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1. 개요
초월수(超越數, transcendental number)는 정수[1] 계수로만 이루어진 유한 차수 다항방정식의 해가 될 수 없는 수를 가리킨다. 반대로, 그 해가 될 수 있는 수는 '대수적 수(algebraic number)'라고 한다.[2][3]2. 특징
잘 알려진 초월수는 원주율, 자연로그의 밑, [math(log_23)][4]등이 있다. 반대로, [math(\sqrt{2})]는 무리수이지만 [math(x^2-2 = 0)]의 한 해이므로 초월수가 아니다. 허수 역시 마찬가지로, 대표적인 예시로 [math(i)]는 허수이지만 [math(x^2+1 = 0)]의 해가 되기 때문에 대수적 수이다. 또한, 초월수 같지만 초월수가 아닌 수로는 [math(\sin\dfrac\pi{17})]가 있다.[5]정수 [math(a)], [math(b)]로 만들 수 있는 모든 유리수 [math(\dfrac ba)]([math(a≠0)])는 [math(ax-b=0)]의 해가 되므로 대수적 수이기 때문에, 실수인 초월수는 모두 무리수이다. 또한 실수가 아닌 초월수도 당연히 있다. 예를 들어 [math(\pi i)]는 실수가 아닌 초월수이다. 실수가 아니므로 초월수이지만 무리수가 아니다.
정수들의 사칙 연산 및 거듭제곱근으로 나타낼 수 있는 수는 모두 대수적 수이다. 따라서 작도할 수 있는 수 역시 모두 대수적인 수이고, 모든 초월수는 작도가 불가능하다. 예를 들어 정17각형을 작도할 수 있다는 것을 응용해서 [math(\sin\dfrac\pi{17})]는 작도 가능하므로 대수적인 수이다. 하지만 모든 대수적인 수가 작도 가능한 것은 아니다. 예를 들어 [math(x^3=2)]의 실근인 [math(\sqrt[3]2)]은 대수적인 수이지만 작도 불가능한 수이다. 또한 정수들의 사칙 연산 및 거듭제곱근으로 나타낼 수 없어도 대수적인 수가 될 수 있는데, 5차 이상의 고차 방정식의 일반해는 사칙 연산과 제곱근으로 나타낼 수 없지만[6] 계수가 정수이기만 하면 대수적인 수가 되기 때문이다.
초월수의 개수(cardinal number)는 게오르그 칸토어가 복소수 집합이 실수 집합과 같은 비가산집합이라는 걸 증명해냈기 때문에, 초월수의 개수는 대수적인 수보다 아득하게 많다. 전자는 셀 수 없는 비가산집합이고 후자는 셀 수 있는 가산집합이므로. 좀 더 자세한 내용을 알고 싶으면 집합론의 파트 중 countable set(가산 집합)에 관한 내용을 찾아보는 것을 추천한다. 말은 어려워 보여도 실제 내용은 조금 과장해서 말하면 중학생도 이해 가능한 수준이니 한 번쯤 알아둬서 나쁠 건 없다. 초한기수 문서를 참고하는 것도 괜찮다. 일단 정리하면 다음과 같다.
대수적 수는 계수 및 차수가 유한한 정수 값을 갖는 다항식(이하 유리다항식이라 칭함)이 품는 근이 되는 수이므로, 대수적 수를 몽땅 모아놓은 집합은 근이 중복되지 않은 유리다항식들을 모두 모아놓은 집합(이하 다항식집합이라 칭함)으로 간주할 수 있다.
그리고, 유리다항식에 적힌 계수 및 차수, 연산기호 개수 등을 모조리 더한 값을 서수로 삼아서 다항식집합 속 유리다항식 사이 위계를 부여할 수 있다는 것을 통해 다항식집합은 가산집합인 자연수 집합과 일대일로 대응됨을 알 수 있다.[7]
이를 종합하면 대수적 수 집합은 가산집합이니 기수는 [math(\aleph_0)]이지만, 초월수집합은 기수가 [math(\beth=2^{\aleph_0})]이므로 대각선 논법에 의해 가산집합인 대수적 수와는 도저히 일대일대응을 만족시킬 수 없게 된다. 따라서 초월수는 대수적 수보다 훨씬 많아질 수 밖에 없다.
그리고, 유리다항식에 적힌 계수 및 차수, 연산기호 개수 등을 모조리 더한 값을 서수로 삼아서 다항식집합 속 유리다항식 사이 위계를 부여할 수 있다는 것을 통해 다항식집합은 가산집합인 자연수 집합과 일대일로 대응됨을 알 수 있다.[7]
이를 종합하면 대수적 수 집합은 가산집합이니 기수는 [math(\aleph_0)]이지만, 초월수집합은 기수가 [math(\beth=2^{\aleph_0})]이므로 대각선 논법에 의해 가산집합인 대수적 수와는 도저히 일대일대응을 만족시킬 수 없게 된다. 따라서 초월수는 대수적 수보다 훨씬 많아질 수 밖에 없다.
