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.tpc {border: 2px solid #0000; margin: auto; background: #0000 !important;} 1. 개요
로그 積分 函數 / logarithmic integral function / (중국어)對數[1]積分函數특수함수의 하나로, [math(\operatorname{li}(x))]로 표기하며 정의는 다음과 같다.
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \operatorname{li}(x) = \begin{cases} \displaystyle \int_0^x \frac{{\rm d}t}{\ln t} \quad &(x<1) \\ \displaystyle \lim_{c\to0+} \biggl( \int_0^{1-c} \frac{{\rm d}t}{\ln t} +\int_{1+c}^x \frac{{\rm d}t}{\ln t} \biggr) \quad &(x>1) \end{cases} \end{aligned} )] |
이 함수의 그래프는 아래와 같다.
보통은 [math(1)]을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다. 한편, 적분 범위를 [math([0, x])]가 아닌 [math([2, x])]로 규정한 경우도 있다.[2] 이 경우, 대문자 [math(\rm L)]을 써서 [math(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) -\operatorname{li}(2))]로 정의한다.[3] 이럴 경우 특이점인 [math(1)]이 적분 구간에 포함되지 않는다.
또한, [math(x>1)] 범위에서 불완전 감마 함수를 이용해
| <tableclass=tpc>[math( \operatorname{li}(x) = -\Gamma(0, -\ln x) -i\pi )] |
로그 적분 함수는 소수 계량 함수와 관계가 깊으며, 물리학과 화학에서도 사용한다. 수론에서 주로 다루며 이것이 소수 정리이다. 따라서 정수론(특히 해석적 정수론)을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[4] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 리만 가설이다. 이외에도 스큐스 수를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.
1.1. 라마누잔-졸트너 상수
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| [math(^{?})] 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않음 | |||||
Ramanujan-Soldner constant
위 그래프에서 볼 수 있듯이 [math(x>1)] 범위에서 [math(x)]절편이 하나 존재하는데, 발견자인 요한 폰 졸트너와 이를 해석적으로 계산해낸 스리니바사 라마누잔의 이름을 따와서 라마누잔-졸트너 상수라고 한다. 이 상수는 그리스 문자 [math(mu)]로 표기하며, 그 값은 약 [math(1.4513692349)]이다. 존재성 증명은 여기를 참고하라.
2. 지수 적분 함수와의 관계
지수 적분 함수와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 항등식이 존재한다.| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \operatorname{li}(x) &= (\operatorname{Ei}\circ\ln)(x) \\ &= \operatorname{Ei}(\ln x) \end{aligned} )] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \operatorname{Ei}(x) = \begin{cases} \displaystyle -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}t \,{\rm d}t \quad &(x<0) \\ \displaystyle -\lim_{c\to0+} \biggl( \int_{-x}^{-c} \frac{e^{-t}}t \,{\rm d}t +\int_c^\infty \frac{e^{-t}}t \,{\rm d}t \biggr) \quad &(x>0) \end{cases} \end{aligned} )] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \operatorname{Ei}(\ln x) = \begin{cases} \displaystyle -\int_{-\ln x}^\infty \frac{e^{-t}}t \,{\rm d}t \quad &(\ln x<0) \\ \displaystyle -\lim_{c\to0+} \biggl( \int_{-\ln x}^{-c} \frac{e^{-t}}t \,{\rm d}t +\int_c^\infty \frac{e^{-t}}t \,{\rm d}t \biggr) \quad &(\ln x>0) \end{cases} \end{aligned} )] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \operatorname{Ei}(\ln x) = \begin{cases} \displaystyle -\int_x^0 \frac{{\rm d}u}{\ln u} = \int_0^x \frac{{\rm d}u}{\ln u} \quad &(x<1) \\ \displaystyle -\lim_{c\to0+} \biggl( \int_x^{e^c} \frac{{\rm d}u}{\ln u} +\int_{e^{-c}}^0 \frac{{\rm d}u}{\ln u} \biggr) \quad &(x>1) \end{cases} \end{aligned} )] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} -\lim_{c\to0+} \biggl( \int_x^{e^c} \frac{{\rm d}u}{\ln u} +\int_{e^{-c}}^0 \frac{{\rm d}u}{\ln u} \biggr)\! &= -\lim_{b\to0+} \biggl( \int_x^{1+b} \frac{{\rm d}u}{\ln u} +\int_{1-b}^0 \frac{{\rm d}u}{\ln u} \biggr) \\ &= \lim_{b\to0+} \biggl( \int_0^{1-b} \frac{{\rm d}u}{\ln u} +\int_{1+b}^x \frac{{\rm d}u}{\ln u} \biggr) \end{aligned} )] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \operatorname{Ei}(\ln x) = \begin{cases} \displaystyle \int_0^x \frac{{\rm d}u}{\ln u} \quad &(x<1) \\ \displaystyle \lim_{b\to0+} \biggl( \int_0^{1-b} \frac{{\rm d}u}{\ln u} +\int_{1+b}^x \frac{{\rm d}u}{\ln u} \biggr) \quad &(x>1) \end{cases} \end{aligned} )] |
| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \operatorname{li}(x) = \begin{cases} \displaystyle \int_0^x \frac{{\rm d}t}{\ln t} \quad &(x<1) \\ \displaystyle \lim_{c\to0+} \biggl( \int_0^{1-c} \frac{{\rm d}t}{\ln t} +\int_{1+c}^x \frac{{\rm d}t}{\ln t} \biggr) \quad &(x>1) \end{cases} \end{aligned} )] |
2.1. 무한급수 표기
앞선 문단의 결과로 [math(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x))]가 성립하므로, [math(operatorname{Ei}(x))]의 무한급수 표기를 이용하여 [math(\operatorname{li}(x))]의 무한급수 표기도 구할 수 있다.| <tableclass=tpc>[math(\begin{aligned} \operatorname{li}(e^x) = \operatorname{Ei}(x) &= \gamma +\ln\!|x| +\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n\cdot n!} \\ \Rightarrow\quad \operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x) &= \gamma +\ln\!|\!\ln x| +\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln^nx}{n\cdot n!} \end{aligned} )] |
3. 관련 문서
[1] 대수(對數)는 로그를 의미한다.[2] 사실, [math(2)]보다는 [math(x)]절편인 [math(\mu)]라는 기호를 쓰는 '라마누잔-졸트너 상수'를 사용하는 것이 더 깔끔해 보이기는 하지만, 이 수는 다음 문단에서 볼 수 있다시피 정수는커녕 초월수인 실수 값으로 추정되기에 채택하기 애매하다.[3] 표기가 비슷한 폴리로그함수 [math(\operatorname{Li}_s(z))]와 혼동에 주의.[4] 옛날(가우스와 르장드르가 살아 있었을 시절)에는 [math(\operatorname{li}(x))] 대신 [math(\dfrac x{\ln x})]를 썼다.