오메가 상수

수학상수 Mathematical Constants
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1. 개요2. 항등식3. 관련 문서

1. 개요

오메가 常數 / Omega constant

다음 방정식을 만족하는 실수 [math(x)]를 오메가 상수라고 정의하며, [math(\Omega)]로 표기한다.

[math(xe^x=1)]

따라서 [math(\Omega e^\Omega = 1)]이다. 람베르트 [math(W)] 함수를 이용하면 [math(W_0(1)=\Omega)]라고 나타낼 수 있다. 오메가 상수는 초월수임이 증명되어 있다.

이 방정식은 대수학적인 방법으로 풀기는 어렵고, 그래프를 동원한 해석 기하학적인 방법 및 수치해석을 동원하면 대략적인 근사값을 찾을 수 있다. [math(xe^x=1)]의 양 변에 자연로그를 취하고 정리하면, 위 식은 다음과 같이 자연로그와 일차함수의 방정식이 된다.

[math(\ln x = -x)]

위 식은 함수 [math(f(x) = \ln x + x)]에 대하여 [math(f(x) = 0)]인 방정식과도 같은데 정의역인 양의 실수 범위에서 [math(f(x))]는 전단사함수이기 때문에[1] 위 방정식을 만족하는 해는 단 하나 존재하며, 그래프를 그려보면 [math(0)]과 [math(1)] 사이에 해가 있음을 알 수 있다. 그러나 이 해는 일반적인 방법[2]으로 구할 수 없다.

위 방정식 [math(\ln x = -x)]에 오메가 상수를 대입하면 다음과 같은 성질을 얻는다.

[math(\Omega = -\ln\Omega = \ln\dfrac1\Omega
)]

따라서 점화식 [math(\Omega_{n+1} = -\ln\Omega_n)] 또는 [math(\Omega_{n+1} = e^{-\Omega_n})]를 반복해서 풀어나가면[3] [math(\lim\limits_{n\to\infty}\Omega_n = \Omega \approx 0.5671432904)]로 수렴하므로 근삿값을 구할 수 있게 된다.

한편, 다음 이상적분이 [math(W_0(x))]를 이용해서 나타낼 수 있다는 것이 알려져 있으며

[math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{a^2{\rm\,d}x}{(e^x-ax+b)^2 + (a\pi)^2} = \frac1{1 + W_0\biggl(\dfrac1a e^{-\frac ba}\biggr)})]

[math(a = 1)], [math(b = 0)]일 때 [math(W_0\biggl(\cfrac1a \,e^{-\frac ba}\biggr) = W_0(1) = \Omega)]이므로

[math(\Omega = \cfrac1{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}x}{(e^x-x)^2 + \pi^2}} -1)]

로도 계산할 수 있다.

이와 관련하여 [math(W_0(x))]가 다음과 같이 매클로린 전개가 되는 것이 알려져 있기는 하나

[math(\displaystyle \begin{aligned}
W_0(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!} \,x^n \\
&= x -x^2 +\frac32 \,x^3 -\frac83 \,x^4 +\frac{125}{24} \,x^5 -\cdots
\end{aligned})]

위 급수는 [math(|x| < \cfrac1e)] 범위에서만 수렴하기 때문에 위 식에 [math(x=1)]을 대입해봤자 발산하여 제대로 된 값을 구할 수 없다.

자연로그의 밑의 역수를 무한 지수 탑 함수에 넣어도 얻을 수 있다. 아래 수식에서 윗화살표 2개 [math(\uparrow\uparrow)]는 커누스 윗화살표 표기법이다.

[math(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \biggl(\frac1e \uparrow\uparrow x\biggr) = -\frac{W_0(-\ln(1/e))}{\ln(1/e)} = \Omega)]

2. 항등식

[math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}x}{(e^x-x)^2+\pi^2} = \frac1{1+\Omega})]
증명은 여기를 참고. 이 식의 일반화는 람베르트 W 함수 문서의 항등식 문단 참고.

3. 관련 문서

[1] [math(f''(x) = -\cfrac1{x^2} < 0)]이므로 [math(f(x))]는 위로 볼록한 개형인데 [math(f'(x) = \cfrac1x + 1)]은 [math(x>0)]일 때 [math(f'(x) > 1)]로 항상 양수이므로 정의역 범위에서 기울기의 부호가 바뀌지 않고 따라서 [math(f(x))]는 증가함수이며 일대일 대응(전단사함수)이다.[2] 초등함수를 유한 번 사용해서 푸는 방법[3] 그래프를 그렸을 때 해의 값이 [math(0.5)] 근처에 있으므로 [math(\Omega_1 = 0.5)]로 두고 나머지 항의 값을 구해나가면 된다.

오메가 상수

1. 개요

2. 항등식

3. 관련 문서

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