특이한 경우로는, 소수점 자릿수에 규칙이 있지만 대수적으로는 못 구하는 경우도 있다. 이런 경우도 무리수인 데다 초월수다. 예를 들어서 챔퍼나운 상수(0.12345678910111213141516171819...) 같은 경우에는 누구나 보면 언뜻 유리수처럼 보이지만 반복되지 않는 무한소수이므로 무리수다. 이런 것과 관련해 다양한 바리에이션이 존재한다. 소수를 적는 진법에 따라 다른 경우로, 0.11011100101110111100010011010...(2)가 있다. (2)의 의미는 이 숫자가 2진법으로 쓰여져 있다는 것이다.[8] 또 다른 경우로는 코플랜드-에르되시 상수인 0.235711131719232931...이 있는데, 소수만 나열해 놓은 경우다. 그 외에도 이 방식으로 최초로 제시된 초월수로 리우빌 상수(Liouville's constant)가 존재한다. [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!})]로 표기되며, 소수점 아래로 [math(0.110001000000000000000001000...)]로 이어지는 무한소수다.[9] 리우빌은 이 수가 초월수라는걸 증명하기 위해서 다음과 같은 정리를 증명했다.
리우빌의 정리(Liouville's Theorem)
임의의 대수적 무리수 [math(x)]에 대하여 임의의 정수 [math(p)], [math(q)](단 [math(q>0)])가 있을 때 다음 부등식을 만족하는 [math(p)], [math(q)]의 쌍은 유한하다.
(이때, [math(n)]은 유리수체에서의 [math(x)]에 대한 기약다항식의 차수([math(=\operatorname{deg} \operatorname{irr}(x, \mathbb{Q}))])로 주어지며, [math(\epsilon)]은 양의 실수다.)
[math(\displaystyle \left| x-\frac pq \right| < \frac1{q^{n+\epsilon}})]
리우빌 상수는 충분하게 빠르게 수렴하는 유리수열로 근사할 수 있기에 이를 만족하는 [math(p)], [math(q)]쌍이 무한하게 많아서 리우빌의 정리에 정면으로 대치되기에 초월수로 증명된 것.
임의의 대수적 무리수 [math(x)]에 대하여 임의의 정수 [math(p)], [math(q)](단 [math(q>0)])가 있을 때 다음 부등식을 만족하는 [math(p)], [math(q)]의 쌍은 유한하다.
(이때, [math(n)]은 유리수체에서의 [math(x)]에 대한 기약다항식의 차수([math(=\operatorname{deg} \operatorname{irr}(x, \mathbb{Q}))])로 주어지며, [math(\epsilon)]은 양의 실수다.)
[math(\displaystyle \left| x-\frac pq \right| < \frac1{q^{n+\epsilon}})]
리우빌 상수는 충분하게 빠르게 수렴하는 유리수열로 근사할 수 있기에 이를 만족하는 [math(p)], [math(q)]쌍이 무한하게 많아서 리우빌의 정리에 정면으로 대치되기에 초월수로 증명된 것.
힐베르트의 23가지 문제 중 하나는 [math(a^b)] 꼴의 수가 초월수임을 판정하는 방법에 관한 것이었다. 이 문제는 문제가 발표되고 몇 년만에 해결되었는데, 지금은 아래와 같이 서술되는 겔폰트-슈나이더 정리로 불린다.
[math(a^b)]에서 [math(a)]가 다음 두 조건을 만족하는 대수적 수([math(a\neq0)], [math(\log a\neq0)])[10]이고, [math(b)]가 유리수가 아닌 대수적 수라면(복소수라도 상관 없음)라면, [math(a^b)]는 초월수이다. 여기서 대수적 수는 유한차 유리수 계수 방정식의 해가 되는 수를 말한다.
따라서 겔폰트-슈나이더 상수(무리수의 무리수 거듭제곱이 유리수일 수 있다는 명제와 연관된다)[math(2^{\sqrt2})], 겔폰트 상수 [math(e^\pi)] (= [math(\sqrt[i]{-1})] ) 같은 수는 초월수다. 반면, [math(\pi^e)]는 아직 무리수인지도 판정하지 못했다.([math(\pi)]가 대수적 수가 아니어서 위 정리를 적용할 수 없다.) 마찬가지로, [math(e+\pi)] 또한 아직도 초월수인지 아닌지 밝혀지지 않았다. 현재 "샤누엘 추측(Schanuel’s conjecture)이 참이라면 [math(e+\pi)]는 초월수이다."라는 명제가 참이라는 것까지는 증명된 상태지만, 정작 샤누엘 추측의 참/거짓 여부가 불명이다. 다만 유리수 [math(n)]에 대하여 [math(e+n\pi)]의 값이 대수적 수인 [math(n)]의 개수는 많아봤자 하나이다. 대수적 수와 초월수를 더하면 무조건 초월수이기 때문. 또는 귀류법을 사용하면 대수적 수에서 대수적 수를 빼면 대수적 수여야 하는데 결과값이 원주율의 유리수배로 나오기 때문에 모순이 된다.
