1. 개요
虛根 / imaginary root방정식에서 허수인 해를 뜻한다. 대표적으로 [math(x^2+1=0)]의 해 [math(\pm i)]. 반대말은 실근(實根)이다.
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0)]에서 판별식 [math(b^2-4ac<0)]일 때 허근을 가진다.
실제로는 실근이지만 허근의 꼴로밖에 표현할 수 없는 근이 존재할 수 있는데, 이를 환원 불능(還元 不能, casus irreducibilis)이라고 한다.
2. 교육과정에서
허수를 배우지 않은 중학교 3학년에서는 근이 없다고 표현한다. 고등학교에서도 별도의 조건이 주어진 경우나 도형에의 활용 문제[1]에서는 허근을 근으로 취급하지 않는다. 예를 들어 [math(x>0)]이라는 조건이 있다면, 양의 실수만 근으로 간주한다는 뜻으로 음수나 허수는 신경 쓸 필요가 없다. 다만, 조건에 부합하는 근인지 아닌지 판별해야 하는 경우는 있을 수 있다. 사차방정식 근과 계수의 관계에서 이렇게 출제되는 일이 잦다.중등 교육과정에서 다루는 모든 방정식은 허근이 항상 짝수 개이다. 예를 들어 [math(2-2i, 4+i)]가 근인 방정식은 [math(2+2i, 4-i)]도 근이 된다. 고등학교에서는 방정식을 4차까지 다루기 때문에 이 경우 실근은 존재하지 않게 된다. 물론 네 근이 모두 허수이면 조립제법과 이차방정식의 근의 공식만 가지고는 풀 수 없으므로 고1 수학에서는 나오지 않고, 미적분에서만 다루는데 그마저도 허근이 정확히 얼마인지 묻지 않는다.
[1] 당연히 길이가 음수나 허수인 상황은 있을 수 없기 때문이다.