론위에서 말한 초등적 방법으로 많이 연구하는 분야이며, 정의를 보면 알겠지만 굉장히 광범위하다. 실제로 정수론의 많은 정리들을 Sieve의 형식으로 쓸 수 있으니.
5. 관련 전공서적
- Tom Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, 1976.
슈프링어 (Springer) 출판사의 Undergraduate Texts in Mathematics (UTM) 시리즈 중의 한 권으로, 기초 정수론과 미적분학, 기초 복소함수론 정도의 가벼운 지식만을 전제로 집필된 책이여서 기초용으로 매우 좋다.
- Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan, Multiplicative Number Theory.
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 시리즈 중 하나. 보통 위의 아포스톨 (Apostol) 책을 다 보고 나서 보는 책. 위에 설명한 승법적 정수론에 대해 다루는 책이며, 연습문제가 무려 500개 이상이나 된다. 수학은 세부 분야로 갈 수록 전공서적의 연습문제가 거의 없다는 것을 생각하면 엄청난 수의 문제가 있는 것이다.
- H. Davenport, Multiplicative Number Theory.
Springer의 Graduate Texts in Mathematics (GTM) 시리즈 중의 한 권으로. 매우 얇으며 연습문제가 아예 없다는 특징이 있다. 하지만 승법적 정수론이라는 주제를 간결하게 잘 설명하고 있어서 추천된다.
- Iwaniec & Kowalski, Analytic Number Theory.
해석적 정수론의 topic들을 집대성한 레퍼런스. 미국 수학회 (AMS) 의 Mathscinet 의 정보를 보면 다음과 같다.
인용횟수, 저자, 책 이름, 출판년도
988 Silverman, Joseph H. The arithmetic of elliptic curves. 1986.
748 Titchmarsh, E. C. The theory of the Riemann zeta-function.1986.
700 Lidl, Rudolf; Niederreiter, 1997.
550 Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel Analytic number theory. 2004.
오후 8:14 2014-05-11에 추출한 정보다.
MSC 11의 정보이며, 2000년대 출간된 주제에 수많은 80~90년대 책들을 제치고 4위를 차지했다.
굉장히 어려운 해석적 정수론 서적. 거의 논문모음집 수준이며 연습문제는 거의 없다. 이 책을 완벽하게 읽고 이해할 수 있다면 이제 이 분야의 논문을 읽고 쓸 수준이라 생각해도 된다. 그러나 세부적인 계산은 거의 다 독자에게 떠넘기고, 심지어 자잘한 오류가 굉장히 많으므로 이 책을 읽고자 한다면 이 책에서 다루는 방법을 상당 부분 이미 알고 있거나, 혹은 연구 시에 레퍼런스로만 참고하는 것을 추천한다. 잘 모르는 상태에서 이 책을 완벽히 이해하기란 거의 불가능에 가깝고, 사실 레퍼런스로 사용하다가도 잘못된 결과를 가져다쓰게 되면 연구에 오류가 생기는 끔찍한 일이 발생할 수 있다. 해석적 정수론에 어떤 토픽이 있는지만 이 책의 목차를 통해 살펴보고, 세부적인 내용은 논문이나 다른 자료를 통해 공부하는 것이 낫다.
- Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory 1,2.
Springer의 Graduate Texts in Mathematics (GTM) 시리즈 중 하나. 1권 The Classical Bases, 2권 Inverse Problems and Geometry of Sumsets로 이루어져 있으며, 가법적 정수론을 공부하기에 매우 좋다. 단점이라면 계산이 더럽고(...) 연습문제가 없는 것과 다를 바가 없다는 것 정도가 있다.
위의 책들을 읽으면 해석적 정수론 논문을 쓸 수 있는 정도이다. 그러나 위의 책들을 전부 읽을 정도의 실력이 되려면 아주 많은 지식을 알아야 하므로, 책 몇 권을 읽는 것이 매우 오래 걸린다.
6. 대표적인 수학자들
매우 많지만, 관련된 교양 서적을 보면 나오는 인물 혹은 타 분야 사람들에게도 어느정도 알려져 있는 수학자들 위주로 써보면 다음과 같다.- 베른하르트 리만 (해석적 정수론의 창시자)
- 에드문트 란다우
- 디리클레
- 메르텐스
- 발레 푸생
- 자크 아다마르
- G. H. 하디
- J. E. 리틀우드
- 비노그라도프
- 아틀레 셀버그
- 스리니바사 라마누잔
- 에르되시 팔
- 첸징룬
- 테렌스 타오
- 장이탕
- 제임스 메이나드
- 트레버 울리
7. 문제와 정리들
[1] 특히 로그 적분 함수 [math(\operatorname{li}(x))]는 심심하면 튀어나오는 수준이다.[2] 모든 자연수의 제곱의 역수의 합을 구하시오[3] 다른 정수론 하위 분야인 대수적 정수론도 오일러가 페르마의 마지막 정리 중 n = 3 인 경우를 해결한 것이 시발점이 됐다. 현대 정수론의 두 하위 분야가 모두 오일러에 근간을 두고 있는 것이다.[4] [math(x)]보다 작은 소수의 개수는 [math(\dfrac{x}{\ln x})]에 수렴한다는 내용이다.[5] 이와 관련하여, 가우스가 10만 단위의 수를 암산으로 모두 해결했다는 것으로 그의 천재성을 보였다는 잘못된 정보가 흔히 있는데, 실제로는 하루에 15분 정도를 들여 구간마다 약 1000개 가량의 수를 골라서 소수의 개수를 셌다고 한다. 또한 가우스는 백만 단위의 소수표를 이미 가지고 있었으며, 이 과정을 암산으로 했다거나 손으로 직접 계산했다는 기록은 어디에도 없다. 가우스는 단지 하루에 15분 정도를 들였다고 언급했을 뿐이다.[6] 이것에 관련된 재미있는 일화가 있다. 셀버그는 공식 하나를 발견하고 이를 이용해서 소수 정리를 초등적으로 증명하려 했는데, 셀버그가 그 공식을 발표하는 것을 본 에르되시가 "그 공식을 이용해서 소수 정리의 초등적인 증명을 공동연구하자" 고 했지만, 영광을 혼자 차지하고 싶었던 셀버그는 "이걸로 안 될 것 같다"고 하면서 거절했다. 하지만 에르되시가 먼저 증명을 완성하고 만다! 그래도 셀버그도 후에 증명을 완성했고, 먼저 아이디어를 떠올린 셀버그의 공로를 인정해 둘 모두 소수 정리의 초등적인 증명의 발견자로 인정받고 있다.[7] Zhang의 방법에 더 연구하여, 많은 수학자들에 의해 현재는 246까지 줄여졌다. Generalized Elliot-Halberstam conjecture을 가정하면 6까지 줄여졌다.[8] 아래 Iwaniec의 책만 봐도 대수기하의 영향력은 절대적이라고 언급하고 있다.[9] 자연수를 몇 개의 거듭제곱수들의 합으로 나타낼 수 있을까