의외로 사람들이 헷갈려하는 오개념 중 하나가 있다면 바로 대수적 수와 초월수는 무리수의 하위 분류가 아니라는 점이다. 무리수를 굳이 나눈다면 '대수적인 무리수'와 '초월수인 무리수'로 나눌 수는 있다. 대수적 수라는 말은 정수 계수의 방정식으로 나올 수 있는 해를 말하고, 초월수는 그렇지 못한 수기 때문에 대수적 수는 모든 수 체계의 수가 될 수 있고, 초월수는 하다못해 [math(\pi i)]같은 허수도 포함시킬 수 있다. 또한 대수적 수가 반드시 무리수인 것도 아니다. 유리수는 모두 대수적 수이므로 실수인 초월수는 모두 무리수이긴 하다. 그리고 초월수 역시 실수인 초월수와 허수인 초월수로 나눌 수 있는데 이 중에서 실수인 초월수가 모두 무리수일 뿐이다.
한편 이것의 함수 버전도 있는데, 초월함수라고 한다. 초월수처럼 유한 차수 다항식으로 정의되지 않는 함수이다. 그러나 대부분은 초등함수이지만 대수함수가 아닌 함수만을 그렇게 부르는 편이다. 초등함수가 아닌 대수함수는 비초등함수(특수함수)라고 한다.
3. 관련 문서
[1] 유리수라고도 서술하는데, 분모의 최소공배수를 곱하면 정수로 바뀌니 결국 같은 의미다.[2] 여기서 정수 계수로만 이루어진 방정식이라는 조건이 중요하다. 극단적으로, 아래에서 설명할 대표적인 초월수인 [math(\pi)], [math(e)]조차도 실수 계수 방정식 하에선 [math(x - \pi = 0)], [math(x - e = 0)]과 같은 매우 간단한 방정식의 해가 되어버리기 때문이다. 이를 좀 더 대수학적으로 표현하면 '유리수체 [math(\mathbb Q)] 위에서 초월적인 수'라고 할 수 있다.[3] 또한, 이 초월수의 존재 때문에 유리수체 [math(\mathbb Q)]의 대수적 폐포 [math(\mathbb{Q_A})]는 절대로 실수체 [math(\R)]나 복소수체 [math(\mathbb C)]가 될 수 없다. 대수적 폐포의 정의 자체가 '해당 체의 확대체 중 해당 체에서 상정 가능한 모든 다항식을 1차식으로 분해 가능한 체(=모든 근을 포함한 최소의 확대체)'로 정의되기 때문에, 실제로 체의 확대를 통해 분류할 경우 [math(\mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{Q_A} \subsetneq \mathbb{C})]로 분류된다. 단, 대수적 수체와 대수적 폐포는 비슷하면서도 다른 개념이므로 주의.[4] 로그의 정의에 따라 [math(2^x=3)]을 만족시키는 [math(x)]의 값이다.[5] [math(\sin\dfrac\pi{17})]의 값은 [math(\displaystyle \frac{\sqrt2}8 {{ \sqrt{17 -\sqrt{17} -\sqrt2 \left( \sqrt{34 +6\sqrt{17} +\sqrt2 ( \sqrt{17} -1 ) \sqrt{17 -\sqrt{17}} -8\sqrt2 \sqrt{17 -\sqrt{17}}} +\sqrt{17 -\sqrt{17}} \right)} }})]여서 굉장히 복잡하게 보이지만 결국 정수의 사칙연산과 정수차수 제곱근으로 표현되므로 대수적 수가 된다. 이는 카를 프리드리히 가우스가 정17각형에 대해 연구한 수이다.[6] 5차 방정식의 경우는 브링 근호라는 특수함수가 필요하다. 대수함수이지만 비초등함수이다.[7] 만약 순서가 겹친다 싶을 때는 순서가 겹치는 다항식 사이 위계를 또한번 정의해주면 된다.[8] 이렇게 소수점 이하에서 해당 진법으로 표시된 자연수를 순서대로 무한히 나열하는 방식으로 만든 초월수를 섐퍼나운 상수(Champernowne constant)라 한다. D.G.섐퍼나운이라는 영국의 수학자 겸 경제학자가 창안한 것.[9] 현재는 충분하게 빠른 속도로 수렴하는 유리수 무한수열로 근사할 수 있는 수로 정의된다. 예를 들어 여기서 언급한 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!})]의 경우, [math(\displaystyle \{a_n\} = \sum_{k=1}^n 10^{-k!})]으로 근사할 수 있다.[10] 복소수 역시 [math(\log a\neq0)]를 만족. 즉, [math(a\neq2i\pi n)], [math(n\in\Z)]이거나 [math(a\neq1)]이기만 하면 허용한다. 여기서 [math(\log)]는 밑이 [math(e)]인 자연로그를 의미한다. 물론 [math(\pi)]가 초월수이므로 [math(2i\pi n)] 자체가 대수적인 수가 될 수 없는데, 이 조건은 어디까지나 밑이 복소수라도 허용된다는 조건이라고 보면 된다.